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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于GARCH的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

本說明介紹了具有Student-t改進(jìn)的GARCH（1,1）模型的貝葉斯估計(jì)方法

介紹

摘要

本說明介紹使用Student-t改進(jìn)的GARCH（1,1）模型對(duì)匯率對(duì)數(shù)收益進(jìn)行貝葉斯估計(jì)。

自Engle（1982）的開創(chuàng)性論文以來，使用時(shí)間序列模型改變波動(dòng)率的研究一直很活躍。ARCH（自回歸條件異方差）和GARCH（廣義ARCH）類型模型迅速發(fā)展成為80年代預(yù)測(cè)波動(dòng)率的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷呢S富家族。這些模型是金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的廣泛傳播和必不可少的工具。在Bollerslev（1986）引入的GARCH（p，q）模型中，（金融資產(chǎn)或金融指數(shù)）對(duì)數(shù)收益yt在時(shí)間t的條件方差假設(shè)用ht表示，它是過去q個(gè)對(duì)數(shù)返回和過去p個(gè)條件方差的平方的線性函數(shù)。更確切地說：

帶有Student-t改進(jìn)的GARCH（1,1）模型基于Nakatsuma（1998）的工作，由Metropolis-Hastings（MH）算法組成，其中分布是根據(jù)平方觀測(cè)值由輔助ARMA過程構(gòu)建的。這種方法避免了選擇和調(diào)整采樣算法的耗時(shí)且困難的任務(wù)，特別是對(duì)于非專家而言。該程序用R編寫，帶有一些用C實(shí)現(xiàn)的子例程，以加快仿真過程。該算法的有效性以及計(jì)算機(jī)代碼的正確性已通過Geweke（2004）的方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

模型，先驗(yàn)和MCMC方案

可以通過數(shù)據(jù)擴(kuò)充編寫具有Student-t改進(jìn)的GARCH（1,1）模型，用于對(duì)數(shù)收益率fytg。

我們強(qiáng)調(diào)以下事實(shí)：在MH算法中僅實(shí)現(xiàn)正約束。在仿真過程中沒有施加平穩(wěn)性條件。

為了編寫似然函數(shù)，我們定義向量y =（y1，...，yT）0，v =（v1，...，vT）0和a =（.a0，a1）。我們將模型參數(shù)重新組合為向量y =（.a，b，n）。然后，在定義T×T對(duì)角矩陣時(shí)

我們可以將（y，v）表示為

貝葉斯方法將（y，v）視為隨機(jī)變量，其特征在于以p（y，v）表示的先驗(yàn)密度。先驗(yàn)是在稱為超參數(shù)的參數(shù)的幫助下指定的，這些參數(shù)最初假定為已知且恒定。而且，根據(jù)研究人員的先驗(yàn)信息，這種密度可能或多或少地提供信息。然后，通過將模型參數(shù)的似然函數(shù)與先驗(yàn)密度耦合，我們可以使用貝葉斯規(guī)則對(duì)概率密度進(jìn)行變換，以得出后驗(yàn)密度p（y，vjy），如下所示：

該后驗(yàn)是觀察數(shù)據(jù)后關(guān)于模型參數(shù)的知識(shí)的定量概率描述。
我們?cè)贕ARCH參數(shù)a和b上使用了截距的普通先驗(yàn)

其中m?和S?是超參數(shù)，1f·g是指標(biāo)函數(shù)，fNd是d維法向密度?？梢园l(fā)現(xiàn)以n為條件的向量v的先驗(yàn)分布，從而得出

在選擇自由度參數(shù)的先驗(yàn)分布時(shí)，我們遵循Deschamps（2006）的方法。分布是參數(shù)l> 0且d≥2的平移指數(shù)

對(duì)于較大的l值，先驗(yàn)質(zhì)量集中在d附近，并且可以通過這種方式對(duì)自由度施加約束。

實(shí)現(xiàn)的MCMC采樣基于Ardia（2008）的方法，該方法的靈感來自Nakatsuma（1998）的先前工作。該算法由MH算法組成，其中GARCH參數(shù)按塊更新（a對(duì)應(yīng)一個(gè)塊，b對(duì)應(yīng)一個(gè)塊），而自由度參數(shù)是使用優(yōu)化的拒絕技術(shù)從轉(zhuǎn)換后的指數(shù)源密度中采樣的。該方法具有全自動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)。

實(shí)例分析

我們將貝葉斯估計(jì)方法應(yīng)用于（DEM / GBP）外匯對(duì)數(shù)收益率的每日觀察值。樣本時(shí)間為1985年1月3日至1991年12月31日，共1974個(gè)觀測(cè)值。此數(shù)據(jù)集已被推廣為GARCH時(shí)間序列軟件驗(yàn)證的非正式基準(zhǔn)。從這個(gè)時(shí)間序列中，前750個(gè)觀測(cè)值用于說明貝葉斯方法。我們的數(shù)據(jù)集中的觀察窗口摘錄繪制在圖1中。

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我們對(duì)帶有Student-t的GARCH（1,1）模型進(jìn)行了改進(jìn)，以擬合此觀察窗的數(shù)據(jù)

函數(shù)的輸入自變量是數(shù)據(jù)向量，超參數(shù)，例如：
? 要生成的MCMC鏈數(shù)；默認(rèn)值1。
? 每個(gè)MCMC鏈的長(zhǎng)度；?start.val：鏈的起始值的向量；默認(rèn)值為10000 。?
作為貝葉斯估計(jì)的先驗(yàn)分布。通過設(shè)置控制參數(shù)值n.chain = 2和l.chain = 5000，我們?yōu)?000次傳遞生成了兩條鏈。

生成MCMC鏈的跟蹤圖（即，迭代與采樣值的圖）。采樣器的收斂（使用Gelman和Rubin（1992）的診斷測(cè)試），鏈中的接受率和自相關(guān)可以如下計(jì)算：

收斂診斷沒有顯示最后2500次迭代的收斂證據(jù)。MCMC采樣算法的接受率非常高，從向量a的89％到b的95％不等，這表明分布接近于全部條件。我們丟棄了從MCMC的整體輸出中抽樣前2500次作為預(yù)燒期，僅保留第二次抽樣以減少自相關(guān)，

?

基本的后驗(yàn)統(tǒng)計(jì)：

每個(gè)變量的分位數(shù)：

通過首先將輸出轉(zhuǎn)換為矩陣，然后使用函數(shù)hist，可以獲取模型參數(shù)的邊際分布。

邊緣后部密度顯示在圖3中。我們清楚地注意到直方圖的不對(duì)稱形狀。對(duì)于參數(shù)n尤其如此。后平均值和中位數(shù)之間的差異也反映了這一點(diǎn)。這些結(jié)果應(yīng)該警告我們，不要濫用漸近論證。在當(dāng)前情況下，即使是750次觀測(cè)也不足以證明參數(shù)估計(jì)量分布的漸近對(duì)稱正態(tài)近似。
可以通過從聯(lián)合后驗(yàn)樣本中進(jìn)行仿真來直接獲得關(guān)于模型參數(shù)的非線性函數(shù)的概率陳述。
特別是，我們可以測(cè)試協(xié)方差平穩(wěn)性條件，并在滿足該條件時(shí)估計(jì)無條件方差的密度。根據(jù)GARCH（1,1）規(guī)范，如果a1 + b <1，則過程是協(xié)方差平穩(wěn)的。值接近1時(shí)，過去的沖擊和過去的方差將對(duì)未來的條件方差產(chǎn)生更長(zhǎng)的影響。
為了推斷平方過程的持久性，我們僅使用后驗(yàn)樣本，并為后驗(yàn)樣本中的每個(gè)繪制y [j]生成（a1 [j] + b [j]）。持久性的后部密度繪制在圖4中。直方圖向左傾斜，中值為0.923，最大值為1.050。假設(shè)a1 + b <1，則GARCH（1,1）模型的無條件方差為a0 /（1- a1- b）。條件是存在時(shí)，后驗(yàn)均值為0.387，90％可信區(qū)間為[0.274,1.378 ]。經(jīng)驗(yàn)方差為0.323。

使用聯(lián)合后驗(yàn)樣本可以獲得關(guān)于模型參數(shù)的其他概率陳述。使用后驗(yàn)樣本，我們估計(jì)條件峰度存在的后驗(yàn)概率為0.994。在存在條件下，峰度的后均值為8.21，中位數(shù)為5.84，對(duì)區(qū)間的95％置信度為[4.12,15.81]，表明尾部比正態(tài)分布更重。條件峰度的后驗(yàn)正偏是由幾個(gè)非常大的值（最大模擬值為404.90）引起的。

先前的限制和常規(guī)改進(jìn)

控制參數(shù)addPriorConditions可用于在估計(jì)期間對(duì)模型參數(shù)y施加任何類型的約束。例如，為了確保估計(jì)協(xié)方差平穩(wěn)GARCH（1,1）模型，應(yīng)將函數(shù)定義為

實(shí)用建議

該算法中實(shí)施的估算策略是全自動(dòng)的，不需要對(duì)MCMC采樣器進(jìn)行任何調(diào)整。對(duì)于從業(yè)者來說，這無疑是一個(gè)吸引人的功能。但是，馬爾可夫鏈的生成非常耗時(shí)，因此每天在多個(gè)數(shù)據(jù)集上估算模型可能會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間。在這種情況下，通過在多個(gè)處理器上運(yùn)行單鏈可以輕松地使算法并行化。例如，可以使用foreach包輕松實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)（Revolution Computing，2010）。同樣，當(dāng)估計(jì)值在更新的時(shí)間序列（即具有最近觀測(cè)值的時(shí)間序列）上重復(fù)時(shí)，明智的做法是使用在前一個(gè)估計(jì)步驟獲得的參數(shù)的后驗(yàn)均值或中值來啟動(dòng)算法。初始值（預(yù)燒階段）的影響可能較小，因此收斂速度更快。最后，請(qǐng)注意，與任何MH算法一樣，采樣器可能會(huì)卡在給定的值上，因此鏈不再移動(dòng)。

總結(jié)

本說明介紹了Student-t改進(jìn)對(duì)GARCH（1,1）模型的貝葉斯估計(jì)。我們舉例說明了在匯率對(duì)數(shù)收益率上的實(shí)證應(yīng)用。

?

參考書目

D.?Ardia?使用GARCH模型的貝葉斯估計(jì)進(jìn)行的金融風(fēng)險(xiǎn)管理：理論與應(yīng)用，經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)系統(tǒng)講義第612卷。Springer-Verlag，德國柏林，2008年6月。ISBN978-3-540-78656-6。網(wǎng)址http://www.springer.com/economics/econometrics/book/978-3-540-78656-6。

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本文選自《R語言具有Student-t分布改進(jìn)的GARCH（1,1）模型的貝葉斯估計(jì)》。

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