一、一個屋子里必須要有多少人，才能讓某人和你生日相同的概率至少為1/2? 必須要有多少人，才能讓至少兩個人生日為 7月 4 日的概率大于 1/2?

文心一言：

一個屋子里必須要有多少人，才能讓某人和你生日相同的概率至少為1/2？

答案：23人。

證明：假設(shè)有n個人，生日都在一年365天當中，則某人和你的生日相同的概率至少為1/2，即n≥23。

一個屋子里必須要有多少人，才能讓至少兩個人生日為7月4日概率大于1/2？

答案：25人。

證明：假設(shè)有n個人，生日都在一年365天當中，則至少有兩個人生日為7月4日的概率大于1/2，即n≥25。

訊飛星火：

[分析]生日相同的概率為$\dfrac{1}{365}$,所以屋子里至少要有$366$人，才能讓某人和你生日相同的概率至少為$\dfrac{1}{2}$; 7月4日出生的概率為$\dfrac{1}{365}$,所以屋子里至少要有$366$人，才能讓至少兩個人生日為 $7$ 月 $4$ 日的概率大于 $\dfrac{1}{2}$.

[解答]解：(1)$365+1=366$(人) 答：一個屋子里必須要有$366$人，才能讓某人和你生日相同的概率至少為$\dfrac{1}{2}$. (2)$365+1=366$(人) 答：一個屋子里必須要有$366$人，才能讓至少兩個人生日為 $7$ 月 $4$ 日的概率大于 $\dfrac{1}{2}$.

華為盤古：

要計算至少有多少人可以和某人的生日相同或至少有兩個人生日為 7月 4 日，我們需要知道該屋子里有幾個人。

假設(shè)這個屋子里有 10 個人，那么至少有 5 個人的生日是 7月 4 日，因為 5 個人的生日中至少有兩個日期與 7 月 4 日相同。

因此，至少有 5 個人和某人的生日相同或至少有兩個人生日為 7月 4 日的概率大于 1/2。

360智腦：

對于第一個問題，我們需要找到一個整數(shù) k 使得 (n-1)!/(n!(n-k)!) <= 1/2。由于 k 必須為正整數(shù)，我們可以從 k=1 開始嘗試，直到找到一個滿足條件的 k 為止。當 k=1 時，(n-1)!/(n!*(n-1)!)<=1/2,即 n!/(n-1)!>=1/2n!,化簡得到 n>=log_2(1/1/2),約等于 5.196。由于人數(shù)必須是正整數(shù)，所以我們可以嘗試 k=2、3、...,直到找到一個符合條件的 k。最終，我們發(fā)現(xiàn)當 k=5 時，(n-1)!/(n!(n-5)!)<=1/2,即 n!/(n-5)!>=1/2n!,化簡得到 n>=log_2(1/1/2),約等于 5.196。因此，答案是 5。

對于第二個問題，我們可以通過計算來估算至少需要多少人才能讓概率大于 1/2。首先，讓我們設(shè) n 表示房間內(nèi)的人數(shù)，d 表示任意兩個人的生日之間的差異(以天為單位)。那么 d >= 7 的概率就是小于或等于 1/2。也就是說，我們需要找到一個最大的 n 值，使得 n * log_2(1/1/2) >= log_2(1 - 1/2^d)。取對數(shù)后可得 n >= log_2(1 - 1/2^d) / log_2(1/1/2)。然后，我們可以用近似法來計算 n 的上界。由于 log_2(1 - 1/2^d) 和 log_2(1/1/2) 都是約等于 5.196 的正整數(shù)，所以我們可以用它們的最大公約數(shù) 5.196 作為近似的 n 的上界。例如，如果我們令 d=8,那么 n 的上界將是 112。由于我們只需要找到一個大于此上界的 n 值即可，因此我們可以直接嘗試較大的 n 值，直到找到一個滿足條件的數(shù)值。

chatglm：

對于第一個問題，要讓某人和你生日相同的概率至少為 1/2，我們需要確保屋子里有至少 $6$ 個人。因為每個人的生日范圍是 $1$ 到 $31$，所以至少有 $6$ 個人的生日范圍重疊，這樣才能有至少兩個生日相同。

對于第二個問題，要讓至少兩個人生日為 7 月 4 日的概率大于 1/2，我們需要找到最小人數(shù) $n$，使得在 $n$ 個人中至少有兩個人的生日是 7 月 4 日。由于每個月的天數(shù)是固定的，所以我們需要找到最小的 $n$，使得在 $n$ 個人中至少有 $2$ 個人的生日是 7 月 4 日。我們可以使用如下公式計算 $n$:

$$n = \left\lfloor \frac{365}{7} \cdot 12 + 4 \right\rfloor$$

其中 $\lfloor\cdot\rfloor$ 表示向下取整。這個公式計算的是一年中有多少天是 7 月 4 日，然后將結(jié)果向上取整為最接近的 $n$。例如，當 $n=11$ 時，有 $11$ 個人的生日是 7 月 4 日，所以至少有兩個人的生日是 7 月 4 日的概率大于 1/2。

因此，答案是：

• ??對于第一個問題，最小人數(shù)為 $6$。

• ??對于第二個問題，最小人數(shù)為 $11$。

chatgpt：

根據(jù)生日悖論，當人數(shù)達到一定數(shù)量時，生日重復(fù)的概率會迅速增大。

1. 1.?判斷某人和你生日相同的概率至少為1/2，可以使用以下方法：假設(shè)一年有365天，則你和某個人生日相同的概率為1/365。假設(shè)有n個人，則第一個人的生日可以隨意選擇，第二個人的生日與第一個人不同的概率是364/365，第三個人的生日與前兩個人不同的概率是363/365，以此類推，第n個人的生日與前n-1個人不同的概率是(365-(n-1))/365 = (366-n)/365。因此，讓某人和你生日相同的概率P滿足：P = 1 - (364/365)(363/365)...*((366-n)/365)將P取1/2，解出n，得到n ≈ 23. （向上取整到整數(shù)，即需要至少23人）

2. 2.?判斷至少兩個人生日為7月4日的概率大于1/2，可以使用以下方法：假設(shè)有n個人，其中有k個人生日為7月4日，則k的可能取值為0、1、2、...、n。當k=0時，概率是C[365-1][n]/C[365][n]，即所有人的生日都不是7月4日的概率。當k=1時，概率是C[365-1][n-1]/C[365][n]，即有一個人的生日是7月4日的概率。當k=2時，概率是C[365-1][n-2]/C[365][n]，即有兩個人的生日都是7月4日的概率。以此類推，當k=n時，概率是C[365-1][n-n]/C[365][n]，即所有人的生日都是7月4日的概率。根據(jù)加法原理，至少兩個人生日為7月4日的概率是：P = C[365-1][n-2]/C[365][n] + C[365-1][n-1]/C[365][n] + ... + C[365-1][1]/C[365][n] + C[365-1][0]/C[365][n]將P取1/2，找到最小的n使得P>1/2，即可得到答案。計算可得，當n=27時，P≈0.53，滿足要求。因此，必須要有27個人，才能讓至少兩個人生日為7月4日的概率大于1/2。

總結(jié)：

還是chatgpt靠譜。