我們?cè)贓p21聊了“實(shí)數(shù)完備性”的第一個(gè)定理——“確界原理”：非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。

我們?cè)贓p49介紹了“實(shí)數(shù)完備性”的第二個(gè)定理——“單調(diào)有界原理”：單調(diào)有界數(shù)列必收斂。

我們?cè)贓p61介紹了“實(shí)數(shù)完備性”的第三個(gè)定理——“閉區(qū)間套定理”：

1. 閉區(qū)間套的無(wú)限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無(wú)窮大時(shí)——

則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點(diǎn)/一個(gè)數(shù)。

我們?cè)贓p66介紹了“實(shí)數(shù)完備性”的第四個(gè)定理——“柯西準(zhǔn)則”——

條件：對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時(shí)，有|xn-xn'|<ε；

結(jié)論：數(shù)列{xn}有極限x，即對(duì)于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'時(shí)，有|xn-x|<ε'。

今天我們來(lái)從“柯西準(zhǔn)則”推導(dǎo)“單調(diào)有界定理”。

（以單增有上界數(shù)列為例）——

已知：數(shù)列{xn}，對(duì)任意n，都有xn<=xn+1，存在實(shí)數(shù)M，xn<=M；

求證：數(shù)列{xn}有極限x，即對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有|xn-x|<ε。

工具：柯西收斂原理（：柯西列必為收斂數(shù)列）。

分析：僅僅需要證明數(shù)列為柯西列即可。

證明（反證法）——

1. 假設(shè)數(shù)列{xn}不是柯西列，即存在小數(shù)ε0>0，對(duì)任意自然數(shù)n，有xn+1-xn>=ε0，即xn+1>=xn+ε0；

2. 由1可得，xn+1>=xn+ε0>=xn-1+2ε0>=……>=x1+nε0；

3. 對(duì)于任意整數(shù)E>0，存在自然數(shù)N=（E-x1）/ε0+1，當(dāng)n>N時(shí)，xn>E，即{xn}為無(wú)窮大，無(wú)上界，導(dǎo)出矛盾，{xn}為柯西列，收斂，證畢。

今天就到這里！