一、經(jīng)典題目

二、重溫理論 1.零點(diǎn)定理 設(shè)f(x)在[a,b]連續(xù)，f(a)與f(b)異號，即f(a)f(b)<0，則存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=0。 2.羅爾定理 設(shè)f(x)在[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=0。 3.經(jīng)典的輔助函數(shù)構(gòu)造 對于典型的f'(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0的中值點(diǎn)證明題，應(yīng)該構(gòu)造

然后驗(yàn)證某兩點(diǎn)a和b滿足F(a)=F(b)，對F(x)在[a,b]用羅爾定理化簡即可證明結(jié)論。 提示: 即使有些情況的形式并不一定滿足f'(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0的標(biāo)準(zhǔn)形式，也可以化成標(biāo)準(zhǔn)形式來構(gòu)造。比如要證明f'(ξ)+f(ξ)+ξ+1=0，考慮到變形為[f(ξ)+ξ]'+[f(ξ)+ξ]=0，所以構(gòu)造g(x)=e^x[f(x)+x]。 三、詳細(xì)分析 題中兩個極限很容易得出f(0)=f(1)=0，以及

1.第一問 寫出兩個導(dǎo)數(shù)的極限定義容易分析出x=0的右某小鄰域內(nèi)有一點(diǎn)x?使得f(x?)>0，x=1的左某小鄰域內(nèi)有一點(diǎn)x?使得f(x?)<0，所以f(x)在[x?,x?]上利用羅爾定理即可證明存在ξ∈(x?,x?)?(a,b)使得f(ξ)=0，第一問得證。 2.第二問 對于f''(η)=f(η)可以整理得[f'(η)-f(η)]'+[f'(η)-f(η)]=0，套用構(gòu)造輔助函數(shù)的結(jié)論，得

由于F(0)≠F(1)，不能直接對F(x)在[0,1]利用羅爾定理，這怎么辦呢？ 我們可以在F(x)的基礎(chǔ)上，迫使f'(x)-f(x)=0成立，看看有沒有啟發(fā)，從而利用構(gòu)造輔助函數(shù)的結(jié)論再構(gòu)造

根據(jù)題目和第一問已經(jīng)得知f(0)=f(ξ)=f(1)=0，已經(jīng)有三個點(diǎn)的函數(shù)值相等，所以考慮分別對G(x)在[0,ξ]和[ξ,1]上利用兩次羅爾定理，從而得到η?和η?分別∈(0,ξ)和(ξ,1)使得G'(η?)=0和G'(η?)=0，整理化簡得f'(η?)-f(η?)=0和f'(η?)-f(η?)=0，從而發(fā)現(xiàn)F(η?)=F(η?)=0，所以對F(x)在[η?,η?]上利用羅爾定理，化簡后即可證明結(jié)論。 四、歡迎討論 如果見到可以用此類方法解決的，歡迎分享。對本次內(nèi)容有什么見解和疑問，也歡迎在評論區(qū)發(fā)表觀點(diǎn)。