在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，L老師正在講解點(diǎn)線對(duì)稱問(wèn)題

“已知A（2，3），直線L：x-y-1＝0，求A關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)”

說(shuō)罷，L老師用筆敲了敲黑板下沿的鐵皮，發(fā)出了清脆的撞擊聲，提醒同學(xué)們本節(jié)課的重點(diǎn)來(lái)啦

正在往后預(yù)習(xí)的Alice先抬起頭，看著眼前簡(jiǎn)短的數(shù)學(xué)問(wèn)題，她陷入了沉思，她的眼睛像那倒映滿月的深譚，雖僅能一窺浩瀚夜空中的一角，但卻能僅通過(guò)這一角看透無(wú)垠的夜空。就那么一瞬間，一顆流星劃過(guò)，那優(yōu)美的弧線化作她那微微上揚(yáng)的嘴角。她興奮地用手指戳了戳同桌Bob的腰，Bob沒(méi)忍住笑抬起頭來(lái)，與此同時(shí)L老師一邊問(wèn)

“哪位同學(xué)能起來(lái)說(shuō)說(shuō)自己的思路”，

一邊用他犀利的目光掃過(guò)同學(xué)們困惑的雙眼，Bob剛從計(jì)算的海洋里抬起頭，他的目光與笑臉便于L老師的目光撞了個(gè)滿懷。

“Bob，你怎么看這個(gè)問(wèn)題”

Bob緩緩的站了起來(lái)，顯然，他才看到白板上的問(wèn)題，同學(xué)們看到他那呆滯的目光與超長(zhǎng)的反射弧，都忍俊不禁，但Bob呆了幾秒后，不緊不慢地開(kāi)口說(shuō)

“AA'關(guān)于L對(duì)稱，也就是說(shuō)L是線段AA'的垂直平分線，設(shè)出A'坐標(biāo)，列出兩個(gè)方程就好了”一說(shuō)完，同學(xué)們向Bob投來(lái)贊賞的目光，

Alice一邊邪魅一笑地望著身旁1m8的Bob，一邊在桌下為Bob豎起了大拇指。

L老師推了推眼鏡，同時(shí)輕笑道

“很好，請(qǐng)坐，Bob同學(xué)的思路與一位數(shù)學(xué)家的方案不謀而和”

Alice瞬間就想到了那句話，在老師繼續(xù)說(shuō)之前，她已把數(shù)學(xué)書(shū)翻到那一頁(yè)，

Alice小聲與L老師齊聲道：“把一切問(wèn)題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問(wèn)題，把一切數(shù)學(xué)問(wèn)題歸結(jié)為代數(shù)問(wèn)題，把一切代數(shù)問(wèn)題歸結(jié)為方程，最后得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的方程”

Bob盯著Alice，他能聽(tīng)見(jiàn)她與老師的唱和，他能看到Alice波瀾不驚但閃著光的眼神，一股情感涌上Bob心間，不自然地，他在桌子下為Alice豎起了大拇指。說(shuō)罷，Alice微笑著回答“我知道，是笛卡爾！”同學(xué)們?cè)俅螌⒛抗馔断駼ob方向，不過(guò)這次是對(duì)Alice，同學(xué)們都“Wow”“so sick”起來(lái)，Cauchy暗自“嘖嘖”稱贊“不愧是數(shù)學(xué)課代表！”

“沒(méi)錯(cuò)！”L老師微笑著對(duì)Alice點(diǎn)點(diǎn)頭，“大家可以把數(shù)學(xué)書(shū)翻到80頁(yè)，里面就介紹了笛卡爾和解析幾何，有興趣的可以下課去了解了解。言歸正傳，我想借這道題淺釋一下其背后的深層邏輯”L老師頓了頓，側(cè)了側(cè)身子開(kāi)始在白板上寫，他在A'旁邊寫上了（x，y），寫完說(shuō)道：“我們知道，要求A'坐標(biāo)就要先設(shè)出A'坐標(biāo)，這個(gè)時(shí)候出現(xiàn)了兩個(gè)變量——x和y，若沒(méi)有題目中的條件，這個(gè)A'點(diǎn)就可以在這個(gè)平面內(nèi)到處跑，你是無(wú)法抓住——確定它的，此時(shí)，我們稱A'有兩個(gè)'自由度'”

還沒(méi)說(shuō)完，黑板上“自由度”三個(gè)字飄逸地呈現(xiàn)在同學(xué)們眼前，Bob將注意力從Alice轉(zhuǎn)向白板，在心中仔細(xì)揣度著這三個(gè)字，心里開(kāi)始默念著“無(wú)條件，兩個(gè)自由度；一個(gè)條件，一個(gè)自由度；兩個(gè)條件，零自由度……”L老師接著說(shuō)：“在此題中，當(dāng)我們利用垂直這個(gè)條件時(shí)——大家知道怎么用這個(gè)條件嗎？”

Cauchy立馬回答到

“kk相乘等于-1”

“C同學(xué)反應(yīng)很迅速，沒(méi)錯(cuò)，兩條直線垂直，在斜率都存在條件下，他們的斜率相乘等于

-1，當(dāng)我們利用這個(gè)關(guān)系求出AA'的斜率時(shí)，A'所能夠存在的范圍瞬間從這個(gè)無(wú)限的平面坍縮到這條無(wú)限的直線上，這個(gè)時(shí)候——”L又頓了頓，準(zhǔn)備說(shuō)下一句話時(shí)，Bob捷足先登——“還剩一個(gè)條件和一個(gè)自由度！”Bob自信地說(shuō)，似乎他已經(jīng)窺探到其中的奧秘?？匆?jiàn)Bob自信的笑臉，L老師心領(lǐng)神會(huì)，接著他的話說(shuō)，我們用掉了一個(gè)條件得到了一個(gè)方程：

1·(y-3)/(x-2)＝-1

通過(guò)這個(gè)方程我們確立y與x之間的一個(gè)限制關(guān)系，在本題中這個(gè)限制關(guān)系將xy限制在了一個(gè)直線方程中，也就將A'限制在了過(guò)A點(diǎn)斜率一定的直線(作者說(shuō)：這里要去一個(gè)點(diǎn))上，通過(guò)這個(gè)方程可知，每當(dāng)我們?nèi)∫粋€(gè)確定的x，我們就可以得到一個(gè)確定的y，這樣xy之間就建立了一個(gè)函數(shù)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，又一次函數(shù)是線性的，因此我們可以稱這個(gè)方程為線性方程”

同學(xué)們聽(tīng)上頭了：變量、自由度、限制關(guān)系、線性方程...這些簡(jiǎn)單而又樸實(shí)的概念在同學(xué)們腦海中織起了一張嚴(yán)密的網(wǎng)，通過(guò)這張網(wǎng)，他們的思想可以迅速達(dá)到任何可及之處，暢通無(wú)阻，Cauchy反應(yīng)到

“還有一個(gè)平分條件”

L老師繼續(xù)說(shuō)“我們知道線段的中點(diǎn)平分這條線段，所以我們還可通過(guò)AA'的中點(diǎn)在L上來(lái)構(gòu)建另一個(gè)方程”：

(x+2)/2-(x+3)/2-1＝0

“線段的中點(diǎn)平分這條線段”這看起來(lái)很顯然的事，Alice卻在心里把這句話好好品味了一遍，并點(diǎn)了點(diǎn)頭。看到L老師已經(jīng)把兩個(gè)方程列在了白板上，同學(xué)們紛紛開(kāi)始算起來(lái)，而B(niǎo)ob的草稿紙上早已蜿蜒滿了跳動(dòng)著的弧線，Bob抬起了頭，看見(jiàn)Alice和自己一樣，便左手表4，右手表1給Alice看，Alice瞥見(jiàn)，但微頷之，看見(jiàn)Bob的小動(dòng)作，L老師看破不點(diǎn)破，等到大家都算的差不多，繼續(xù)說(shuō)道

“大家應(yīng)該都算出答案了，”他左手表1，右手表4，“是這個(gè)吧”，同學(xué)們都點(diǎn)點(diǎn)頭，只有Bob看著自己的左右手，明白了自己哪里弄“錯(cuò)”了...

L老師說(shuō)“我們通過(guò)兩個(gè)方程解出了唯一一組（x，y），最終確定了A'的坐標(biāo)，A'不再漫游于無(wú)限的平面內(nèi)，也不再在無(wú)限直線上滑行，而是成為了A關(guān)于L唯一的像，只要A在A'就在，A不動(dòng)，A'就不動(dòng)，A已知，A'就已知。此時(shí)A'的自由度為0，方程個(gè)數(shù)為2?！甭?tīng)到這里Fermat同學(xué)發(fā)現(xiàn)了華點(diǎn)

“恒為2！”

大家也都驚了一下，一個(gè)隱藏的恒等式屹立在同學(xué)們面前，不緊不慢地，L老師在白板上瀟灑地寫了起來(lái)：

利用條件的個(gè)數(shù)＋自由度＝2

“這是本題中蘊(yùn)含的一個(gè)恒等式，如F同學(xué)所說(shuō)，左邊恒等于2，那么我想問(wèn)大家，這個(gè)2有什么含義嗎？”

C同學(xué)馬上反應(yīng)到“是x與y！”

F同學(xué)跟著后面說(shuō)“是垂直平分兩個(gè)條件”

L老師說(shuō)“都不是很準(zhǔn)確，確切地說(shuō)，2是我們解決這個(gè)問(wèn)題所在的維度，xy是我們?cè)O(shè)的兩個(gè)未知數(shù)，它代表我們所要解決的是二維問(wèn)題，推而廣之，在所有這種問(wèn)題里，一定有——

利用條件的個(gè)數(shù)＋自由度＝n(維度)

恒成立。我們?cè)诮鉀Q這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，隨著利用的條件(方程)個(gè)數(shù)的增多，所求對(duì)象的自由度也就越來(lái)越低，從2到1再到0，這個(gè)過(guò)程我們可以這樣理解：

我們用方程的手段對(duì)A'進(jìn)行了數(shù)學(xué)上的降維打擊！

”

以上是up大膽創(chuàng)作的一則小故事，不能說(shuō)是很好吧，但對(duì)我來(lái)說(shuō)已經(jīng)不錯(cuò)了，up初二的時(shí)候就想寫些類似的“小小說(shuō)”，奈爾能力不夠，現(xiàn)在也只是勉強(qiáng)寫一寫，實(shí)際操作下來(lái)要花的時(shí)間對(duì)一個(gè)準(zhǔn)高三生來(lái)說(shuō)還是太多了，主要是明天開(kāi)學(xué)，假期作業(yè)還沒(méi)寫完了(可以說(shuō)還沒(méi)碰，哭死)，所以三聯(lián)回一下血吧，看up時(shí)間多不多得寫出這個(gè)問(wèn)題的中下篇[捂臉笑]，應(yīng)該比上面要精彩...

ps：有什么好的建議可以在下面評(píng)論區(qū)分享，up第一次寫小說(shuō)問(wèn)題肯定多多

參考視頻：

[阿不高中數(shù)學(xué)-計(jì)算基本法-自由度、消元]

https://b23.tv/mk9EuDQ