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將一系列頻率不同，初相角不同的正弦信號多次變換并疊加，期望構造出一個信號能最大程度的逼近原始信號的方法是傳統(tǒng)信號分析常用的方法。但實際的信號并不都是由規(guī)則的光滑信號組成的，這使重構信號與原始信號近似的程度上有著很大的差距。而小波變換的實現過程是將原始信號不斷細分，靠選定的小波基經過多次尺度與位移變換，得到一組各不相同的函數，將這些函數選擇性的進行疊加，最終疊加后的重構信號即為逼近信號，這種新型的重構信號方法比傳統(tǒng)的傅里葉變換效果更好。

1.小波理論

數學上對“小波”的定義如下：

設Ψ(x)∈L2(R)（L2(R)代表這個空間中的所有實數是平方可積的），且

，Ψ(w)為原函數經傅里葉分解后的函數。

若基本小波函數Ψ(w)可以完全滿足CΨ的條件，則小波變換適用于滿足允許條件的任意小波基函數Ψ(x)。其中，允許條件

。

假設某個基本小波函數為Ψ(x)，將該函數經伸縮和平移后可得：

將上式稱為一個小波序列，每個滿足要求的函數稱為小波基。其中a稱為尺度參數(又叫伸縮因子)，代表信號處理的分辨率；b稱為位移參數(又叫平移因子)，由名稱可知，a與頻域分析相對應，b則對應時域分析。

常見的基本小波函數有：

其他常見的小波還有Coiflet(coifN)小波、Meyer小波、SymletsA(symN)小波、Biorthogonal(bioNr.Nd)小波、Daubechies(dbN)小波，不同的小波有著各自不同的特性，其中dbN系小波常用來對信號進行多尺度分解與重構，對信號起著濾波作用。

小波基的選取嚴重影響了信號分析的準確性，小波基不同其變換后的波形也不盡相同。因此，選用不同的小波函數或者對同一小波函數在不同的尺度下對同一信號進行分解，得到的結果會不一樣。

2.多尺度分析和Mallat算法

2.1?多尺度分析

多尺度分析又稱多分辨率分析是根據不同的情況采用不同的分辨率尺度來進行小波變換，從而可以將所有待分解的信號分解到兩個頻率不同但互相正交的范圍內，這樣信號的一些信息將被獲得。多尺度分析的目的主要是為了獲得并分解信號的低頻部分，保留高頻噪聲細節(jié)信號，這樣可以讓分解出來的低頻有用部分進行下次分解時分辨率減半，多次分解提高頻率分辨率，使最后重構信號更靠近原始信號。

多尺度分析是用多個近似函數的極限逼近原信號函數，下圖是小波三層分解的示意圖，其中s表示獲取的原始信號，G(w)表示高頻信號，H(w)表示需要進行分解的低頻信號。

如上圖所示，是一個信號的三層小波分解圖，在對每一層進行分解時，只有低頻信號被分解，高頻細節(jié)信號保留下來。由此可得，其分解關系式為：

2.2?Mallat算法

1989年，Mallat在小波變換多分辨率分析理論與圖像處理的應用研究中受到塔式算法的啟發(fā)，提出了信號的塔式多分辨率分析與重構的快速算法稱為馬拉特（Mallat）算法。

Mallat一維分解公式如下：

3.模極大值求奇異點

當信號受到擾動時，電壓或電流會瞬時突變出現波峰形成極值點，在小波變換中與模極大值求出的奇異點相對應的是獲取的暫態(tài)信號的突變點，電纜故障檢測技術中最重要的便是要發(fā)現故障點的具體位置，而信號的奇異點信息代表的就是故障點位置。因此利用小波變換可以精準的將信號的尖峰和突變等局部位置信息判斷出來，通過模極大值檢測算法可以找出更加接近于斷點位置的反射脈沖的波前時刻，突變點產生的時刻對應于電纜發(fā)生故障處的位置，從而提高整個系統(tǒng)測量結果的精度。

設s為小波變換的尺度，則Wf(s,x0)為小波變換在x0處的變換系數，對于任意的變量x，如果在x0的鄰域內都能滿足以下條件：|Wf(s,x)|≤|Wf(s,x0)|，稱點x0為原始信號經過s尺度的分解與重構后的模極大值點，模極大值點對應的小波系數模值|Wf(s,x0)|為模極大值。

若一個基本小波函數為θ(x)，且它是一個低通濾波函數，母小波函數Ψ(x)在尺度因子a的伸縮變換下可得如下小波函數：

由上式可知，小波函數Wf(a,x)與原始信號f(x)的一階導數成正比，因信號的突變點與模極大值的奇異點是逐一對應的，則小波函數的一階導數代表的就是信號的突變點，即故障發(fā)生的具體位置，根據上述原理可以利用模極大值來進行故障定位。

4.小波去噪

4.1?去噪原理

在實際工程中，低頻部分包含了大量的有用信號和少許的小震蕩信號，而那些高頻信號大多是外界環(huán)境中的噪聲信號，所以小波去噪是指主要消去信號中的高頻分量即G1(w)、G2(w)、G3(w)，保留信號中的低頻分量，盡量使信號中有用的信號占大比例，這樣大大提高有用信號的提取精度。低頻有用信號主要存在于信號的近似部分中，高頻噪聲信號主要分布在細節(jié)部分，因此，我們要采取另外的方法將這部分噪聲信號去除，目前去噪的方法多種多樣，最為常用的是閾值法，其去噪基本步驟如下：

(1)小波分解：選好基本母小波對采集的原始信號進行多尺度分析，分解尺度為J層。通常情況下，小波分解尺度越大，信號去噪效果會越好，但分解層數較高時去噪效果提高的不明顯甚至出現信噪比降低的可能，因此分解尺度J必須選擇一個合適的值，一般取3~5層。

(2)閾值處理量化：小波閾值處理中需要特別注意閾值選取以及閾值函數的選取，這兩個關鍵因素的選取是否恰當會對最后的消噪結果產生很大的影響。

(3)小波重構：將經過前面兩步處理過后的小波系數進行小波重構，使重構的新信號中不含噪聲，實現濾波去噪效果。

4.2 經典閾值選取規(guī)則