定義一個(gè)集合 其中包含所有自然數(shù){1,2,3,4,5,6,7……} 是我們得到自然數(shù)集N 很明顯，N是無窮大的，因?yàn)榻o定一個(gè)自然數(shù)n，必然有n?(也就是后面的一個(gè)數(shù)) 將自然數(shù)集化為序數(shù)，我們就得到了 ω ω就是自然數(shù)集的序型，也是最小的無窮 ω為什么不是自然數(shù)，一個(gè)集合不可能∈自己本身吧？所以1+ω=ω，擺脫了困境…… 極限序數(shù)中沒有交換律！ 不過因?yàn)棣厥切驍?shù)，所以必然存在下一個(gè)后續(xù)數(shù)，于是我們得到了ω?，也就是ω+1 路都又開始了…… ω+2，ω+3……ω+ω ω×3，ω×4……ω×ω ω^3，ω^5……ω^ω ω^ω^ω…… （↑之類前的大數(shù)表示法之前專欄基本有些限大數(shù)說，這邊就不用多說了……） 現(xiàn)在普通的科學(xué)記數(shù)法不夠用，我們也達(dá)到了極限，后面還有路嗎？ 我們把以上所有ω的集合記作： ε? 于是 ε? =sup{ω,ω^ω,ω^ω^ω,…} 這里有個(gè)很奇怪的特性，ω^ε?=ε? 把ε0比作α，那么α=α^ω 很離譜嗎？ 其實(shí)很好理解，因?yàn)棣?就是ω個(gè)ω相乘方 也就是ω↑↑ω ω↑↑ω^ω=ω↑↑1+ω=ω↑↑ω 于是我們把ε?稱作ω的不動(dòng)點(diǎn)！ ε0也就是第一個(gè)ω不動(dòng)點(diǎn) 問題來了，竟然是不動(dòng)點(diǎn)了，那么后面該怎么進(jìn)行？ ω↑↑(ε?+1)=ε??? 沒錯(cuò)，只要加個(gè)1，不能打破這個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 因?yàn)榇藭r(shí)互相乘方的ω變成了ω+1個(gè) 而不是變成1+ω，不會(huì)卡不動(dòng)點(diǎn)！ 由此可以推出更好的不動(dòng)點(diǎn)序數(shù)： ζ?=εεεεεεεεεε……? 一共ω個(gè)ε η?=ζζζζζζζζζζ……? 一共ω個(gè)ζ …… 這樣列舉太慢了！ 于是出現(xiàn)了一個(gè)函數(shù)：φ(#) 其中： φ?(n)=ω^n φ?(0)=φ???(φ???(φ???(φ???(……)))) ω個(gè)括號(hào) 于是我們可以直接枚舉出一些不動(dòng)點(diǎn)序數(shù) φ?(0)=ω φ?(0)=ε? φ?(0)=ζ? φ?(0)=η? 一直φω(0) 不行，一元φ函數(shù)還是太弱了，于是，我們要擴(kuò)展出多元φ函數(shù) 將外面的下標(biāo)收入括號(hào)里(打字簡(jiǎn)單點(diǎn)了??) 然后第定義：φ(n,0,0)是對(duì)φ的不動(dòng)點(diǎn)擴(kuò)展…… 于是我們得到了Γ?，也就是φ(1,0,0) 為φ(n,n)的不動(dòng)點(diǎn) =φ?(φ?(φ?(φ?(φ?……))) ω個(gè)φ φ(1,0,n)=Γ? φ(1,1,0)=ΓΓΓΓΓΓ?！? …… @： 表示一個(gè)數(shù)在φ中的位置 如果只有一個(gè)，默認(rèn)后面為0 比如： φ(1@4)=φ(1,0,0,0) φ(1,0,0,0)也就是阿克曼序數(shù) φ(1@ω)就是小維布倫序數(shù)(LVO) 下面的突破又遇到了困難 于是要定義一種新的函數(shù)…… 令 ω 為第一個(gè)超限序數(shù)， Ω 為第一個(gè)不可數(shù)序數(shù)(注意不是絕對(duì)無窮) C0(α)={0,1,ω,Ω} Cn+1(α)={γ+δ,γδ,γδ,ψ(η)|γ,δ,η∈Cn(α);η<α} C(α)=?n<ωCn(α)ψ(α)=min{β<Ω|β?C(α)}這意味著， ψ(α) 是小于 Ω 的最小序數(shù)，且無法利用 C0(α) 通過加法，乘法，冪集運(yùn)算來 ψ(n)=ε? ψ(ζ?+n)=ζ? …… ψ(Ω)=ζ? ψ(Ω+n)=εζ?+1=ζ? …… ψ(Ω+ζ?)=εζ?+ζ?=ζ? …… ψ(Ω2+n)=ζ? …… ψ(Ωη?)=η? …… 后面也是同質(zhì)性的，好像根本沒有增長(zhǎng)…… ψ(Ω2)=ψ（Ω^ψ(Ω)） 所以 ψ(Ω22)=η? ψ(Ω2n)=η??? ψ（Ω3)=φ?(0) ψ(Ω?)=φ???（0） ψ(Ω^Ω)=Γ? ψ(Ω^Ω n)=Γ??? ψ（Ω^Ω+1）=φ（1,1,0） ψ（Ω^Ωn）=φ(n,0,0) ψ(Ω^Ω^n)=φ(1@n+1)（n+1個(gè)0） φ(Ω^Ω^ω)=φ（1@ω） 大維布倫序數(shù)(SVO)：ψ(Ω^Ω^Ω) = ? 巴克曼 - 霍華德序數(shù)(BHO)： ψ(εΩ+1) 過了這個(gè)階段，我們還可以定義出新的ψ函數(shù)，以及新的序數(shù)比如BO=ψ(Ω_ω)，TFB=ψ(ψ_ω(0))……太慢，遞歸函數(shù)的增長(zhǎng)太慢了…… 來定一些有趣的數(shù)…… 一個(gè)無限象棋，在無限象棋中，一個(gè)位置的游戲值（白色格）是由遞歸定義的。值為 0 的位置正是 white 已經(jīng)贏的位置。如果一個(gè)位置 p 是白色的格子，那么當(dāng)且僅當(dāng) α 是最小值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng) α 可以合法地從 p移動(dòng)到值為 α 的位置，那么 p 的值就是 α+1 。如果一個(gè)位置 p 為黑格，其中黑格有從 p開始的合法移動(dòng)，而黑格從 p 開始的每一個(gè)移動(dòng)都有一個(gè)值，那么 p 的值就是這些值的上確界。 ω???：無限象棋中白棋在有限個(gè)位置獲勝的博弈值的上確值 ω??? ?：無限象棋中白棋在可計(jì)算個(gè)位置獲勝的博弈值的上確界。 ω???~ ：無限象棋中白棋在無限個(gè)位置獲勝的博弈值的上確界。 現(xiàn)在只計(jì)算一下它們的值(不考慮無限的情況下) 很明顯很難估算出來吧…… ω???：也就是邱奇 - 克林序數(shù)， 是可計(jì)算序數(shù)的上確界。一個(gè)序數(shù) α 是可計(jì)算的當(dāng)且僅當(dāng) 其序型存在一個(gè)位于 N 上的可計(jì)算關(guān)系 ? 。即： ?α,