(1)?外延公理（容積公理）：一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有的元素相同，則它們是相等的。

(2)分離公理模式：“對任意集合X和任意對X的元素有定義的邏輯謂詞P(z)，存在集合Y，使z∈Y 當且僅當z∈X而且P(z)為真”也就是說：若X是一個集合，那么可以斷定，Y={x∈X|P（x）}也是一個集合。

(3)配對公理：對任意a和b是對象，則存在一個集合{a，b}，其僅有的元素是a和b。也就是說：我們可以用一個集合Z={X,Y}來表示任給的兩個集合X,Y，稱之為X與Y的無序對。

(4)并集公理：任給一族M，存在UM（稱為M的并）它的元素恰好為M中所含元素的元素。也就是說：我們可以把族M的元素的元素匯集到一起，組成一個新集合。注：為了方便描述，定義族表示其元素全為集合的集合。

(5)冪集公理(子集之集公理)：對任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰好就是X的一切子集。也就是說：存在以已知集合的一切子集為元素的集合。

(6)無窮公理：存在歸納集。（存在一個集合，空集是其元素，且對其任意元素x，x+=x∪{x}也是其元素）也就是說，存在一集合x，它有無窮多元素。

(7)替換公理模式（置換公理）：也就是說，對于任意的函數(shù)F（x），對于任意的集合T，當x屬于T時，F(xiàn)（x）都有定義（ZF中唯一的對象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合S，使得對于所有的x屬于T，在集合S中都有一元素y，使y=F（x）。也就是說，由F（x）所定義的函數(shù)的定義域在T中的時候，那么它的值域可限定在S中。

(8)正則公理：也叫基礎公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質，例如，不允許出現(xiàn)x屬于x的情況。準確的定義：“對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集?！币陨?條公理組成了ZF公理系統(tǒng)，再加上選擇公理，則組成了ZFC公理系統(tǒng)

(9)選擇公理：也叫策梅洛公理，對于任意兩兩不交的集合族，存在集合C，使對所給的族中的每個集合X，集合X與C的交恰好只含一個元素

以上為ZF集合論中的各種公理

?

集合{}符號

?

給定任何集合A和任何集合B，A=B，當且僅當【給定任何集合中的元素x，x∈A當且僅當x∈B?！浚ㄟ@里的x是集合不是本質性的，但在ZF中所有東西都是集合

?

集合１?。健?集合２，集合３, ...}

?

例如　s? ＝　{　{ },　{{ }},　{{ },{{ }}}　}

?

zf里只有空集和嵌套空集　其它集合均為各種空集的編號

?

a={?}=1　　b={{?}}={1}=2　　c={{?},{{?}}}={1,2}=3

?

s={1,2,3}={?,{?},{{?}}}

?

?

?

?

?

∈符號

集合S∈集合T

a∈b?。釋儆冢狻〖蟖是集合b中的一個元素/子集

其它符號如∪，?，＝……之類，由上面2個原始符號用公理推導出

ZFC集合論公理

【１】外延公理：

?ａ?ｂ(?ｔ(ｔ∈ａ?ｔ∈ｂ)→ａ＝ｂ　)

構建等號?。?/p>

（t屬于a　當且僅當　t屬于b）　所以　a＝b

ｔ在ａ中綁定ｔ在ｂ中，則ａ和ｂ的元素相同

?

【２】空集存在公理：

?s?ａ(ａ?s)

s＝?　構建空集

對于所有可能的a　a全都不屬于是，s存在

所以r只能是空集

?

【３】無序對集存在公理：

?ａ?ｂ?s?ｔ(ｔ∈s?(ｔ=ａ∨ｔ=ｂ))

構建不超過二元的無序集

(　存在s?以t為元素　)　當且僅當　(　t是a或者b　)

t在s里面，且a，b只能二選一　s當然只有2個元素

其中　s={a,b}　二元集合

一元：a=b時　s={a}

拿到上面新做好的空集?

假設1　a=b=?，S1={a}={?}

假設2　a=?，b= S1={?}，S2={a,b}={?,{?}}

重復假設1可得無數(shù)個一元集合　{?}，{{?}}，{{{?}}}　.....

重復假設2可得無數(shù)個二元集合　{?,{?,{?}}}，{{?,{?}},{?}}　......

?

【４】并集存在公理：

?

?ａ?ｂ?ｘ(ｘ∈ｂ??ｙ(ｘ∈ｙ∧ｙ∈ａ))

構建∪符號

存在b以x為元素當且僅當存在y?以x為元素并且y屬于a　

a的元素的元素是x，單獨考察某個a。對于某ａ?b和?y是有些區(qū)別，ｙ被y∈a所限制，ｙ的個數(shù)＝某ａ的元素個數(shù)y1～yn每個y對應一些元素ｘ，而ｂ沒有被限制。無論假設幾個ｂ，ｂ的元素都是一樣的。所以ｂ是唯一的，ｂ的元素是所有ｘ

例如　y1={x1,x2}　y2={x3,x4}　a={y1,y2}={ {x1,x2},{x3,x4} }

所以b={x1,x2,x3,x4}

寫法∶廣義并：b＝∪a，b＝∪{y1,y2}，常規(guī)并：b＝y(tǒng)1∪y2

建造完∪，就可以用之前的二元集合來創(chuàng)建二元以上的多元集合{x1,x2,x3,x4.....}

?

【５】子集公理｜分離公理模式：

?ａ?s?ｘ(ｘ∈s?ｘ∈ａ∧Ｐ(ｘ))

用關系公式Ｐ表示集合，存在s以x為元素，當且僅當ｘ屬于ａ并且ｘ滿足Ｐ條件 ，ｘ是ａ中所有滿足Ｐ條件的元素　由于是充要推導　所以ｘ也都屬于s，s是ａ的子集　用Ｐ條件從ａ里分離出來

如此得到新的集合表示方法?。颍剑海?ｘ)∧（ｘ∈ａ）｝，ａ可以是任意集合

ｘ∈ａ可以隱含在Ｐ(ｘ)里　ｒ＝｛ｘ：Ｐ(ｘ)｝

例如交集，并集的定義

｛ｘ：ｘ∈ｄ　∧ｘ∈ｃ?。健。恪桑?/p>

｛ｘ：ｘ∈ｄ　∨ｘ∈ｃ?。健。恪龋?/p>

?

【６】冪集公理：

?ａ?ｐ?ｂ(ｂ∈ｐ??ｔ(ｔ∈ｂ→ｔ∈ａ))

構建冪集，(存在p?以b為元素)　當且僅當　(　b是a的子集　)

后半部　?t(　t∈b　→　t∈a　)　是子集的定義

對于所有t，（t屬于b　一定有　t屬于a）　所以b是a的子集　 同b?a

將ａ的所有子集b１～ｂｎ裝進ｐ里，這個ｐ稱做ａ的冪集　

ｐ＝　Powerset（ａ）＝｛ｂ：ｂ?ａ｝

例如｛2，3｝的冪集?。?　，｛２｝，｛３｝，｛２，３｝　｝

ａ的各元素ｔ自由組合成子集，ｎ個元素集合的冪集有２的ｎ次冪個元素　

【７】無窮公理：

?ｓ（?∈ｓ∧?ｘ（ｘ∈ｓ→（ｘ∪｛ｘ｝）∈ｓ））

可以用來構建自然數(shù)

存在某ｓ（ｓ中至少有空集）并且（ｘ屬于ｓ　一定有?。停牟⒓矊儆冢螅?/p>

用元素ｘ來遞歸創(chuàng)造無數(shù)元的集合ｓ，（ｘ∪｛ｘ｝）稱為ｘ的后繼ｘ＋　

x屬于ｓ，則ｘ的后繼也屬于ｓ，每個ｘ都會對應一長串后繼，這種ｓ也叫歸納集

不是任何元素后繼的元素就是初始元素

假設ｓ中的初始非后繼元素只有一個?　　這種ｓ＝ω　稱做最小歸納集

那么?就是起始元素?。埃?　　１＝　?∪｛?｝＝｛?｝　

２＝｛?｝∪｛｛?｝｝＝｛?，｛?｝｝

３＝｛?，｛?｝｝∪｛｛?，｛?｝｝｝＝｛?，｛?｝，｛?，｛?｝｝｝

這個ω可以用來象征自然數(shù)集合｛０，１，２，３．．．．｝

３為２的后繼　　4為3的后繼?。?/p>

【８】替換公理模式：

?x?!y?Ｐ(x,y)?→ ?m?n?b（ｂ∈ｎ??ａ（ａ∈ｍ∧Ｐ(a,b)））

可以用Ｐ規(guī)則將ａ映射／替換為ｂ

如果P為函數(shù) 則→(存在n以b為元素　當且僅當?(存在a使?a屬于m　且　滿足P(a,b)))

函數(shù)P在m限制下　P的定義域domP被m縮小　因為P的參數(shù)a只能在m中取值了 不再?x。被縮小后的函數(shù)記做(P↑m)　函數(shù)(P↑m)的值域ran(P↑m)　稱做P在m下的象

ran(P↑m)＝{b:?a(a∈m∧P(a,b))}＝ｎ

公理聲明：任意給定的集合ｍ和函數(shù)Ｐ　　P在m下的象一定存在且形成一集合ｎ

前半部是對函數(shù)的篩選　　?!y表示只存在一個ｙ　

?x?!y P(x,y)　等價于　?x?y（　P（x,y）∧?t（P（x,t）→ｔ＝ｙ））

關系?P（x,t）對于某ｘ　所有的ｔ都只能等于ｙ，ｔ只有唯一對應。這樣的關系　P（x,y）　叫做Ｐ函數(shù)。Ｐ關系與Ｐ函數(shù)的區(qū)別：每個參數(shù)ｘ只對應出一個ｙ，Ｐ為函數(shù)。每個參數(shù)ｘ可對應出多個ｙ，Ｐ為關系，關系大于且包括函數(shù)概念。

?

【9】正則公理：

?ｓ（?ａ（ａ∈ｓ）→　?ａ（ａ∈ｓ∧?ｔ（ｔ∈ａ→ｔ?ｓ）））

可以用來去除一些無限套娃類的寫法　

（對所有非空集合s　存在元素a）一定會→（存在元素a　而且　a與s交集為空）　

后半部　?ｔ（ｔ∈ａ→ｔ?ｓ）等價于交集為空　　

對任意t元素　t屬于a　一定有　t不屬于s　所以a和s無共同元素　a∩s＝?

前半部?ａ有聲明ａ元素存在，說明只討論ｓ不是空集的情況。也就是∶正則公理要求。非空ｓ中要存在某元素與ｓ自身交集為空。ａ稱為ｓ中的∈極小元，∈關系是良基的。極小元要求ａ只可以屬于ｓ中的其它元素　但不可以把ｓ中的元素拿來給自己當元素。所以a和s無共同元素，a∩s＝?，這樣就保證ａ是ｓ中這些∈關系鏈的最底層，不會出現(xiàn)無限循環(huán)嵌套的情況。例如?。螅剑螅剑螅剩剩剩≈惖膶懛ǘ己凸頉_突

?

【10】選擇公理：

?

?x(?a( a∈x→a≠?)→?f( Fun(f)∧?a( a∈x→f(a)∈a)))

創(chuàng)造選擇函數(shù)

(a在x中 一定致?a不為空)則→((存在?f為函數(shù))且(x中的a?一定使?f(a)是a的元素))

Fun(f)是一個函數(shù)判斷模塊，當ｆ是函數(shù)時　Fun(f)=真;ｆ不是函數(shù)時，F(xiàn)un(f)=假。ｘ是一個由非空集合組成的集合?。崾牵心硞€非空集。f(a)稱做選擇函數(shù)　f(a)可以選取ａ中的某個元素。選擇公理宣稱　對于非空集的選擇函數(shù)一定存在。通常一個無限的，元素沒有識別特征的集合　靠枚舉和特征公式都選不出元素來，只能隨機選取一個　但數(shù)學是用嚴格的邏輯和演繹來搭建的，無法產生真正的隨機，所以這個公理假裝隨機是存在的。這個公理不是公理模式和替換公理不同　所以模塊Fun(f)的內部結構會復雜一些。

Fun(f)??t(t∈f?→　(?m?n(t=<m,n>)?∧ ?m(m∈dom(f)→?!n(<m,n>∈f)) ))

t滿足f?則→(　(存在有序對<m,n>=t)并且(對任意f定義域中的m→只有1個值n滿足f))

一個定義域中的ｍ只對應一個值域中的ｎ　正是函數(shù)的定義

其中ｆ的定義域　dom(f)模塊的內部結構:　

dom(f)?{ m:??n(<m,n>∈f) }　　　　另外值域ran(f)?{ n:??m(<m,n>∈f) }　

<m,n>　<x,y>之類表示有序對　有序對也是亠種特殊的集合　元素之間有順序

<m,n>?≠?<n,m>　　而無序對　{m,n}＝{n,m}　

有序對可以轉化為普通集合的寫法:　<m,n>＝{{m},{m,n}}

其中一個元素是另一個元素的子集　這樣兩個元素的先后順序就被記錄下來了

另外函數(shù)ｆ和關系ｆ也都是一種集合　?。媸且环N以有序對為元素的集合

例如?。妫剑?lt;x1,y1>, <x2,y4>, <x3,y1>, <x4,y2>.......｝

f中記錄了每個x與y的映射關系

x1～xn?全在定義域集合domf中　　y1～ym?全在值域集合ranf中

f(x)是求f中ｘ的對應值　f(x)=y

公理中的<m,n>∈f寫法　就表示ｍ和ｎ是滿足ｆ的一對組合

?