【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。?

第一章直線、角、平行線——直線、圓和圓弧??

§1-3線段的度量和畫法

【01】我們知道，可以用有刻度的直尺來量出線段的長度（圖1·12）。但是如果要把線段量得精確些，應(yīng)當(dāng)用分割規(guī)（兩腳都是尖針的圓規(guī)）。量的方法是先把分割規(guī)兩腳的針尖分別放在線段的兩個(gè)端點(diǎn)上（圖1·13(1)），直然后不改變分割規(guī)的張口大小，把它移到有刻度的直尺上，并使一個(gè)針尖落在直尺記著 0 的刻度線上，這時(shí)另一個(gè)針尖就指出這線段的長度（圖1·13(2)）。

【02】如果分割規(guī)的另一個(gè)針尖不是正好指在尺上的刻度線時(shí)，我們就要憑目力來估計(jì)，再用四舍五入法讀出線段的近似長度。

【03】如圖1·14中，B 指著的點(diǎn)靠近 22 毫米，那末它的近似長度應(yīng)該是 22 毫米（精確到 1 毫米）；D 指著的點(diǎn)靠近 23 毫米，它的近似長度就應(yīng)該是 23 毫米（精確到 1 毫米）。

【04】使用分割規(guī)的時(shí)候，應(yīng)該注意兩個(gè)針尖是否已經(jīng)并齊（圖1·15），如果不并齊時(shí)去度量線段，就會(huì)影響所量結(jié)果的精確度。

【05】我們用分割規(guī)和直尺，也可以畫出或者截取已知長度的線段。方法是先用直尺畫一直線，用分割規(guī)在刻度尺上量好已知的長度，不改變它兩腳的張口，移到畫好的直線上去，使分割規(guī)兩個(gè)針尖都落在直線上，用鉛筆尖在針尖指著的地方畫細(xì)直線，這時(shí)兩個(gè)細(xì)實(shí)線間的那個(gè)線段就等于已知長度的線段了。

【06】我們應(yīng)用分割規(guī)和直尺截取線段的方法，可以在一條直線上畫出線段，使它等于兒條線段的和。如圖1·16中，PQ＝a＋b＋c，其中線段 a,b,c 是已知的。

【注意】在直線上截取各已知線段時(shí)，如果改變線段 a,b,c 的順序，所畫出它們的和 PQ 的長是一樣的，道理是線段相加，交換律仍然是滿足的，這和代數(shù)里所學(xué)的加法交換律一樣。

【07】同樣，也可以畫出一條線段，使它等于兩條已知線段的差。如圖1·17中，PQ＝l－m，其中線段 l，m 是已知的，并且 l＞m? 。

【08】從上圖可以看出，線段 PQ＋m＝l，如果 PQ 和 m 的順序交換一下，就有 m＋PQ＝l，所以在畫圖的時(shí)候，如果從線段 l 的左端起截取線段 m，結(jié)果也是一樣的。

【09】我們用分割規(guī)和直尺還可以把線段等分。方法是先量一量這條線段的長度，用除法計(jì)算出它的每一等分的長度（有時(shí)除不盡，取它的近似值），再利用分割規(guī)按每分的長度作出所要求的各等分線段（圖1·18）。

【10】這樣作圖有時(shí)會(huì)有誤差。如圖1·19，第 5 分點(diǎn)與點(diǎn) B 相差線段 a，就應(yīng)該使兩個(gè)針尖間的距離縮短（圖1·19(1)）或者加長（圖1·19(2)）? 。

【11】如果把一條線段二等分，這個(gè)分點(diǎn)也就是這條線段的中點(diǎn)。

例1.在射線 AM 上截取一線段，使它等于已知線段 a 的 5 倍（圖1·20）。

【解】

????????先畫出已知線段?a，再畫出射線 AM? 。用分割規(guī)自 A 點(diǎn)起順次截取 AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝a，所以 AF＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＝5a? 。

例2.已知線段 a,b(a＞b)，用分割規(guī)和直尺畫出線段 x,y，使 x＝a＋2b；y＝3a－2b（圖1·21）。

【解】先畫出已知線段 a 和 b，且 a＞b? 。再畫出射線 AM 和 BN? 。

????????(1)用分割規(guī)在射線 AM 上，自點(diǎn) A 起順次截取 a 和 2b，∴ x＝a＋2b? 【符號(hào) “∴” 表示“所以”】

????????(2)用分割規(guī)在射線 BN 上，截取 BE＝3a，再自 E 向左方截取線段等于 2b，∴?.y＝3a－2b? 。

【注】在圖上標(biāo)注線段的長度，有一定的方法。先在要標(biāo)注的線段兩端，引出細(xì)實(shí)線作為境界線（圖1·21），境界線通常用長約 5 毫米的細(xì)實(shí)線表示，在境界線中間再畫一條細(xì)實(shí)線，中間留著空位，注明長度的數(shù)字或者小寫字母，兩端畫上箭頭，這條細(xì)實(shí)線叫做尺寸線。

例3.已知兩條線段 A'B'＝5.4mm，CD'＝2.5mm，依照定比 10：1 放大后畫出這兩條線段的差。【“mm”表示毫米，“cm表示厘米，“dm”表示分米，m"表示米】

【解】已知 A'B'＝5.4mm。C'D'＝2.5mm，依題意把它們放大 10 倍，就是

????????AB＝5.4mm×10＝54mm＝5.4cm，CD＝2.5mm×10＝25mm＝2.5cm? 。

????∴ AB－CD＝5.4cm－2.5cm＝2.9cm? 。

????????下面是按10：1放大的圖（圖1·22）：

習(xí)題1-3

1、任意畫一條線段 AB，用分割規(guī)和毫米尺量出線段 AB 的長度（精確到毫米）。

2、任意畫一條線段 CD，用分割規(guī)和毫米尺求出它的中點(diǎn)來。

3、已知兩條線段長為 4.6 米和 340 厘米，用直尺和分割規(guī)分別畫出按原來的長度縮小到 1:100 的兩線段?！究s小的線段長為 4.6cm，3.4cm】

4、在下圖中可以找出幾條線段？分別把它們表示出來?！?條，即 AB,AC,AD,BC,BD和CD】

5、根據(jù)上題的圖填寫下面的空白：

(1) AC＝BC＋（）；【AB】

(2) CD＝AD－（）－（）；【AB,BC】

(3) BC＝AD－（）－（）；【AB,CD】

(4) AB＋BC＝（）－CD；【AD】

(5) AD＝（）＋（），把幾種答案都寫出來。【AB,BD或AC,CD】

6、下圖中 M 是線段 AB 的中點(diǎn)，填寫下面的空白：

(1)?AM＝（）；【MB】

(2)?AB－AM＝（）；【MB】

(3) AM＝（）；【AB】

(4)AB＝2（）。【AM或MB】

7、已知線段 AB＝15cm，點(diǎn) C 在線段 AB 上，D 和 E 分別是 AC,CB 的中點(diǎn)，求 DE 的長。【7.5cm】

8、已知一線段的長等于 l，把它分成任意兩部分，求這兩部分的中點(diǎn)之間的長?！?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cscriptsize%5Cfrac12l" alt="%5Cscriptsize%5Cfrac12l">】

9、已知線段 a 和 b (a＞b)，畫出一條線段使它等于 (1) 2a＋2b；(2) 3a－2b? 。

*10、下圖中的 AB＝CD，為什么 AC 就等于 BD？[提示：AC＝AB－CB，BD＝CD－CB]

*11、下圖中，M 是 AB 的中點(diǎn)，N 是 BC 的中點(diǎn)，O 是 AC 的中點(diǎn)。MN 等于 OC 嗎？為什么？【】