同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)圓錐曲線的時(shí)候，往往只知道它的方程，但在幾何上看，它們是怎么回事呢？為什么叫作圓錐曲線呢？

幾何截面上看

用一個(gè)平面去截一個(gè)二次錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線（conic sections）。通常提到的圓錐曲線包括橢圓，雙曲線和拋物線，但嚴(yán)格來講，它還包括一些退化情形。具體而言：

1) 當(dāng)平面與二次錐面的母線平行，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為拋物線。

2) 當(dāng)平面與二次錐面的母線平行，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果退化為一條直線。

3) 當(dāng)平面只與二次錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為橢圓。

4) 當(dāng)平面只與二次錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，并與圓錐的對(duì)稱軸垂直，結(jié)果為圓。

5) 當(dāng)平面與二次錐面兩側(cè)都相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為雙曲線（每一支為此二次錐面中的一個(gè)圓錐面與平面的交線）。

6) 當(dāng)平面與二次錐面兩側(cè)都相交，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為兩條相交直線。

7）當(dāng)平面與二次錐面的兩側(cè)都不相交，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為一點(diǎn)。

注意，上述曲線類中不含有二次曲線：兩平行直線。

證明兩種定義的等價(jià)性

由比利時(shí)數(shù)學(xué)家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇淋定理證明了圓錐曲線幾何定義與焦點(diǎn)-準(zhǔn)線定義的等價(jià)性。

即有一以Q為頂點(diǎn)的圓錐（蛋筒），有一平面π'（你也可以說是餅干）與其相截得到了圓錐曲線，作球與平面π'及圓錐相切，在曲線為橢圓或雙曲線時(shí)平面與球有兩個(gè)切點(diǎn)，拋物線只有一個(gè)（或者另一個(gè)在無窮遠(yuǎn)處），則切點(diǎn)為焦點(diǎn)。又球與圓錐之交為圓，設(shè)以此圓所在平面π與π'之交為直線d（曲線為圓時(shí)d為無窮遠(yuǎn)線），則d為準(zhǔn)線。

圖只畫了橢圓，證明對(duì)拋物線雙曲線都適用，即證，任一個(gè)切點(diǎn)為焦點(diǎn)，d為準(zhǔn)線。

證：假設(shè)P為曲線上一點(diǎn)，聯(lián)線PQ交圓O于E。設(shè)平面π′與π的交角為α，圓錐的母線（如PQ）與平面π的交角為β。設(shè)P到平面π 的垂足為H，H到直線d的垂足為R，則PR為P到d的垂線（三垂線定理），而∠PRH=α。因?yàn)镻E、PF同為圓球之切線，得PE=PF。

如此則有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH

其中：PF/PR=sinα/sinβ為常數(shù)。

好了，以上就是關(guān)于圓錐曲線的小知識(shí)，相信大家都對(duì)圓錐曲線有了更深的理解！