A-0-4微分方程(1/2)

2023-08-27 14:59 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

0.4.1 微分方程定義

表示函數(shù)，函數(shù)導(dǎo)數(shù)，以及自變量之間關(guān)系的方程，叫做微分方程。微分方程可以表示成

$F(x%2Cy%2Cy'%2C%5Ccdots%2Cy%5E%7B(n)%7D)%3D0%E2%80%8B$

其中 $y%5E%7B(n)%7D$ 表示 $y$ 的 $n$ 階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)方程導(dǎo)數(shù)的最高階為 $n$ 階時(shí)，我們稱之為 $n$ 階微分方程。滿足上述關(guān)系的函數(shù) $y%3D%5Cvarphi(x)$ 稱為方程的解。

在物理競賽中，我們遇到的方程基本都是一階和二階的。

0.4.2 可分離變量的微分方程

形如

$%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7Bf(x)%7D%7Bg(y)%7D$

的微分方程，我們稱它是可分離變量的?？梢詫懗?/p>

$g(y)dy%3Df(x)dx$

的形式。然后直接積分可解

$%5Cint%20g(y)dy%3D%5Cint%20f(x)dx$

例如

放射性元素單位時(shí)間內(nèi)衰變的原子數(shù)，與剩余原子數(shù) $M$ 滿足：

$%5Cdfrac%7BdM%7D%7Bdt%7D%3D-%5Clambda%20M%EF%BC%8C%EF%BC%88M%3E0%EF%BC%89$

第一步，分離變量：

$%5Cdfrac%7B1%7D%7BM%7DdM%3D-%5Clambda%20dt$

第二步，分別求不定積分

$%5Cint%5Cdfrac%7B1%7D%7BM%7DdM%3D%5Cint(-%5Clambda%20dt)$

$%5Cln%20M%3D-%5Clambda%20t%2BC_1$

第三步，化簡得

$M%3DCe%5E%7B-%5Clambda%20t%7D$

其中常數(shù)C與邊界條件有關(guān)，比如已知當(dāng) $t%3D0$ 時(shí)， $M%3DM_0$ .代入得

$C%3DM_0%EF%BC%8CM%3DM_0e%5E%7B-%5Clambda%20t%7D$

我們?cè)谖锢砀傎愔杏龅降拇蟛糠治⒎址匠?，都是可以分離變量的。剩下那些，我們可以通過一些方法，將其轉(zhuǎn)化為可分離變量的方程。

0.4.3 齊次方程

形如

$%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cvarphi(%5Cdfrac%20%7By%7D%7Bx%7D)$

的微分方程，我們稱它是齊次方程。其中 $x$ , $y$ 擴(kuò)大相同倍數(shù)時(shí)，方程形式不變。

為了解齊次方程，我們可以引入一個(gè)新的函數(shù) $u%3D%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D$ ，則

$y%3Dux$ ， $%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Du%2Bx%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D$

代回原式可得

$u%2Bx%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3D%5Cvarphi(u)$

這是一個(gè)可分離變量的方程：

$%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cvarphi(u)-u%7D%7Bx%7D$

先解出 $u$ ，再代入 $y%3Dux$ 。例如

若探照燈曲面對(duì)稱軸上一點(diǎn)，發(fā)出的所有光線經(jīng)過探照鏡反射后，變?yōu)槠叫泄狻t過對(duì)稱軸的截面曲線滿足：

$%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D%2B%5Csqrt%7B(%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D)%5E2%2B1%7D$

令 $u%3D%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D$ ，原方程可變形為

$%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D%7D%7Bx%7D$

分離變量得

$%5Cdfrac%7Bdu%7D%7B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D%7D%3D%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D$

積分（左式積分查積分公式表，或者令 $u%3D%5Ctan%5Ctheta$ 換元積分，

$%5Cint%5Cdfrac%7B%5Ccos%20%5Ctheta%7D%7B%5Ccos%5E2%5Ctheta%7Dd%5Ctheta%3D%5Cint%5Cdfrac%7B1%7D%7B1-%5Csin%5E2%5Ctheta%7Dd(%5Csin%20%5Ctheta)$

$%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint(%5Cdfrac%7B1%7D%7B1-%5Csin%20%5Ctheta%7D)d(%5Csin%20%5Ctheta)%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint(%5Cdfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Csin%20%5Ctheta%7D)d(%5Csin%20%5Ctheta)%EF%BC%89$

得

$%5Cln(u%2B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D)%3D%5Cln%20x%2BC_1$

令

$C_1%3D-%5Cln%20C$

則有

$u%2B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D%3D%5Cdfrac%7Bx%7D%7BC%7D$

$(%5Cdfrac%7Bx%7D%7BC%7D-u)%5E2%3Du%5E2%2B1$

$%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D%7BC%5E2%7D-%5Cdfrac%7B2xu%7D%7BC%7D%3D1$

代入 $y%3Dux$ 得

$x%5E2%3D2C(y%2B%5Cdfrac%7BC%7D%7B2%7D)$

為拋物線方程。

0.4.4 一階線性微分方程

形如

$%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2BP(x)y%3DQ(x)$

的微分方程，我們稱它是一階線性微分方程，一階指的是導(dǎo)數(shù)的最高階，線性代表y和y各階導(dǎo)數(shù)的最高次數(shù)都是1。

我們讓方程兩邊同時(shí)乘以一個(gè)函數(shù) $R(x)$ ：

$R(x)%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2BR(x)P(x)y%3DR(x)Q(x)$

如果方程左式可以寫成 $%5Cdfrac%7Bd%5BR(x)y%5D%7D%7Bdx%7D$ 的形式，則原式可化為變量可分離的方程。

故我們令

$R(x)%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2BR(x)P(x)y%3D%5Cdfrac%7Bd%5BR(x)y%5D%7D%7Bdx%7D%3DR(x)%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2B%5Cdfrac%7BdR(x)%7D%7Bdx%7Dy$

有

$%5Cdfrac%7BdR(x)%7D%7Bdx%7D%3DR(x)P(x)$

解得

$R(x)%3De%5E%7B%5Cint%20P(x)dx%7D$

（稱為積分因子）則

$%E2%80%8By%3Due%5E%7B-%5Cint%20P(x)dx%7D$

$%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7De%5E%7B-%5Cint%20P(x)dx%7D-uP(x)e%5E%7B-%5Cint%20P(x)dx%7D$

代入原式得

$%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7De%5E%7B-%5Cint%20P(x)dx%7D%3DQ(x)$

解得

$u%3D%5Cint%20Q(x)e%5E%7B%5Cint%20P(x)dx%7Ddx%2BC$

方程的解為：

$y%3De%5E%7B-%5Cint%20P(x)dx%7D(%5Cint%20Q(x)e%5E%7B%5Cint%20P(x)dx%7Ddx%2BC)$

例如

含容正弦交流電路中回路電流滿足：

$E_0%5Csin%5Comega%20t-L%5Cdfrac%7Bdi%7D%7Bdt%7D-iR%3D0$

方程化簡為

$%5Cdfrac%7Bdi%7D%7Bdt%7D%2B%5Cdfrac%7BR%7D%7BL%7Di%3D%5Cdfrac%7BE_0%7D%7BL%7D%5Csin%5Comega%20t$

代入公式得：

$i(t)%3De%5E%7B-%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D(%5Cint%5Cfrac%7BE_0%7D%7BL%7De%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20t%20dt%2BC)$

其中

$%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20tdt$

進(jìn)行兩次分部積分，可得

$%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20tdt%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7Dd(%5Ccos%5Comega%20t)$

$%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Be%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Ccos%5Comega%20t-%5Cint%20%5Ccos%5Comega%20td(e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D)%5D$

$%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Be%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Ccos%5Comega%20t-%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7D%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Ccos%5Comega%20tdt%5D$

$%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Be%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Ccos%5Comega%20t-%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7Dd(%5Csin%5Comega%20t)%5D$

$%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5C%7Be%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Ccos%5Comega%20t-%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Be%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20t-%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7D%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20tdt%5D%5C%7D$

$(1%2B%5Cfrac%7BR%5E2%7D%7BL%5E2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%5E2%7D)%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20tdt%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7De%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Ccos%5Comega%20t%2B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%5E2%7De%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20t$

即

$%5Cint%20e%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%5Csin%5Comega%20tdt%3D%5Cdfrac%7BLe%5E%7B%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D%7D%7B%5Comega%5E2L%5E2%2BR%5E2%7D(-%5Comega%20L%5Ccos%5Comega%20t%2BR%5Csin%5Comega%20t)$

故

$i(t)%3D%5Cdfrac%7BE_0%7D%7B%5Comega%5E2L%5E2%2BR%5E2%7D(-%5Comega%20L%5Ccos%5Comega%20t%2BR%5Csin%5Comega%20t)%2BCe%5E%7B-%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7Dt%7D$

這類微分方程在物體競賽題中出現(xiàn)的不多，有同學(xué)自己改編題目的時(shí)候，會(huì)遇到這類方程。

3.臨界阻尼時(shí)： $n%3Dk$

$x%3De%5E%7B-nt%7D(C_1%2BC_2t)$

對(duì)應(yīng)圖像與上圖類似。

第37屆復(fù)賽第3題，考察的是 $R-L-C$ 振蕩電路，對(duì)應(yīng)方程也是一個(gè)常系數(shù)齊次二階線性微分方程。雖然題目中給出了對(duì)應(yīng)解的形式，但是如果沒有提前研究過這類問題，還是不太好入手的。

0.4.7 練習(xí)

長 $L$ 的均勻彈性繩 $AB$ 自由伸直地放在光滑水平桌面上，繩的 $A$ 端固定。 $t%3D0$ 時(shí)，一小蟲開始從 $A$ 端出發(fā)以相對(duì)其足下繩段的勻速度 $u$ 在繩上朝 $B$ 端爬去，同時(shí)繩的 $B$ 端以相對(duì)桌面的勻速度 $v$ 沿繩長方向運(yùn)動(dòng)，小蟲的相對(duì)地面的位移 $x$ 與時(shí)間 $t$ 滿足 $%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3Du%2B%5Cdfrac%7Bvx%7D%7BL%2Bvt%7D$ ，求任一時(shí)刻小蟲位置。