明天整完第三章最后一節(jié)，就開始攻略附錄。

3.5.10

并不復雜的問題，證明有好幾步:1.知f等于f撇，證集合相等。2.若集合相等，可知對任意x，有兩函數函數值相等，即證函數相等。 下面一問根據函數的定義來說明。如果存在一個關系，對于任意x屬于定義域，值域內有唯一的y與之對應(沒有限制這種“對應”為何物)，則存在一個函數不啦不啦不啦。 學這幾章感覺函數和數字的關系其實不是很緊密。只要有集合和最抽象的對象就行了，函數能夠自成體系。

3.5.11

分類公理好用的。 我們要得到的冪集公理承認一個由全體函數(定義域X值域為Y)組成的集合，先明確好目標。 這道題的主要處理思路是利用上一道題的結論，把滿足要求的圖找出來。 我們創(chuàng)造X×Y，不能利用習題3.5.2，因為習題3.5.2是用冪集公理推的。我們用3.4.1。此時根據引理3.4.9可以構造出一個集合，它里面的元素是全體X×Y的子集。 其實，這就是所有的平面圖形的集合，對吧。。。我們接下來要做的，篩出能作為函數圖像的圖。也就是利用分類公理，構造一個子集，里面是滿足垂線測試的所有圖。 根據上一題，一個圖對應唯一的函數，利用替代公理全換了。結束

3.5.12

，

3.5.13

額，這題沒答案，看的迷糊，過幾天再看看。 對比前面的遞歸定義，這個n可能并不是“值”之類的東西，而是函數的標簽之類的東西。就是我們有一個函數大家族之類之類的。比如第一個函數叫“x+1”，第二個函數叫“x+2”，這個n就是調節(jié)這里的“1”，“2”的。。 二者的原文: 1.?n∈N:?f?:N→N，?c∈N??n∈N:?!a?∈N:a?=c∧a???=f?(a?) 邏輯符號更suang口一點罷。 2.?f:N×N→N，c∈N?(a:N→N):a(0)=c∧?n∈N:a(n++)=f(n，a(n)) 感覺表達式寫錯了。。但不重要，寫成這樣的話，就可以通過邏輯公式判斷命題真假情況，進而反過來理解原來的說法了。 首先是1。它提供了和每個自然數配套的f，并且每個f能把自然數映射到自然數上?？梢赃@么想，把函數看成一個工具，比如扳手之類的，它接受一個東西，然后把它改一改，返回一個新的東西。我們現在有的就是一個工具箱，里面的工具各不相同，并且都適用范圍廣泛(都能從N→N) 同時，還給了一個常數。 怎么理解結論呢? 這應該結合證明和應用了。emm，現在的感覺告訴我，最后半句應該是限定fn或者什么函數的。。 我們看看應用:(加法定義) 令m是一個自然數(對應c，而不是n) 定義“m加上0”為:0+m:＝m(對應a0) 歸納性的假設我們已經…… 定義“m加上n++”為:(n++)+m:＝(n+m)++(對應an++) 嗯，然后就結束了，我們可以得知已經完成了加法的定義，在后面來看這是真的，對于任意的n，和一個給定的m，我們都能得出來唯一的結果。 emmmmmm…… 所以，我們要證的其實是這個“唯一”嘛。 也就是說，先不管函數，我們其實是

要求

了an滿足a0＝c，而且an++＝fn(an)，接著就證明了這樣的an是唯一的。。。 如果你和我的思路一致的話，那你也應該意識到了，這個an寫成一個函數應該更方便說明一點。。 我們有了一系列確定的函數f，還有一個常數c，現在弄出一個函數a，滿足了a(0)=c，a(n++)＝fn(a(n))，當然，它把每個自然數都映射到了唯一的自然數上(是函數，所以唯一)。這并不多見，因為大多數函數的后一個值都不能由前一個值通過某種特定的映射得到(而如果能這樣做的話，我們就可以將后一個函數值通過前一個值和函數f來表達出來)。。事實上，我們可以證明出來，這樣的函數a應該只有一個。 這就是那個1的意思，以及和2的關系了。應該很容易看出來了吧。 所謂的fn其實就是（n+?）++吧。。也許? ok，現在結合2的更標準的定義定義，重新寫一下兩個數相加的定義: 定義“n加上m”是個函數，比如叫做a:N→N。定義f:N×N→N是這樣的函數:f(n，a(n))=(n+a(n))++。假設有個自然數m。 (寫法上，“n加上m”中的n和a（n）括號里的變量一致，并且m與給定常數一致) 那么可以知道，如果a要是滿足:a(0)＝m，a(n++)＝f(n，a(n))，那么a就是唯一確定的。（這也是我們真正要證明的東西） 嗯，我們說“n加上m”

是

“a”，那么自然可以等效替換。接著，就可以得到課本上的定義了 隨后的證明不算很難，在了解了題目含義之后。 有點當初學歸納法時候的感覺。就是，會了就覺得不難。 今天寫的有點亂，抱歉。