高中數(shù)學基礎與解法全集（涵蓋所有）|長期更新|從零開始拯救所有學渣！通俗易懂|競
一、十字相乘法：二次函數(shù)、方程、不等式
1.二次函數(shù)——十字相乘法：y=ax2+bx+c=(x-x1)(x-x2)（a，b，c都為整數(shù)且a≠0），y=x2-3x+2=(x-1)(x-2)，y=x2-5x+4=(x-1)(x-4)，y=x2+4x-12=(x-2)(x+6)，y=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)，本質(zhì)就是乘開了而已
2.二次函數(shù)——圖像：y=ax2+bx+c（a≠0），a控制開口方向，b控制?和對稱軸，c控制?和拋物線與y軸的交點，b=0是對稱軸就是y軸
由此推廣到二次方程，可用韋達定理*，前提是?＞0，韋達定理一般出現(xiàn)在高中的解析幾何當中
3.二次不等式：用十字相乘法求根，結合不等式和二次函數(shù)圖像，口訣：大于取兩邊，小于夾中間，有效范圍是a＞0
*韋達定理：
1.數(shù)學推導
由一元二次方程求根公式知
則有：
2.定理意義
韋達定理在求根的對稱函數(shù)，討論二次方程根的符號、解對稱方程組以及解一些有關二次曲線的問題都凸顯出獨特的作用。
一元二次方程的根的判別式為?=b2-4ac（a，b，c分別為一元二次方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項）。韋達定理與根的判別式的關系更是密不可分。
根的判別式是判定方程是否有實根的充要條件，韋達定理說明了根與系數(shù)的關系。無 論方程有無實數(shù)根，實系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)之間適合韋達定理 。判別式與韋達定理的結合，則更有效地說明與判定一元二次方程根的狀況和特征。
韋達定理最重要的貢獻是對代數(shù)學的推進，它最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號，推進了方程論的發(fā)展，用字母代替未知數(shù)，指出了根與系數(shù)之間的關系。韋達定理為數(shù)學中的一元方程的研究奠定了基礎，對一元方程的應用創(chuàng)造和開拓了廣泛的發(fā)展空間。
利用韋達定理可以快速求出兩方程根的關系，韋達定理應用廣泛，在初等數(shù)學、解析幾何、平面幾何、方程論中均有體現(xiàn)。
二、常用的乘法公式
1.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，a和b可以是整式
2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，記憶方法：楊輝三角（和的完全n次方公式）
3.立方差與立方和：立方差：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)，立方和：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
例題：
1.
2.
3.
歸納：1.把已知條件往知識點上面靠，把未知往已知上面套；2.選填首推特值法；3.注意整式正負號；4.共同點放一起，不同點放一邊；5.比大小時用作差法檢驗；6.當兩個括號有相同部分的時候，一定要將其看成一個整體；7.只要出現(xiàn)三次方，優(yōu)先選擇立方差和立方和公式
三、絕對值的意義與解題方法
1.代數(shù)意義：|a|=a（a＞0），即正數(shù)的絕對值等于它本身；|a|=0（a=0），0的絕對值就是0；|a|=-a（a＜0），即負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)
2.幾何意義：|a|：在數(shù)軸上表示a的點與在數(shù)軸上表示0的點這兩者之間的距離叫做a的絕對值；|a-b|：在數(shù)軸上表示a的點與在數(shù)軸上表示b的點這兩者之間的距離叫做a-b的絕對值，|x-1|＞4：（1）x≥1時，x-1＞4，∴x＞5（2）x＜1時，1-x＞4，∴x＜-3，∴x＜-3或x＞5（代數(shù)意義）；畫數(shù)軸，與1的距離為4的點在數(shù)軸上有且僅有-3或5，∴x＜-3或x＞5（幾何意義）；|x-1|+|x-2|＞4：x-1的零點是1，x-2的零點是2，（1）x≥2，（2）1＜x＜2，（3）x≤1，高中只要遇見絕對值，分類就行了
3.零點*：零點是指使得式子為0時，x的取值，例如(x-1)=0，解得x=1,1就是(x-1)的零點，注：零點是一個值，而不是一個點
*零點：
1.定義
零點，對于函數(shù)y=f(x)，使 f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點，即零點不是點。這樣，函數(shù) y=f(x) 的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標。
2.等價條件
方程f(x)=0有實數(shù)根即函數(shù)y=f(x)的圖象與 x 軸有交點/函數(shù)y=f(x)有零點。
3.求解方法
求方程f(x)=0的實數(shù)根，就是確定函數(shù)y=f(x)的零點。一般的，對于不能用公式法求根的方程f(x)=0來說，我們可以將它與函數(shù)y=f(x)聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點，從而求出方程的根。
函數(shù)y=f(x)有零點，即是y=f(x)與橫軸有交點，方程f(x)=0有實數(shù)根，則?≥0，可用來求系數(shù)，也可與導函數(shù)的表達式聯(lián)立起來求解未知的系數(shù)。
四、二次函數(shù)中的a、b、c
1.標準形式：y=ax2+bx+c（a≠0）
2.a、b、c的作用：a控制開口方向，對稱軸，?和根；b控制對稱軸和?；c控制該二次函數(shù)與y軸的交點
3.?=b2-4ac：?＞0時，拋物線與x軸有兩個交點；?=0時，拋物線與x軸有一個交點；?＜0時，拋物線與x軸沒有交點
4.交點式：y=a(x-x1)(x-x2)；a越大，該二次函數(shù)的增長速率越快，即該二次函數(shù)圖像越陡峭；a越小，該二次函數(shù)的增長速率越慢，即該二次函數(shù)圖像越平緩；c越大，該二次函數(shù)與y軸的交點越靠上；c越小，該二次函數(shù)與y軸的交點越靠下
例題：
1.
2.
3.
歸納：1.不要破壞二次函數(shù)表達式的完整性；2.掌握好零點問題與交點問題的轉(zhuǎn)化；3.畫圖畫圖畫圖，畫圖會讓思路非常清晰，計算一不小心就會清奇；4.通徹二次函數(shù)中a、b、c的作用
五、含參一元二次函數(shù)相關問題
1.最值問題：a＞0，a≤x≤b時，最大值：
最小值：
a＜0，a≤x≤b時
方法：畫圖
2.根的分布：
方法：看端點，畫圖
3.不等式：詳見筆記【一-3】
例題：
1.
2.
3.
4.
六、韋達定理相關問題
1.定理：設一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R，a≠0，?≥0）中，兩根x1、x2有如下關系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a
2.高中運用：①直接代入；②x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；③|x1-x2|=√(x1-x2) 2=√(x1+x2)2-4x1x2=√? /|a|；④已知x1，求x2
3.求根公式：
例題：
1.
2.
3.
七、集合的基本定義與表示方法
1. 元素：現(xiàn)代數(shù)學集合論中，元素是組成集的每個對象，集合由元素組成，組成集合的每個對象也稱為元素，例如：集合{1，2，3}中 1，2，3都是集合的一個元素
2.集合：由一個或多個確定的元素所構成的整體
3.集合的三大特性：①確定性：給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬于或者不屬于該集合，二者必居其一，不允許有模棱兩可的情況出現(xiàn)；②互異性：一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現(xiàn)一次。有時需要對同一元素出現(xiàn)多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現(xiàn)多次；③無序性：一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關系，定義了序關系后，元素之間就可以按照序關系排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序
4.集合的表示方法：通常用大寫字母如A，B，S，T，.……表示集合，而用小寫字母如a，b，x，y，……表示集合的元素，若x是集合S的元素，則稱x屬于S，記為x∈S，若y不是集合S的元素，則稱y不屬于S，記為y?S
5.符號：有些集合可以用一些特殊符號表示，舉例如下：N：非負整數(shù)集合或自然數(shù)集合{0，1，2，3，……}；N*或N+：正整數(shù)集合{1，2，3，……}；Z：整數(shù)集合{……，-1，0，1，……}；Q：有理數(shù)集合；Q+：正有理數(shù)集合；Q-：負有理數(shù)集合；R：實數(shù)集合(包括有理數(shù)和無理數(shù)）；R+：正實數(shù)集合；R-：負實數(shù)集合；C：復數(shù)集合；? ：空集（不含有任何元素的集合）
6.集合的表示方法：①列舉法：列舉法就是將集合的元素逐一列舉出來的方式，例如，光學中的三原色可以用集合{紅，綠，藍}表示；由四個字母a，b，c，d組成的集合A可用A={a，b，c，d}表示，如此等等，列舉法還包括盡管集合的元素無法一一列舉，但可以將它們的變化規(guī)律表示出來的情況，如正整數(shù)集N+和整數(shù)集Z可以分別表示為N+={1，2，3，……，n，……}和Z={0，±1，±2，……，±n，……}；②描述法：描述法的形式為{代表元素|滿足的性質(zhì)}，設集合S是由具有某種性質(zhì)P的元素全體所構成的，則可以采用描述集合中元素公共屬性的方法來表示集合：S={x|P(x)}，例如，由2的平方根組成的集合B可表示為B={x|x2=2}，而有理數(shù)集Q則可以表示為Q={x|x=q/p，p∈N+，q∈Z}；③區(qū)間法
八、集合之間關系
1.子集：如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集，即若?a∈A，均有a∈B，則A?B
2.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B不是集合A的子集，那么集合A叫做集合B的真子集，如果A包含于B，且A不等于B，就說集合A是集合B的真子集
3.空集：空集是指不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，空集不是無，它是內(nèi)部沒有元素的集合，符號表示為?
4.交集： 集合論中，設A，B是兩個集合，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的交集，記作A∩B
5.并集：給定兩個集合A，B，把他們所有的元素合并在一起組成的集合，叫做集合A與集合B的并集，記作A∪B，讀作A并B
6.全集：一般的，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U
7.補集：補集一般指絕對補集，即一般地，設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做子集A在S中的絕對補集，在集合論和數(shù)學的其他分支中，存在補集的兩種定義：相對補集和絕對補集
8.基數(shù)：集合中元素的數(shù)目稱為集合的基數(shù)，集合A的基數(shù)記作card(A)，當其為有限大時，集合A稱為有限集，反之則為無限集，一般的，把含有有限個元素的集合叫做有限集，含無限個元素的集合叫做無限集
9.真子集與子集的區(qū)別：子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等。
九、集合
1. 假設有實數(shù)x<y：①[x，y]：方括號表示包括邊界，即表示x到y(tǒng)之間的數(shù)以及x和y；②(x，y)：小括號是不包括邊界，即表示大于x、小于y的數(shù)
2.分類鞏固：①空集：有一類特殊的集合，它不包含任何元素，如{x|x∈R x2+1=0} ，稱之為空集，記為?，空集是個特殊的集合，它有2個特點：⑴空集?是任意一個非空集合的真子集；⑵空集是任何一個集合的子集；②子集：設S，T是兩個集合，如果S的所有元素都屬于T，即x∈S?x∈T則稱S是T的子集，記為S?T。顯然，對任何集合S，都有S?S，??S，其中，符號?讀作包含于，表示該符號左邊的集合中的元素全部是該符號右邊集合的元素，如果S是T的一個子集，即S?T，但在T中存在一個元素x不屬于S，即S?T，則稱S是T的一個真子集；③交并集：⑴交集定義：由屬于A且屬于B的相同元素組成的集合，記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}， 注意交集越交越少，若A包含B，則A∩B=B，A∪B=A?；⑵并集定義：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，記作A∪B（或B∪A），讀作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}，注意并集越并越多，這與交集的情況正相反；④補集：補集又可分為相對補集和絕對補集：⑴相對補集定義：由屬于A而不屬于B的元素組成的集合，稱為B關于A的相對補集，記作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x?B}；⑵絕對補集定義：A關于全集合U的相對補集稱作A的絕對補集，記作A'或?u(A)或~A，有U'=Φ；Φ'=U；⑤冪集：設有集合A，由集合A所有子集組成的集合，稱為集合A的冪集，對于冪集有定理如下：有限集A的冪集的基數(shù)等于2的有限集A的基數(shù)次冪；⑥區(qū)間：數(shù)學分析中，最常遇到的實數(shù)集的子集是區(qū)間，設a，b(a<b)是兩個相異的實數(shù)，則滿足不等式a＜x＜b的所有實數(shù)x的集合稱為以a，b為端點的開區(qū)間，記為(a，b)={x：a＜x＜b}；滿足不等式a≤x≤b的所有實數(shù)的集合稱為以a，b為端點的閉區(qū)間，記為[a，b]={x：a≤x≤b}；滿足不等式a＜x≤b或a≤x＜b的所有實數(shù)x的集合稱為以a，b為端點的半開半閉區(qū)間，分別記為(a，b]={x：a＜x≤b}及[a，b)={x：a≤x＜b}，除此之外，還有下述幾類無限區(qū)間：⑴(a，+∞)={x：x＞a}；⑵(-∞，b)={x：x＜b}；⑶[a，+∞)={x：x≥a}；⑷(-∞，b]={x：x≤b}；⑸(-∞，+∞)=R；⑦模糊集：用來表達模糊性概念的集合，又稱模糊集、模糊子集，普通的集合是指具有某種屬性的對象的全體，這種屬性所表達的概念應該是清晰的，界限分明的，因此每個對象對于集合的隸屬關系也是明確的，非此即彼，但在人們的思維中還有著許多模糊的概念，例如年輕、很大、暖和、傍晚等，這些概念所描述的對象屬性不能簡單地用“是”或“否”來回答，而模糊集合就是指具有某個模糊概念所描述的屬性的對象的全體，由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因而對象對集合的隸屬關系也不是明確的、非此即彼的，這一概念是美國加利福尼亞大學控制論專家L.A.扎德于1965年首先提出的，模糊集合這一概念的出現(xiàn)使得數(shù)學的思維和方法可以用于處理模糊性現(xiàn)象，從而構成了模糊集合論（中國通常稱為模糊性數(shù)學）的基礎；⑧相等集合：如果兩個集合S和T的元素完全相同，則稱S與T兩個集合相等，記為S=T 。顯然有如下關系：S=T<=>S?T∧T?S，其中符號<=>稱為當且僅當，表示左邊的命題與右邊的命題相互蘊含，即兩個命題等價
十、集合互異性相關問題
例題：
1.
十一、集合相等的證明辦法
十二、子集相關問題
例題：
1.
2.
3.
十三、集合的交并補混合運算
1.運算定律：①交換律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A；②結合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C；③分配對偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；④對偶律：(A∪B)^C=A^C∩B^C；(A∩B)^C=A^C∪B^C；⑤同一律：A∪?=A；A∩U=A；⑥求補律：A∪A'=U；A∩A'=?；⑦對合律：A''=A；⑧等冪律：A∪A=A；A∩A=A；⑨零一律：A∪U=U；A∩?=?；⑩吸收律：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A；?反演律（德·摩根律）：(A∪B)'=A'∩B'；(A∩B)'=A'∪B'，文字表述：⑴集合A與集合B的并集的補集等于集合A的補集與集合B的補集的交集；⑵集合A與集合B的交集的補集等于集合A的補集與集合B的補集的并集；?容斥原理（特殊情況）：⑴card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)；⑵card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
例題：
1.
2.
十四、集合易錯點總結
題型一、考查集合的交、并、補
1、已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5,或x>5},則M∪N=( )
A、{x|x<-5,或x>-3} ；B、{x|-5<x<5} ；C、{x|-3<x<5} ；D、{x|x<-3,或x>5}
A；解析：借助數(shù)軸易得M∪N={x|x<-5,或x>-3}。
2、設全集U={1、2、3、4、5}，A={1、2},B={2、3、4}，則（CuA)∪B=( ）
A、{3，4} ；B、{3、4、5} ；C、{2、3、4、5} ；D、{1、2、3、4}
C
3、設全集U=R，集合A={X|0<x<2},集合B{x|x≥1},則（CuA)∩B=（ ）
A、[-1，2] ；B、[-1，0）∪[2，+∞） ；C、[2，+∞） ；D、[-1，0] ∪[2，+∞）
C
題型二、考查集合間的關系
4、若全集U={1、2、3、4、5、6}，M={2、3}，N={1，4}，則集合{5，6}=（ ）
A、M∪N ；B、M∩N ；C、（CuM）∪（CuN） ；D、（CuM）∩（CuN）
D
5、設集合P={m|-1<m<0},Q={m|mx2+4mx-4<0,對任意的實數(shù)x恒成立},則下列關系式中成立的是（ ）
A、P?Q；B、Q?P；C、P=Q；D、P∩Q= A
題型三、考查集合的子集
*若集合P的元素有n個，則其子集有2的n次方個，真子集方2的n次方-1個，非空子集方2的n次方-1個，非空真子集方2的n次方-2個。
6、已知集合M={0、1、2、3、4}，N={1、3、5}，P=M∩N,則P的子集共有( )
A、2個；B、4個；C、6個；D、8個
B
7、滿足{a,b}包含于M真包含于{a,b,c,d,e}的集合M的個數(shù)是（ ）
7個
題型四、集合的創(chuàng)新型問題
8、設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k屬于A,如果k-于不屬于A,且k+1不屬于A,那么稱k是A的一個“好元素”。給定S={1、2、3、4、5、6、7、8}，，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A、6個；B、12個；C、9個；D、5個
A
題型五、求參數(shù)的取值范圍
9、若不等式|x|<1成立，則不等式[x-(a+1)][x-(a+4)]<0也成立，求a的范圍。 【-3，-2】
*易錯點：
1、絕對值不等式或平方型不等式范圍要寫全。如x的平方≤a,
2、用穿針引線法的前題是先將x前的系數(shù)化成正的。
3、注意集合中代表元素所有的字母是x，是y，還是(x,y)。如果用的是x，則表示的是函數(shù)的定義域；如果用的是y，則表示的是函數(shù)的值域；如果用的是（x，y),則表示的是函數(shù)的圖象。
4、注意集合中x屬于N*,x屬于N,x屬于Z等條件。
5、解不等式時別忘了對數(shù)的真數(shù)大于0。
例題：
1.
2.
（簡單，答案略）
3.
十五、集合的新定義問題考點解析
例題：
1.
2.
3.
十六、集合拓展訓練
例題：
1.
2.
十七、全面提升
例題：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
*知識點總結：集合
一、集合的含義
一般地，我們把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集）。
通常用大寫的拉丁字母 A，B，C，…表示集合，小寫的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素。
二、集合中元素的特性
1.確定性：
集合中的元素必須是確定的。即確定了一個集合，任何一個元素是不是這個集合的元素也就確定了。
2.互異性：
集合中的元素是互異的，即集合元素是沒有重復現(xiàn)象的（互不相同）。
3.無序性：
集合中的元素是不講順序的，即元素完全相同的兩個集合，不論元素順序如何，都表示同一個集合（不考慮順序）。
三、元素與集合的關系
1.a屬于集合A，表述為a是集合A的元素，記作a∈A。
2.a不屬于集合A，表述為a不是集合A的元素，記作a?A。
四、集合的表示
1.自然語言表示法：1~20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合。
2.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，以逗號隔開，并用花括號“{}”括起來的表示集合的方法叫做列舉法。
3.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法。
4.Venn圖示法?：
如：“book中的字母”?構成一個集合
五、集合的基本運算
1.交集：集合中，設A，B是兩個集合，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的交集記作A∩B，讀作A交B。
2.并集：給定兩個集合A，B，把他們所有的元素合并在一起組成的集合，叫做集合A與集合B的并集，記作A∪B，讀作A并B。
3.相對補集：若A和B是集合，則A在B中的相對補集是這樣一個集合：其元素屬于B但不屬于A，B - A = { x| x∈B且x?A}。
4.絕對補集：若給定全集U，有A?U，則A在U中的相對補集稱為A的絕對補集（或簡稱補集），寫作?UA。
5.子集：子回集是一個數(shù)學概念。如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集。符號語言：若?a∈A，均有a∈B，則A?B。
六、交集和并集知識點解析
1.理解交集的概念應關注四點
(1)概念中“且”即“同時”的意思，兩個集合交集中的元素必須同時是兩個集合的元素。
(2)概念中的“所有”兩字不能省，否則將會漏掉一些元素，一定要將相同元素全部找出。
(3)當集合A和集合B無公共元素時，不能說集合A，B沒有交集，而是A∩B＝?。
(4)定義中“x∈A，且x∈B”與“x∈(A∩B)”是等價的，即由既屬于A，又屬于B的元素組成的集合為A∩B，而只屬于集合A或只屬于集合B的元素，不屬于A∩B。
2.并集的運算技巧
(1)若集合中的元素個數(shù)有限，則直接根據(jù)并集的定義求解，但要注意集合中元素的互異性。
(2)若集合中的元素個數(shù)無限，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意是否去掉端點值。
3.交集的運算技巧
(1)求交集就是求兩集合的所有公共元素形成的集合。
(2)利用集合的并、交求參數(shù)的值時，要檢驗集合元素的互異性。
4.交集和并集的性質(zhì)應用技巧
對于涉及集合運算的問題，可利用集合運算的等價性(即若A∪B＝A，則B?A，反之也成立；若A∩B＝B，則B?A，反之也成立)，轉(zhuǎn)化為相關集合之間的關系求解。
七、全集及補集
1.全集的定義及表示
(1)定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。
(2)符號表示：全集通常記作U。
2.對全集概念的理解
“全集”是一個相對的概念，并不是固定不變的，它是依據(jù)具體的問題來加以選擇的。
3.補集
(1)補集既是集合之間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算。求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念。
(2)?UA包含三層意思：①A?U；②?UA是一個集合，且?UA?U；③?UA是由U中所有不屬于A的元素構成的集合。
(3)若x∈U，則x∈A或x∈?UA，二者必居其一。
4.解決集合交、并、補運算的技巧
(1)如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結合交集、并集、補集的定義來求解。在解答過程中常常借助于Venn圖來求解，這樣處理起來，相對來說比較直觀、形象且不易出錯。
(2)如果所給集合是無限集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后進行交、并、補集的運算，但在解答過程中要注意邊界問題。
5.利用補集求參數(shù)應注意兩點
(1)與集合的交、并、補運算有關的參數(shù)問題一般利用數(shù)軸求解，涉及集合間關系時不要忘掉空集的情形。
(2)不等式中的等號在補集中能否取到，要引起重視，還要注意補集是全集的子集。
十八、充分條件與必要條件
1.充分條件：如果A能推出B，那么A就是B的充分條件，其中A為B的子集，即屬于A的一定屬于B，而屬于B的不一定屬于A，具體的說若存在元素屬于B的不屬于A，則A為B的 真子集 ；若屬于B的也屬于A，則A與B相等
2.必要條件：必要條件是數(shù)學中的一種關系形式，如果沒有A，則必然沒有B；如果有A而未必有B，則A就是B的必要條件，記作B→A，讀作“B含于A”，數(shù)學上簡單來說就是如果由結果B能推導出條件A，我們就說A是B的必要條件
3. 假設A是條件，B是結論：（1）由A可以推出B，由B可以推出A，則A是B的充要條件(A=B)；（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，則A是B的充分不必要條件(A?B)；（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，則A是B的必要不充分條件(B?A)；（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，則A是B的既不充分也不必要條件(A?B且B?A)
4. 有命題p、q，如果p推出q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；如果p推出q且q推出p，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件，例如：x=y推出x^2=y^2，則x=y是x^2=y^2的充分條件，x^2=y^2是x=y的必要條件，a、b一正一負推出ab<0，ab<0推出a、b一正一負，則a、b一正一負和ab<0互為充要條件，如果p推出q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件舉例如下，若沒有Q成立，則P也不成立，Q是P的必要條件，如：P: x=1 Q: x^2=1，P是Q的充分條件而不是必要條件（沒有x=1,當x=-1,x^2=1)，Q是P的必要條件,沒有x^2=1,就沒有x=1
例題：
1.
2.
3.
十九、全稱量詞和存在量詞
1.全稱量詞：全稱量詞是指在語句中含有短語“全額”、“每一個”、“任意”、“一切”等都是在指定范圍內(nèi)，表示該指定范圍內(nèi)的全體對象或該指定范圍整體的含義的詞。含有全稱量詞的命題叫作全稱命題，全稱量詞的否定是存在量詞
2. 在某些全稱命題中，有時全稱量詞可以省略，例如棱柱是多面體，它指的是“任意的棱柱都是多面體”，（1）“對全額的”、“對任意的”等詞在邏輯中被稱為全稱量詞，記作“?”，含有全稱量詞的命題叫做全稱命題，對于M中的任意x，都有p(x)成立，記作?x∈M，p(x)，讀作：對于屬于M的任意x，都有使p（x）成立；（2）“存在一個”、“至少一個”等詞在邏輯中被稱為存在量詞，記作“?”，含有存在量詞的命題叫做特稱命題，M中至少存在一個x，使p(x)成立，記作?x∈M，p(x)，讀作：存在一個x屬于M，使p（x）成立；否定：（1）對于含有一個量詞的全稱命題p：?x∈M，p(x)的否定┐p是：?x∈M，┐p(x)；（2）對于含有一個量詞的特稱命題p：?x∈M，p(x)的否定┐p是：?x∈M，┐p(x)
3.全稱命題：其公式為“有全額的S都是P”，全稱命題，可以用全稱量詞，也可以通過“人人”等主語重復的形式來表達，甚至可以不使用任何量詞標志，如“人類都是有智慧的”由于代數(shù)定理使用的是全稱量詞，因此每個代數(shù)定理都是一個全稱命題，也正是全稱量詞使得使用帶入規(guī)則進行恒等變換是代數(shù)推理的核心
4.存在量詞：存在量詞，短語有些、至少有一個、有一個、存在等都有表示個別或一部分含義的詞，含有存在量詞的命題叫作特稱命題，其形式為有若干的S是P，特稱命題使用存在量詞，如有些、很少等，也可以用基本上、一般、只是有些等，含有存在性量詞的命題也稱存在性命題。短語存在一個、至少一個在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號?表示。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題（存在性命題）
5. 定義：短語“有些”、“任何一個”、“至少有一個”、“有一個”、“存在”等都有表示個別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞，含有存在量詞的命題叫作特稱命題。特稱命題?:其形式為“有若干的S是P”，特稱命題使用存在量詞，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量詞的命題也稱存在性命題，短語“存在一個”、“至少一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“?”表示，含有存在量詞的命題，叫做特稱命題（存在性命題），例如：(1)只要三角形的任何一個內(nèi)角是直角，那么該三角形就是直角三角形；(2)有些平行四邊形是菱形；(3)有的質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)，常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某個”、“部分”等，特稱命題“存在M中的一個x，使p（x）成立”。簡記為：?x?∈?M，p（x），讀作：存在一個x屬于M，使p（x）成立
6.主要區(qū)別：在語句中含有短語“所有”、“每一個”、“全部”、“一切”等都是在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞，含有全稱量詞的命題叫作全稱命題，全稱量詞的否定是存在量。
例題：
1.
2.
二十、命題的否定
1. 命題的否定就是對這個命題的真值進行取反。命題的否定與原命題真假性相反
2. 原命題：所有自然數(shù)的平方都是正數(shù)；原命題：若p，則q（p為條件，q為結論）；原命題的否定：p且﹁q（p為條件，﹁q為q的否定）；否定一個命題，需要使它的真值取反，對原命題的否定的一個普遍誤解是僅需否定結論，下表可以幫助理解：
3. 如果兩個命題中一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件和結論的否定，則這兩個命題稱互為否命題，命題是否成立，與它的否命題是否成立沒有關系。得到一個問題的否命題很容易，把條件，結論全部否定就可以了，如：原命題：所有自然數(shù)的平方都是正數(shù)；原命題的標準形式：對于任意x，若x是自然數(shù)，則x2是正數(shù)；否命題：對于存在x，若x不是自然數(shù)，則x2不是正數(shù)（ 換一個說法就是：所有非自然數(shù)的數(shù)的平方都不是正數(shù)）
4.（1）原命題：?如果一個三角形的三個角全都是銳角，那么這個三角形是銳角三角形（真）；命題的否定：存在一個三角形，且它的三個角全都是銳角，這個三角形不是銳角三角形（假）；否命題： 如果一個三角形的三個角不全都是銳角，那么這個三角形不是銳角三角形（真）；（2）原命題：若a>0,則a>2成立(假)；命題的否定：存在a>0,有a≤2成立(真)；否命題：若a≤0,則a≤2成立(真)
例題：
1.
2.
3.
二十一、邏輯用語習題課
例題：
1.
2.
3.
二十二、函數(shù)的基本概念
1.概念：在一個變化過程中，發(fā)生變化的量叫變量（數(shù)學中，變量為x，而y則隨x值的變化而變化），有些數(shù)值是不隨變量而改變的，我們稱它們?yōu)槌Ａ俊?/p>
2.自變量（函數(shù)）：一個與它量有關聯(lián)的變量，這一量中的任何一值都能在它量中找到對應的固定值。
3.因變量（函數(shù)）：隨著自變量的變化而變化，且自變量取唯一值時，因變量（函數(shù)）有且只有唯一值與其相對應。
4.函數(shù)值：在y是x的函數(shù)中，x確定一個值，y就隨之確定一個值，當x取a時，y就隨之確定為b，b就叫做a的函數(shù)值。
5.定義域：定義域（domain of definition）指自變量x的取值范圍
6.值域：函數(shù)經(jīng)典定義中，因變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域,在函數(shù)現(xiàn)代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}；常見函數(shù)值域：y=kx+b （k≠0）的值域為R；y=k/x 的值域為(-∞,0)∪(0,+∞)；y=√x的值域為y≥0；y=ax^2+bx+c 當a>0時，值域為 [4ac-b^2/4a,+∞) ；當a<0時，值域為（-∞，4ac-b^2/4a]；y=a^x 的值域為 (0,+∞)；y=lgx的值域為R
二十三、函數(shù)的三大要素
二十四、值域上
二十五、值域下
