計算三角形的面積, 是平面幾何里很常見的問題.

其他的多邊形, 例如四邊形, 五邊形等, 都可以分割為三角形; 求它們的面積, 也可以轉(zhuǎn)化為求三角形的面積.

計算三角形的面積, 有以下 5 種基本情況.

1. 已知一邊及該邊上的高

這是最基本的情況, 無需畫圖,

設(shè)該邊長度為?, 該邊上的高為? , 直接用公式:

2. 已知兩邊及其夾角

在 ΔABC 中, 已知

作出 BC 邊上的高 AH,

在 Rt ΔAHC 中,

3. 已知三條邊

在 ΔABC 中, 已知

BC = a, AC = b, AB = c.

過 C 作 CH ⊥AB 于點 H,

設(shè) ,

則 ,

在 Rt ΔACH 中,

??? ???????? ①

在 Rt ΔBCH 中,

? ②

① - ② 得

根號里的式子, 可以因式分解, 大家可以嘗試一下^_^.

4 已知一邊及兩個角

此情況又可以分為 2 種情況.

Ⅰ 若已知的角都為已知邊的鄰角, 則圖形如下:

在 ΔABC 中,

?,

過 C 作 CH⊥AB 于點 H,

設(shè) ,

則 ,

在 Rt ΔACH 中,

在 Rt ΔBCH 中,

解得

則

Ⅱ 若已知的角之一為已知邊的對角, 則圖形如下:

在 ΔABC 中,

, , ,

過 C 作 CH⊥AB 于 H,

在 Rt ΔBCH 中,

在 Rt ΔACH 中,

則有

5 已知兩邊及其中一者的對角

這種情況比較特殊, 可能有 2 個或者 1 個答案, 也可能無解.

在 ΔABC 中, 已知

Ⅰ 若 a < b · sin θ, 則該三角形不存在,

如果 BC 的長度, 比點 C 到 AB 的距離, 還要短, 則點 B 不可能落在 AB 所在的直線上,

因此, 在此情況下, 本題無解.

Ⅱ 若 a = b·sin θ, 則存在唯一的 ΔABC, 如下圖:

過 B 作 BH⊥AC 于點 H,

設(shè)?,

在 Rt ΔABH 中,

則有

在 Rt ΔBCH 中,

于是

配方得

Ⅲ 若 b·sin θ < a < b, 則存在 2 個三角形, 如下圖:

,? ,? ,

,

和? 都滿足條件, 但面積不同.

過 C 作 CH⊥AB 于點 H,

在 Rt ΔACH 中,

在 中,

同理,

于是,

Ⅳ 若 a ≥ b, 則存在唯一的三角形,?

計算方法與 Ⅲ 類似, 結(jié)果為: