在線性回歸分析中，經(jīng)常會(huì)遇到需要進(jìn)行變量變換的情況，而對(duì)數(shù)變換則是實(shí)際中十分常見(jiàn)的一種變換，根據(jù)我個(gè)人遇到的情況，很有可能是最常見(jiàn)的。
變換有好處有壞處，好處不用多說(shuō)，使其滿足線性關(guān)系，仍然可以按線性擬合。不好處是增加了解釋的復(fù)雜程度，變換后的解釋往往不像我們表面上看起來(lái)的那樣簡(jiǎn)單。本文主要對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行說(shuō)明。
假定有下面這樣一份數(shù)據(jù)，以x擬合y。ln(x）表示對(duì)x做的對(duì)數(shù)變換。

我們可以先看一下x與y的關(guān)系，如下圖所示：

再看y與lnx的關(guān)系，如下圖所示：

很明顯，x與y的關(guān)系并不是線性關(guān)系，對(duì)x進(jìn)行對(duì)數(shù)變換后，lnx與y的關(guān)系呈線性關(guān)系。因此我們擬合y=a+b*lnx這一模型。結(jié)果如下：

預(yù)測(cè)結(jié)果如下：

結(jié)果顯示，截距為27.121，lnx的斜率為-4.525。

下面我們就專(zhuān)門(mén)來(lái)說(shuō)一下斜率的解釋問(wèn)題。首先，把lnx看做一個(gè)變量的話，其解釋就是我們經(jīng)常說(shuō)的：x每增加1個(gè)單位，因變量y的變化幅度。在這里也就是說(shuō)：lnx每增加1個(gè)單位，y平均降低4.525。
再通過(guò)上述例子的數(shù)據(jù)說(shuō)的更具體一點(diǎn)。數(shù)據(jù)的最后一行中，lnx為2.71，預(yù)測(cè)的y值為14.867。當(dāng)lnx增加1個(gè)單位，也就是lnx+1，變成了3.71，這時(shí)預(yù)測(cè)y應(yīng)該是多少呢？很簡(jiǎn)單，在原有預(yù)測(cè)值基礎(chǔ)上降低4.525，也就是14.867-4.525=10.342。

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