本節(jié)內(nèi)容是對上一節(jié)“拓展閱讀”中問題的解答與延伸。

為便區(qū)分，被乘數(shù)用紅色、藍(lán)色表示，結(jié)果用綠色表示。

我們首先研究乘法中角度（輻角）的關(guān)系。

我們看后兩個例子，通過反正切函數(shù)計算角度

我們發(fā)現(xiàn)結(jié)果的角度等于相乘數(shù)角度之和。這是我們要找的第一個結(jié)論：兩個復(fù)數(shù)相乘，其輻角相加。

我們接著研究乘法中長度（模長）的關(guān)系。

我們看前兩個例子，雖然它們角度相同。但是由于被乘數(shù)大小的不同，導(dǎo)致了結(jié)果大小的不同。

通過勾股定理

我們發(fā)現(xiàn)后者的長度恰好是前者的兩倍。這是我們要找的第二個結(jié)論：兩個復(fù)數(shù)相乘，其模長相乘。

至此，我們找到了復(fù)數(shù)乘法另一種解讀方式。雖然這與代數(shù)方法截然不同，但兩者是等價的！由于復(fù)數(shù)的乘法只與模長和輻角相關(guān)。數(shù)學(xué)家便用這兩個數(shù)來表示復(fù)數(shù)，這種形式也稱極坐標(biāo)形式，用在乘法運(yùn)算中特別方便。

譯至此處，筆者想用蘇軾的《題西林壁》作為結(jié)尾，來表達(dá)我們從另一個角度窺見真理的快意。宇宙還有更深的真相，數(shù)學(xué)幫助我們接近真相。

拓展閱讀

利用今天所學(xué)的知識，我們用新的方式解讀“和差化積”公式。

首先，讓我們先用極坐標(biāo)形式分別定義兩個模長為1，輻角為α、θ的復(fù)數(shù)：

1∠α

1∠θ

讓我們考慮這兩個復(fù)數(shù)的乘法，顯然，結(jié)果的模長還是1，輻角是這兩者的和：

(1∠α)*(1∠θ)=1∠(α+θ)

其次，我們把這三個復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式：

1∠α=cos(α)+isin(α)

1∠θ=cos(θ)+isin(θ)

1∠(α+θ)=cos(α+θ)+isin(α+θ)

（注：isin(α)是sin(α)*i的等價寫法，其中*代表“乘”）

接著，我們把下式左右展開：

(1∠α)(1∠θ)=1∠(α+θ)

左邊

=(1∠α)(1∠θ)

=[cos(α)+isin(α)]*[cos(θ)+isin(θ)]

=cos(α)cos(θ)+cos(α)isin(θ)+isin(α)cos(θ)+isin(α)isin(θ)

=[cos(α)cos(θ)-sin(α)sin(θ)]+i[cos(α)sin(θ)+sin(α)cos(θ)]

（注：兩個三角函數(shù)相乘可以省略乘號，比如sin(α)cos(θ)是sin(α)*cos(θ)的等價寫法）

右邊

=1∠(α+θ)

=cos(α+θ)+isin(α+θ)

左邊＝右邊，等價于左邊的實部等于右邊的實部，左邊的虛部等于右邊的虛部：

cos(α)cos(θ)-sin(α)sin(θ)=cos(α+θ)

cos(α)sin(θ)+sin(α)cos(θ)=sin(α+θ)

特別的，當(dāng)α=θ，我們把上面的兩個公式稍加修改便能得到

cos(α)cos(θ)-sin(α)sin(θ)=cos(α+θ)

cos2(θ)-sin2(θ)=cos(2θ)

（注：三角函數(shù)的平方通常寫在函數(shù)名后，如sin2(θ)是[sin(θ)]2的等價寫法）

cos(α)sin(θ)+sin(α)cos(θ)=sin(α+θ)

2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)

這便是和差化積公式，你理解了嗎？