麥克斯韋方程組的解
本文主要討論如何從已知的場源?，
?來求解電磁場。閱讀本文需要具備電動力學和矢量分析的基礎(chǔ)知識。
場方程
從麥克斯韋方程組出發(fā)，
(2) 式表明，存在矢量場 ，使得
代入 (3) 式，并交換求導次序可得，
上式括號內(nèi)的部分為無旋場，說明存在標量場?，使得
于是電磁場可以表示為，
其中??為電勢，
?為磁矢勢。將這兩個式子代入 (1) (4) 兩式，可以得到勢場的場方程，
其中??為真空中的光速。
容易驗證，對任意標量場?，當?
進行如下聯(lián)合變換時，
電磁場保持不變。該變換稱為規(guī)范變換。
即??和
?可以描述同一電磁場。這個性質(zhì)說明勢場方程存在一定的自由度，利用這一點可以將方程化為更簡單的形式。假設(shè)，
規(guī)范變換后變?yōu)?/p>
對任意的?，我們可以通過求解有源波動方程找到?
，使其滿足
也就是說，我們總能通過規(guī)范變換，使得
滿足上式要求的勢場被稱為洛倫茲規(guī)范。
于是，場方程化為形式上對稱的有源波動方程，
定義達朗貝爾算符（D'Alembert Operator）
定義四維矢勢和場源，
于是場方程可以簡化為，
有源波動方程
利用傅里葉變換，
可以得到頻域中的方程，
其中? 。利用格林函數(shù)來求解，設(shè)?
?滿足，
??為源點，
?。形式上可以寫出頻域中的通解，
于是問題變?yōu)榍蠼?。對于無界空間的基本解，
?函數(shù)應與方向無關(guān)，只與源點到場點的距離有關(guān)，
其中?。當?
?時，方程簡化為，
顯然這個方程描述的是點電荷在無界空間中產(chǎn)生的靜電勢，此時的解為
?
其中??為待定函數(shù)，在?
?時，有?
。當?
?時，?
?
化簡得到關(guān)于??的方程，
其解為，
利用??可知?
，所以求得格林函數(shù)為，
由此可以求出頻域中的兩個解，
再利用傅里葉變換，
Jefimenko 公式
上一節(jié)通過求解有源波動方程得到了數(shù)學上的兩個解，但在實際的物理場中，場源產(chǎn)生的影響會以光速傳播出去，在推遲了??的時間后到達場點，即?
?時刻的場點由?
?所以物理解應該采用推遲勢(Retarded potential)，
可以發(fā)現(xiàn)上式與靜電場、靜磁場的勢具有相似的形式。寫出電勢與磁矢勢，分別為，
其中下標??表示取推遲時間?
。
接下來通過勢場求電磁場。計算如下幾項導數(shù)，
電磁場為，
Jefimenko
，運動軌跡為
，速度為，
由此可以寫出場源的分布，
設(shè)?，其單根為?
，即
利用 delta 函數(shù)的性質(zhì)，
其中??是?
?的實單根。對于復合矢量場的情形，分母對應 Jaccobi 行列式在單根處的值，
分母的矩陣元為，
將行列式記為?，
于是 delta 函數(shù)變?yōu)椋?/p>
代入推遲勢可得，
這就是點電荷的 Liénard–Wiechert 勢。
