牛頓253、實(shí)驗(yàn)只能給出一個(gè)感性的印象，我們還需要理論證明

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歐多克索斯（Eudoxus）：…

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第二個(gè)貢獻(xiàn)

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歐多克索斯對(duì)數(shù)學(xué)的第二個(gè)貢獻(xiàn)是建立了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母F竭法，并用它證明了一些重要的求積定理。

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見(jiàn)《歐幾里得49》…

（…《歐幾里得》：小說(shuō)名…）

…嚴(yán)、謹(jǐn)、嚴(yán)謹(jǐn)：見(jiàn)《歐幾里得155》…

…窮、竭、窮竭，法，窮竭法：見(jiàn)《牛頓245~251》…

…證、明、證明：見(jiàn)《歐幾里得6》…

…積：見(jiàn)《牛頓19》…
…定、理、定理：見(jiàn)《歐幾里得2》…

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窮竭法起源于安蒂豐（Anti-phon），后來(lái)希波克拉底（Hippocrates）也使用過(guò)，但只是到了歐多克索斯手里，窮竭法才真正成為一種合格的幾何方法。

…安蒂豐：見(jiàn)《牛頓246》…

…希波克拉底（古希臘文：?πποκρ?τη?，前460年——前370年）：為古希臘伯里克利時(shí)代的醫(yī)師，被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，歐洲醫(yī)學(xué)奠（diàn）基人…

（…奠、基、奠基：見(jiàn)《歐幾里得115》…）

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…幾、何、幾何：見(jiàn)《歐幾里得28》…

…方、法、方法：見(jiàn)《歐幾里得2、3》…

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窮竭法的邏輯依據(jù)，是歐多克索斯由上述定義4推得的下述結(jié)果：“設(shè)給定兩個(gè)不相等的量，如果從其中較大的量減去比它的一半大的量，再?gòu)乃嗟牧繙p去比這余量的一半大的量，繼續(xù)重復(fù)這一過(guò)程，必有某個(gè)余量將小于給定的較小的量”。

…邏、輯、邏輯：見(jiàn)《歐幾里得5》…

…依、據(jù)、依據(jù)：見(jiàn)《歐幾里得65》…

…定、義、定義：見(jiàn)《歐幾里得28》…

…上述定義：見(jiàn)《牛頓252》…

…量：見(jiàn)《歐幾里得27》…

…過(guò)、程、過(guò)程：見(jiàn)《歐幾里得194》…

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這個(gè)結(jié)果，現(xiàn)在被稱(chēng)為歐多克索斯原理。

…原、理、原理：見(jiàn)《歐幾里得41》…

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阿基米德曾明確地指出，“棱錐體積是同底同高的棱柱體積的三分之一”和“圓錐體積是同底同高的圓柱體積的三分之一”這兩個(gè)定理是歐多克索斯首先予以證明的。不過(guò)前一個(gè)結(jié)論曾先由德謨（mó）克利特（Democritus）未加證明地提出過(guò)。

…結(jié)、論、結(jié)論：見(jiàn)《歐幾里得66》…

…德謨克利特（希臘文：Δημ?κριτο?，約公元前460年～公元前370年）：見(jiàn)《牛頓193》…

2018-08-27 11:15，網(wǎng)友“數(shù)學(xué)教學(xué)研究”發(fā)表一篇名為《為什么三棱錐體積是三棱柱的三分之一》的文章。

…研、究、研究：見(jiàn)《歐幾里得42》…

文章內(nèi)容：

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我們?cè)趯W(xué)校里都學(xué)習(xí)過(guò)棱柱和棱錐這些立體，其中就包括它們體積的計(jì)算公式。

…體：見(jiàn)《歐幾里得27》…

…體積（百度百科）：幾何學(xué)專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)。

（…術(shù)、語(yǔ)、術(shù)語(yǔ)：見(jiàn)《歐幾里得67》…）

當(dāng)物體占據(jù)的空間是三維空間時(shí)，所占空間的大小叫做該物體的體積。

[…空、間、空間：見(jiàn)《伽利略10》…

（…《伽利略》：小說(shuō)名…）]

體積的國(guó)際單位制是立方米。

一維空間物件（如線(xiàn)）及二維空間物件（如正方形）都是零體積的…

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…體積（百度漢語(yǔ)）2：表示物體所占空間大小的量…

…計(jì)、算、計(jì)算：見(jiàn)《歐幾里得157》…

…公：見(jiàn)《歐幾里得1》…

…式、公式：見(jiàn)《歐幾里得132》…

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我們說(shuō)一個(gè)棱錐的體積是同底等高的棱柱的體積的三分之一。

這當(dāng)然是正確的，但是，包括您在內(nèi)的我們，是不是在心里問(wèn)過(guò)，為什么就是三分之一？怎么不是二分之一，也不是四分之一呢？或是其他的什么分之一？

…正、確、正確：見(jiàn)《歐幾里得13》…

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我就反問(wèn)過(guò)自己。

雖然看到過(guò)做實(shí)驗(yàn)，比如用豆子或小米或水，但實(shí)驗(yàn)只能給出一個(gè)感性的印象，我們還需要理論證明。

…實(shí)、驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)：見(jiàn)《歐幾里得11》…

…感、性、感性：見(jiàn)《牛頓119》…

…理、論、理論：見(jiàn)《歐幾里得5》…

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我怎么也看不出來(lái)這個(gè)三分之一是怎么得到的。后來(lái)也學(xué)習(xí)了圓錐的體積是同底等高圓柱體積的三分之一。

反正這個(gè)三分之一也不難記，我們就記住它了。

幾十年過(guò)去了，我現(xiàn)在搞懂了，所以，我想在這里把這個(gè)三分之一是怎么得來(lái)的講給您聽(tīng)，也許你知道，也許不知道，但相信這其中的奧妙仍然會(huì)很吸引人。

請(qǐng)您繼續(xù)往下看，不會(huì)讓您失望的。

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我們畫(huà)一個(gè)三棱柱ABC-DEF，如下圖所示。注意，不要求它是“直”的，即側(cè)棱不一定與底面垂直。更不要求它是“正”的，即底面不一定是正三角形。

這樣的三棱柱，它的上、下底面是全等的三角形，并且經(jīng)平移可以互相重疊；它的三個(gè)側(cè)面都是平行四邊形。

接下來(lái)，我們連接DB和DC。于是，D-ABC是一個(gè)與三棱柱同底等高的三棱錐。我們要證它的體積是三棱柱體積的三分之一。

若可以得證，則三棱錐體積是同底等高三棱柱體積的三分之一這一結(jié)論就成立了。

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這個(gè)結(jié)論是通用的，即不管這個(gè)三棱錐是什么樣子，公式都成立。

這是因?yàn)槲覀兛偪梢栽谙扔幸粋€(gè)三棱錐的情況下，構(gòu)造出一個(gè)同底等高的三棱柱，讓這個(gè)三棱柱的一條側(cè)棱就是三棱錐的一條側(cè)棱（比如上圖中的AD）。

于是，三棱柱ABC-DEF就被分割成了兩部分：三棱錐D-ABC和四棱錐D-CBEF（注意，我們?cè)诒硎疽粋€(gè)棱錐時(shí)，是把錐頂字母寫(xiě)在前面，后面畫(huà)一短杠，再接著寫(xiě)表示底面的字母）。

接下來(lái)，我們連接BF，即四棱錐D-CBEF底面平行四邊形CBEF的對(duì)角線(xiàn)。

于是，四棱錐D-CBEF可以看成是由兩個(gè)三棱錐構(gòu)成的：D-CBF和D-BEF。因?yàn)樗鼈冇邢嗤娣e的底面CBF和BEF，并且等高，所以體積相等。

下面只需證明這兩個(gè)三棱錐之一與D-ABC體積相等。

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有兩種方法來(lái)證明，都很簡(jiǎn)單。

…簡(jiǎn)、單、簡(jiǎn)單：見(jiàn)《伽利略13》…

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方法一，把三棱錐D-BEF寫(xiě)成B-DEF，就相當(dāng)于我們以B為頂點(diǎn)以DEF為底面，于是，顯然，三棱錐B-DEF與三棱錐D-ABC因等底等高而體積相等。

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方法二是，把三棱錐D-CBF寫(xiě)成B-CDF，而B(niǎo)-CDF與B-ACD（即D-ABC）等底等高，體積相等。

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最終，我們證明了這個(gè)三棱柱被分成的三個(gè)三棱錐的體積相等，而其中一個(gè)就是與三棱柱同底等高的三棱柱，所以，我們最終就證明了一個(gè)三棱錐的體積等于同底等高三棱柱的體積的三分之一。

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最后需要說(shuō)明，任意棱錐的體積等于同底等高的棱柱的體積的三分之一，是因?yàn)槲覀兛梢园牙忮F分割成一個(gè)個(gè)的三棱錐。把它們加起來(lái)即可。

…說(shuō)、明、說(shuō)明：見(jiàn)《歐幾里得149》…

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“2021-07-13 14:52:27，網(wǎng)友“LILYBLOSSOMING”發(fā)表一篇名為《與兒子的對(duì)話(huà)——為什么圓錐體的體積是等底同高圓柱體的三分之一》的文章。

請(qǐng)看下集《牛頓254、為什么圓錐體的體積是等底同高圓柱體的三分之一》”

若不知曉歷史，便看不清未來(lái)

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