在自動(dòng)控制理論中，狀態(tài)方程是一個(gè)非常重要的概念，那么，為什么要引入狀態(tài)方程的概念，狀態(tài)方程的意義又是什么呢？

由以上分析可以看出，狀態(tài)方程的建立過(guò)程，是以系統(tǒng)中的兩個(gè)獨(dú)立的物理量，即電容電壓和電感電流作為自變量、它們的一階導(dǎo)數(shù)作為變量而建立起來(lái)的。

以上討論的控制系統(tǒng)的分析方法，都是基于控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是傳遞函數(shù)或輸入——輸出微分方程。在時(shí)域分析中，若控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是狀態(tài)空間表達(dá)式，我們就必須考慮狀態(tài)方程的求解問(wèn)題。

（以下內(nèi)容來(lái)自網(wǎng)絡(luò)）

線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解
假設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

圖2

狀態(tài)方程的求解，就是在給定的初始值x(0)條件下，確定系統(tǒng)在輸入u(t）的作用下在t時(shí)刻的狀態(tài)響應(yīng)x(t)。
線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一個(gè)一階微分方程組。它的每一個(gè)方程都是一個(gè)線性定常微分方程。所以，我們先來(lái)討論一下一階微分方程的解法。
設(shè)一階線性微分方程為

式中a,b為常數(shù)，方程的初始條件為

對(duì)微分方程兩邊去拉普拉斯變換

整理后得

對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯反變換得

其中，指數(shù)函數(shù)

可以展開成無(wú)窮級(jí)數(shù)

狀態(tài)方程是由n個(gè)一階微分方程組成的，其解法也與一階微分方程的解法及其類似。

我們先討論齊次狀態(tài)方程的求解問(wèn)題。設(shè)齊次狀態(tài)方程為

初始條件為

對(duì)齊次狀態(tài)方程兩邊取拉普拉斯變換得

進(jìn)而得

對(duì)上式兩邊求拉普拉斯的變換得

式中，

稱為矩陣指數(shù)，A為n*n維方陣，

也是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)

矩陣指數(shù)具有如下性質(zhì)

齊次狀態(tài)方程的解還可以寫成

式中

稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，是n*n維矩陣。齊次狀態(tài)方程的解說(shuō)明，圖2中狀態(tài)方程的解就是狀態(tài)從初始狀態(tài)向t時(shí)刻狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，所以把

稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。顯然，對(duì)線性定常系統(tǒng)

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有如下性質(zhì)

對(duì)于非齊次狀態(tài)方程

可以寫成

兩邊左乘

即

對(duì)上式積分

兩邊再左乘

得

上式也可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣表示

式中

非齊次狀態(tài)方程的解可以分為兩部分，第一項(xiàng)表示了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的特性，是初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移項(xiàng)，叫零輸入響應(yīng)。后一項(xiàng)表示了系統(tǒng)受迫運(yùn)動(dòng)的特性，起因于輸入向量，叫做零狀態(tài)響應(yīng)。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算
狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的全部信息，狀態(tài)方程的求解，很大程度上是計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法較多。我們這里僅通過(guò)例子介紹兩種方法，即拉普拉斯變換法和直接計(jì)算法。
拉普拉斯變換法是按下面的表達(dá)式計(jì)算

例1 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

計(jì)算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

解

用拉普拉斯變換法計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，進(jìn)行矩陣的求逆運(yùn)算和求拉普拉斯反變換，在系統(tǒng)階數(shù)較高時(shí)，計(jì)算非常煩雜。

直接計(jì)算法是最原始也最直觀的算法。直接算法就是按下式進(jìn)行直接計(jì)算

例2 已知線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣A為

計(jì)算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

解

直接計(jì)算法得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，矩陣中每個(gè)元素都是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，其缺點(diǎn)是系統(tǒng)階數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量很大，另外，無(wú)窮級(jí)數(shù)不容易寫成閉式解析表達(dá)式。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的其他計(jì)算方法，例如把

化為對(duì)角線矩陣等，在這里不再敘述。有必要時(shí)請(qǐng)參看其他書籍。

再看如下例題：

（以上內(nèi)容來(lái)自網(wǎng)絡(luò)）

由以上分析大概可以這樣來(lái)理解狀態(tài)方程

的意義：

1：狀態(tài)方程的第一項(xiàng)表示了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的特性，是初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移項(xiàng)，叫零輸入響應(yīng)。后一項(xiàng)表示了系統(tǒng)受迫運(yùn)動(dòng)的特性，起因于輸入向量，叫做零狀態(tài)響應(yīng)。

2：結(jié)合圖1，我們可以大概理解狀態(tài)方程中矩陣A和矩陣B的意義：矩陣A表示的是在沒(méi)有輸入的情況下，自變量將如何變化的數(shù)學(xué)描述，所以稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；矩陣B則表示輸入矩陣。

3：狀態(tài)方程之所以要把方程左邊（變量）統(tǒng)一降階為一階導(dǎo)數(shù)，就是為了通過(guò)數(shù)學(xué)方法對(duì)自變量求解的方便性。