概述：方波的分解與合成，是信號系統(tǒng)和模電課程里經(jīng)常用到的實(shí)驗(yàn)?；诟道锶~級數(shù)對方波的三角函數(shù)展開式，可以求出方波的多個(gè)諧波分量。實(shí)驗(yàn)中利用多個(gè)帶通濾波器和加法器，驗(yàn)證這個(gè)理論。

本文的提高和亮點(diǎn)：當(dāng)有學(xué)生問道，為什么方波沒有偶次諧波？為什么一個(gè)只有高低電平翻轉(zhuǎn)的方波能濾波出來多個(gè)正弦波？如果只是用傅里葉公式來說明這個(gè)道理未免有些太“生硬”。本文使用示波器，從時(shí)域的角度簡明扼要的分析出方波分解奇次諧波的道理，同時(shí)也分析出它們幅度的關(guān)系。

同時(shí)也給出一個(gè)分析問題的思路，時(shí)域跟頻域相結(jié)合，可以更好的理解電路的基本原理。

關(guān)鍵字：階躍響應(yīng)，方波，傅里葉級數(shù)，帶通濾波器

主要內(nèi)容：

1.??? 原理圖

2.??? 實(shí)物圖

3.??? 整體測試結(jié)果

4.??? 時(shí)域分析方波如何產(chǎn)生各次諧波

5.??? FilterPro設(shè)計(jì)帶通濾波器

6.??? 濾波器的調(diào)試

原理圖

實(shí)物圖

整體測試結(jié)果

????????示波器使用雙蹤，通道1黃色測試輸入的方波，通道2藍(lán)色測試加法器的輸出。通過開關(guān)分別接入1次，3次，5次，7次，9次諧波，觀察疊加后的效果。

????????可以看到加入的高次諧波越多，合成后的波形越接近方波。

時(shí)域分析方波如何產(chǎn)生各次諧波

????????先觀察一下濾波器的沖擊響應(yīng)。設(shè)置一個(gè)慢頻的方波，周期長到足以使濾波器受到?jīng)_擊后恢復(fù)平靜。占空比1%，這樣近似一個(gè)沖擊信號。示波器雙蹤測試，通道1黃色測試輸入的沖擊信號，通道2藍(lán)色測試濾波器的輸出

????????以1K? 3K? 5K帶通濾波器為例進(jìn)行測試，可以觀察到?jīng)_擊后，濾波器輸出是一個(gè)衰減的正弦波。從右側(cè)的“測量”欄里看通道2的頻率，分別為1K 3K 5K。這就說明，濾波器自身的RC元件設(shè)定了固有的諧振頻率。外部給一個(gè)能量后，能量就在RC元件中以這個(gè)固有頻率振蕩并衰減。

????????劃重點(diǎn)：濾波器的硬件電路設(shè)置了一個(gè)固有的諧振頻率。

????????再看一下1K方波作用于濾波器。

????????注意觀察A點(diǎn)和B點(diǎn)，這里是方波邊沿與正弦波交叉的地方。可以看到A點(diǎn)是正弦波上升的起點(diǎn)，正好對應(yīng)方波的上升沿。B點(diǎn)是正弦波下降到波谷的起點(diǎn)，正好對應(yīng)方波的下降沿。

????????就像蕩秋千一樣，方波在合適的時(shí)刻給濾波器持續(xù)的激勵(lì)。合適的時(shí)刻就是指相同的信號方向，這樣不會(huì)阻礙振蕩。使得振蕩可以持續(xù)。（沖擊響應(yīng)中，振蕩是衰減的，所以需要外部按同樣的節(jié)拍給與能量）。

????????再看一下偶次頻率的關(guān)系時(shí)，時(shí)域現(xiàn)象。方波給1.5KHz，那么3kHz帶通濾波器就是偶次關(guān)系。方波給2.5KHz，5KHz帶通濾波器就是偶次關(guān)系。可以看到，偶次關(guān)系時(shí)，正弦波上升時(shí)，方波給下降沿。正弦波下降時(shí)，方波給上升沿。正是在阻礙振蕩，信號幅度衰減很多。所以當(dāng)在方波后面設(shè)置1 2 3 4 5 6 7各次諧波的帶通濾波器時(shí)，只有1 3 5 7 這些奇次濾波器的輸出最大。

????????劃重點(diǎn)：方波的節(jié)拍跟濾波器合拍時(shí)，才能使濾波器持續(xù)輸出正弦波。

從時(shí)域角度推導(dǎo)一下方波的級數(shù)展開式

????????根據(jù)前面觀察到的方波與正弦波的關(guān)系，中間方波下降沿要對應(yīng)正弦波的下降起始點(diǎn)。

????????????????????????????????????????????????T/2 = t×N+t/2

T=（2N+1）×t??? N= 0 1 2 3 ……

????????所以T和t之間有奇數(shù)倍的關(guān)系。

????????再分析一下幅度的關(guān)系，一個(gè)T內(nèi)有一個(gè)1次諧波周期，有3個(gè)3次諧波周期，有5個(gè)5次諧波周期。并且一個(gè)周期內(nèi)方波提供的能量是相同的，所以相對于1次諧波，3次諧波就是它的1/3幅度，5次諧波就是它的1/5幅度. 高次就是 1/ (2N+1)幅度。

????????通過以上分析，就從時(shí)域角度得到了與傅里葉級數(shù)展開一致的結(jié)果。并且便于電子工程師理解其中的原理。不再是“生硬”的公式。

?

截圖簡單介紹一下filterPro設(shè)計(jì)帶通濾波器

????????注意：帶通濾波器的帶寬，影響沖擊響應(yīng)衰減振蕩的速度，帶寬窄則衰減振蕩的時(shí)間長。在方波的激勵(lì)下，更容易輸出近似等幅的振蕩。

????????當(dāng)濾波器的增益調(diào)試不當(dāng)時(shí)，就變成振蕩器。不用方波激勵(lì)，就輸出信號。調(diào)試中要避免。

濾波器的調(diào)試

????????調(diào)試目標(biāo)的確定。濾波器調(diào)試前，先看一下理想濾波器的掃頻特性。藍(lán)色為增益隨頻率的變化曲線。紅色是相位差隨頻率的變化。以1K中心的帶通濾波器為例，在1KHz的中心頻點(diǎn)處，增益為1倍，輸入輸出的相位差為0度。這樣就給出一個(gè)調(diào)試的明確目標(biāo)，使實(shí)際濾波器在1K頻點(diǎn)，增益接近1倍，相位差接近0度。高次的濾波器3KHz 5KHz 7KHz和9KHz也是這樣的調(diào)試目標(biāo)。在中心頻點(diǎn)位置，增益接近1倍，相位差接近0度。

????如何在時(shí)域調(diào)試。搞清楚了調(diào)試目標(biāo)，再研究一下調(diào)試的操作方法。顯然在頻域中每調(diào)試一次就掃頻觀察結(jié)果非常不方便，也很慢。所以利用示波器和信號源，在時(shí)域中觀察調(diào)試結(jié)果。

????????由于實(shí)際元件有誤差，特別是電容有誤差，所以按照理論結(jié)果設(shè)計(jì)的電路，也會(huì)存在偏差。實(shí)際電路中留有兩個(gè)電位器，調(diào)節(jié)電阻的值，來抵消誤差對增益和相位的影響。電阻減小，則頻點(diǎn)向高頻移動(dòng)。反之向低頻移動(dòng)。

????????小技巧：電位器一圈有10個(gè)刻度，調(diào)試時(shí)一個(gè)刻度一個(gè)刻度擰。電位器順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，電阻減小。兩個(gè)要同步向一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)樗鼈儍蓚€(gè)既可以調(diào)節(jié)頻點(diǎn)也可以調(diào)節(jié)幅度。所以要擰一下上面的，再擰一下下面的。不能單獨(dú)只擰一個(gè)。

????????示波器用雙蹤，通道用相同的Y軸，相同的水平位置。通道1觀察輸入的正弦信號，通道2觀察輸出的正弦信號。調(diào)節(jié)電位器，使兩個(gè)波形近乎重合。波形重合則代表增益為1倍，相位差為0度。以1KHz中心的帶通濾波器為例。

????????先順時(shí)針擰兩個(gè)電位器，使藍(lán)色波形右移，使相位接近，然后再逆時(shí)針或者順時(shí)針細(xì)調(diào)，使幅度對齊，兩個(gè)波形重合。然后進(jìn)入bode圖功能，檢驗(yàn)一下。Bode圖功能要關(guān)閉示波器和信號源，釋放硬件資源。信號源S1（EPI204機(jī)型是用HSS信號源）和通道1接濾波器輸入，通道2接濾波器輸出。

????????同樣的方法，分別設(shè)置信號源正弦波為 3k 5k 7k 9kHz，將3k 5k 7k和9k中心頻點(diǎn)的帶通濾波器輸入和輸出波形重合。并bode圖檢驗(yàn)。

從加法器輸出進(jìn)行掃頻，可以看到5個(gè)帶通濾波器的幅頻特性曲線的總和效果。