高考考完，開更！

從本節(jié)起開始復(fù)變函數(shù)之旅。我跳過了二元函數(shù)的部分，對此沒有太大的影響。當(dāng)然，后續(xù)會有少量對二元函數(shù)的涉及，我就不詳細補充了。需要這些部分知識的同學(xué)可以花少量時間自學(xué)得到。

從一元函數(shù)到場

我們知道，一元函數(shù)是指從數(shù)集到數(shù)集的映射。特別地，當(dāng)兩數(shù)集為同一個時，我們稱這個映射為一個變換。考慮

則我們可以把它看作把數(shù)軸上每個點對應(yīng)到其上的另一個點：

現(xiàn)在把視野放寬，我們已經(jīng)考慮了數(shù)軸上的對應(yīng)，不妨考慮一下平面直角坐標(biāo)系到它自己的對應(yīng)，既平面上每一點對應(yīng)到平面上另一點：（這里仍然考慮整個平面）

那么顯然這個映射可以表示成：

我們稱這樣的映射為一個“場”（field）。

場的表示方法

我們知道表示函數(shù)一般是在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，輸入為實數(shù)，輸出為實數(shù)，即輸入是一維，輸出也是一維。圖形表示為二維。但是，對于場來說，它的輸入是數(shù)對，輸出也是數(shù)對，占到了四個維度。也就是說，人類這樣的三維生物不能直接畫出場的圖形。但是我們有一些間接的表示法，下面著重介紹一個。

這是我最喜歡的一種方法。我們考慮平面上的直線集：

也就是：

接著，根據(jù)想要表示的場把這些直線上的每一點映射到它對應(yīng)的點上（計算時按直線一條一條算），如果映射后每一條直線上的點能保持在一條連續(xù)曲線上，我們就能從最終圖像上看出這個場是如何作用于空間使之變化的。例如：

很容易看出上面的場把空間進行了翻轉(zhuǎn)。但沒有使空間產(chǎn)生扭曲。

而下面這個場：

就明顯扭曲了空間。劇透一下，這個場表示的是“二次函數(shù)”的圖像。

除了這樣的表示法，還有各種效果更令人驚嘆的方法。例如，把平面上的每個點染色，不同的點擁有不同的色調(diào)和亮度。接著，考慮平面上每一個輸入點對應(yīng)地輸出點，用它輸出點對應(yīng)的顏色染上輸入點，這樣我們就能直觀地看出每個點在映射后去了哪里。例如：

同樣是染色，還有三維版本：（去掉了亮度，多出了高度）

又比如向量場表示法：

有興趣的同學(xué)可以自己了解。

關(guān)于本章的主題

我們本章會學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)，這是一種特殊的場。就像我們喜歡研究處處可導(dǎo)的實變函數(shù)一樣，我們也喜歡研究處處“可導(dǎo)”的復(fù)變函數(shù)。而且，處處“可導(dǎo)”的復(fù)變函數(shù)要擁有比可導(dǎo)實變函數(shù)更加完美的興致，這讓眾多數(shù)學(xué)家認為復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)中最美的一門分支。這也是為什么我這么急切地想介紹復(fù)變函數(shù)的原因。