究竟如何將引力量子化是理論物理學(xué)家一直費(fèi)解的問題。弦論目前是唯一比較成熟的量子引力模型，最近又有一項(xiàng)新的工作證明這一模型的潛力。研究人員使用了在理論物理普遍應(yīng)用的“自舉”（bootstrap）方法，給出了修正引力模型α參數(shù)的下限，而這與弦論給出的值竟然驚人的相似。

撰文?|?周思益（神戶大學(xué)博士后）

1915年愛因斯坦提出廣義相對(duì)論，這是一個(gè)很成功的理論。目前來(lái)看，在描述一切大尺度上的現(xiàn)象上面這一理論都取得了驚人的成功。然而在小尺度上，愛因斯坦引力卻面臨著問題，比如我們考慮量子引力的時(shí)候，引力子的圈圖是發(fā)散的，這意味著引力是不可重整的。在小尺度上愛因斯坦的引力理論需要修正。

但是，理論物理學(xué)家并不知道具體怎樣修正，甚至不知道是否需要對(duì)引力進(jìn)行量子化。不過(guò)，畢竟引力波和電磁波在很多性質(zhì)上都具有驚人的相似性，那么很自然地，理論物理學(xué)家會(huì)相信量子引力的存在。探索引力的微觀本質(zhì)成了很多學(xué)者研究的重要目標(biāo)。弦論是目前唯一的比較成熟的量子引力模型，當(dāng)然也有一些其他的量子引力模型。

對(duì)理論參數(shù)化

在大尺度上，理論必須回到廣義相對(duì)論，因此理論物理學(xué)家的做法是將小尺度上的理論進(jìn)行參數(shù)化，設(shè)置一些對(duì)于愛因斯坦引力的修正參數(shù)α、β等。其中α是量子引力對(duì)低能的愛因斯坦引力的最低階，也是最重要的修正；另外一些更小的修正項(xiàng)的系數(shù)為β，等等。不同的量子引力模型會(huì)給出不同的α、β值。這些參數(shù)越大，代表這個(gè)量子引力模型在低能下對(duì)于愛因斯坦的修正越大。

從弦論出發(fā)，我們可以計(jì)算出α的精確值。那么弦論究竟是不是那個(gè)唯一正確的量子引力模型呢？現(xiàn)在我們還無(wú)法回答這個(gè)問題，但最近一項(xiàng)工作為其添加了更強(qiáng)的證據(jù)。以色列特拉維夫大學(xué)Andrea Guerrieri、瑞士洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院Jo?o Penedones和加拿大圓周理論物理研究所的Pedro Vieira在《物理評(píng)論快報(bào)》（PRL）發(fā)表論文，他們給出了參數(shù)α的下限，表明弦論處于一片“花園”之中。

文章最近有一項(xiàng)名為“Where is String Theory in the Space of Scattering Amplitudes”的工作。這個(gè)工作中舉了可以進(jìn)行精確計(jì)算的IIA型弦論

和IIB型弦論

。我們現(xiàn)在還不能知道其他量子引力理論給出的α值是多少。

正定性的限制

一般來(lái)說(shuō)，正確的量子引力模型需要散射振幅滿足很好的解析性質(zhì)。另一方面，散射振幅在高能的情況下必須是有限的。Andrea Guerrieri等人的文中構(gòu)造了這樣一個(gè)函數(shù)

在z為無(wú)窮大的時(shí)候是有限的。圖為g(z)這個(gè)函數(shù)在復(fù)平面上的圍道。從圍道積分即可推出α跟散射振幅的關(guān)系：

由光學(xué)定理可以導(dǎo)出α≥0。這也就是一般所說(shuō)的正定性限制。顯而易見，正確的量子引力模型α≥0。而α＜0的區(qū)域，論文作者比喻為“沙漠”。

Bootstrap

在三位物理學(xué)家的引力量子化工作中，他們使用了Bootstrap的方法，這是理論物理中常用的方法。Bootstrap這個(gè)詞本身是指鞋后面用于提鞋的東西，也表示靠自身的能力來(lái)發(fā)展，在物理中一般譯為“靴絆”或“自舉”。它的意思是從理論的本身的自洽性條件出發(fā)，對(duì)這個(gè)理論的參數(shù)自動(dòng)做出一些限制，是一種非微擾處理方法。Bootstrap在理論物理中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，最多的應(yīng)用集中在共形場(chǎng)論這個(gè)領(lǐng)域。

Bootstrap方法的主要思路是，不從具體的高能模型出發(fā)，而是把關(guān)注點(diǎn)放在假設(shè)高能模型所一定具有的性質(zhì)上面。幾年前，Andrea Guerrieri等人首先成功將這種方法應(yīng)用在π介子的相互作用上，這次他們目標(biāo)是引力。他們使用的是散射振幅Bootstrap：首先寫出高能理論滿足一定條件的散射振幅所具有的形式，然后把這個(gè)散射振幅在低能進(jìn)行展開。

下面是散射振幅的一個(gè)一般形式：

其中GN是牛頓常數(shù)。s, t, u是曼德斯坦不變量，ρ是跟曼德斯坦不變量所構(gòu)成的函數(shù)。他們從高能理論所必須滿足的性質(zhì)（洛倫茲不變，交叉對(duì)稱性，解析性和幺正性）出發(fā)，推出了這里面的一些系數(shù)α(abc)所必須滿足的性質(zhì)。接著，他們?cè)侔堰@個(gè)滿足高能理論的良好性質(zhì)的函數(shù)在低能，也就是s很小的極限下面進(jìn)行展開。此時(shí)散射振幅形式如下：

由于散射振幅的高能展開式的形式很長(zhǎng)，所以他們必須對(duì)N做一個(gè)有限大的截?cái)?，得到低能理論的α值之后再進(jìn)行插值，得出N趨于無(wú)窮的時(shí)候，α必須滿足的條件。經(jīng)過(guò)數(shù)值計(jì)算，最終得到α≥0.13±0.02。

因?yàn)橄艺撘还灿形宸N，Type IIA，Type IIB，Type I，SO(32)雜化弦和E8×E8雜化弦，這幾種弦論統(tǒng)一在了M理論的框架下。這項(xiàng)工作中他們也出了弦理論可以進(jìn)行精確計(jì)算的IIA型弦論和IIB型弦論的α參數(shù)，分別是

和

。也就是說(shuō)，弦論預(yù)言給出的參數(shù)α≥0.14，這與Bootstrap方法驚人的相似，恰好覆蓋了弦理論給出的限制。因此作者比喻這里是弦理論的花園，如作者所說(shuō)，“在一個(gè)絕佳的位置，一直延伸到花園的邊緣，與沙漠被一個(gè)可怕的沼澤隔開。（It is in a prime location, stretching all the way to the edge of the garden, separated from the desert by a formidable swamp.）”不過(guò)，我們現(xiàn)在還不能知道其他量子引力理論給出的α值是多少。

花園就是所有量子引力模型必須在的地方，而弦論占滿了整個(gè)花園。

小結(jié)

這篇文章的目的是，想找到弦論在所有符合量子引力要求的高能理論模型中所占有的位置。引力的低能有效理論的散射振幅中的參數(shù)給出了具體的高能理論的特性。不同的高能理論的模型能夠給出不同的α值。從最簡(jiǎn)單的，散射振幅必須滿足的解析性和幺正性出發(fā)，我們可以快速排除α＜0的沙漠區(qū)域，這也就是所謂的正定性條件。Andrea Guerrieri等人的工作希望對(duì)高能的散射振幅進(jìn)行更嚴(yán)格的約束，從而給出更嚴(yán)格的α所必須滿足的條件。我們可以看到，弦論幾乎占據(jù)了所有被Bootstrap方法允許的區(qū)域。這給弦論作為自洽的量子引力模型提供了更強(qiáng)的證據(jù)。

參考文獻(xiàn)

[1] Andrea Guerrieri, Jo?o Penedones, and Pedro Vieira，Phys. Rev. Lett. 127, 081601?e-Print:?2102.02847?[hep-th]

[2] https://www.quantamagazine.org/a-correction-to-einstein-hints-at-evidence-for-string-theory-20220121/