? ? ? ?勘誤一個(gè)上期中的問題：有多處地方將寫成了。

本期是數(shù)學(xué)雜談，以后我會(huì)偶爾在淺談高等數(shù)學(xué)中穿插一些數(shù)學(xué)雜談；之前那個(gè)自然數(shù)冪和的也算吧，但過了一個(gè)月我就立刻發(fā)現(xiàn)自己實(shí)在見識(shí)短淺。自然數(shù)冪和水很深，建議先學(xué)高數(shù)，我已經(jīng)將其擱置了。B站上有不少UP主將這一話題做得很透徹。

? ? ? ?這一期是我鴿了很久的，當(dāng)時(shí)我在@混數(shù)魔王----雨殤的視頻[manimgl]如何優(yōu)雅而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那髨A的面積?下方留言說要更新，現(xiàn)在各位終于等到了。配圖均來源于該UP，且已經(jīng)得同意。知道不定積分定義就能看了。

方法一：直角坐標(biāo)積分法

? ? ? ?為了方便起見，我們將一般圓簡化為單位圓，并考慮半圓部分從-1到1的積分，即。對(duì)于，我們采用第二類換元法中的三角換元。由于被積函數(shù)的定義域與的值域同為，且在考慮范圍內(nèi)是單調(diào)的，故可直接令。則

。

求這個(gè)積分有兩種方法：

（1）對(duì) 分部積分：

一方面，

；

另一方面，

。聯(lián)立兩式，得

（2）直接利用恒等變換，

由于，則。

于是

。

事實(shí)上，這兩種方法可以看作一種，讀者可以試著思考這一點(diǎn)。

于是，，這一步，包括前面的一步能將與調(diào)換，是因?yàn)樵?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=t%5Cin%5B-%5Cfrac%5Cpi2%2C%5Cfrac%5Cpi2%5D" alt="t%5Cin%5B-%5Cfrac%5Cpi2%2C%5Cfrac%5Cpi2%5D">時(shí)，；能將換成，是因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=t" alt="t">的區(qū)間剛好是反正弦函數(shù)的主值區(qū)間。

這樣，稍加計(jì)算就可以得到積分值為

再將其乘2，得到單位圓面積為。

又由于所有圓都相似，得一切圓的面積都是（即乘以相似比），進(jìn)而一切扇形的面積都是。

方法二：極坐標(biāo)積分法

? ? ? ?這個(gè)想法來源于六年級(jí)課本上的將圓形無限分割成無數(shù)個(gè)三角形后進(jìn)行拼接，得到一個(gè)長為半周長，寬為半徑的矩形。這里實(shí)際上是將圓心角無限小的扇形視作三角形。

? ? ? ?在腰長為半徑，頂角為的等腰三角形中，底長易知應(yīng)為（這里運(yùn)用了等價(jià)無窮小替換）。故小三角形的面積為對(duì)其進(jìn)行積分，直接得出扇形面積應(yīng)為

這一方法的好處即是美觀且簡便，無需任何技巧。

對(duì)于視頻中的第一種方法，與極坐標(biāo)積分的靈感想法相比，我認(rèn)為極坐標(biāo)積分可能更勝一籌。因?yàn)閷?duì)于第一種方法得到的三角形，我們不由得要問：這個(gè)三角形的斜邊是多少？我們易得是。這個(gè)值從何而來？我們很難有一個(gè)令人信服的答案，甚至這種展開方式能否實(shí)現(xiàn)，我們都不得而知。