不知不覺(jué)躺著上了千粉。最近一直在鴿，頗為慚愧，但是物理確實(shí)太難了，還想講些什么，但總是覺(jué)得要么言之無(wú)物，要么自己也沒(méi)學(xué)明白。只能學(xué)一步算一步。

路徑積分是很有意思的內(nèi)容，想單獨(dú)就這個(gè)內(nèi)容寫(xiě)一個(gè)難度低一些，偏科普性質(zhì)的筆記。

本文參考了本學(xué)期規(guī)范場(chǎng)論的課堂講授內(nèi)容、Peskin量子場(chǎng)論第9章和費(fèi)曼的《量子力學(xué)與路徑積分》。

路徑積分是量子力學(xué)的一種很有意思的表述，費(fèi)曼的著名操作。

這種思想可以從多面屏的干涉裝置中得到啟發(fā)。最經(jīng)典的楊氏雙縫干涉裝置，是先讓光源通過(guò)單縫的屏以控制光程，進(jìn)而通過(guò)雙縫的屏而在最終的觀察屏上。這個(gè)裝置可以進(jìn)行各種改變，如雙縫可以變成多縫或光柵、縫寬度與形狀可以改變。最終觀察到的衍射圖案也會(huì)相應(yīng)改變。

無(wú)論如何，只要每一面屏上透光的區(qū)域是已知的，整個(gè)衍射的結(jié)果也可以基于波動(dòng)光學(xué)嚴(yán)格地計(jì)算出來(lái)，具體來(lái)說(shuō)只要對(duì)每一面屏上的透光區(qū)域進(jìn)行積分。

隨著量子力學(xué)的發(fā)展，我們都了解到所有物質(zhì)都具有波動(dòng)性。例如類(lèi)似的裝置中，用電子同樣可以觀測(cè)到干涉。這些干涉過(guò)程理應(yīng)可以用量子力學(xué)計(jì)算出結(jié)果，且和波動(dòng)光學(xué)的結(jié)果類(lèi)似。

由此我們有理由考慮量子力學(xué)的一種表述，可以基于粒子前進(jìn)路徑上對(duì)每一面屏上透光區(qū)域積分而計(jì)算粒子通過(guò)衍射裝置到達(dá)某個(gè)末態(tài)的振幅。

換一種說(shuō)法，也可以認(rèn)為是對(duì)粒子每一種通過(guò)各種縫的方式進(jìn)行積分。

我們進(jìn)而考慮一種推廣：即使那里沒(méi)有任何屏在遮擋，其實(shí)也可以相當(dāng)于一個(gè)完全透過(guò)的屏。多一個(gè)這樣的屏，對(duì)計(jì)算結(jié)果不應(yīng)有影響。

如果再進(jìn)一步考慮，整個(gè)空間中其實(shí)可以看作無(wú)數(shù)個(gè)完全透過(guò)的屏。這種思想其實(shí)在波動(dòng)光學(xué)就有，菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式就是這種思想。

如果我們要對(duì)每一個(gè)屏的每一種通過(guò)方式進(jìn)行積分，實(shí)際上就相當(dāng)于考慮從起點(diǎn)到終點(diǎn)的所有可能的路徑。

這就是路徑積分的思想。

路徑積分公式

都說(shuō)每多一個(gè)公式就要少一半讀者。但是講這個(gè)東西總要涉及具體的計(jì)算，不然也不能算講明白。

路徑積分說(shuō)的是：粒子經(jīng)過(guò) T 時(shí)間從 a 點(diǎn)到 b 點(diǎn)的振幅，是由這段時(shí)間里從 a 到 b 所有可能的路徑 x(t)?決定的，每條路徑貢獻(xiàn)相同的振幅，只有指數(shù)上的相位不同，這個(gè)相位由路徑的經(jīng)典作用量 S[x(t)] 決定。

這里， 表示對(duì)所有可能的 x(t) 積分，?是路徑 x(t) 的經(jīng)典作用量。

現(xiàn)在還存在一個(gè)問(wèn)題： 實(shí)際上還未得到良好的定義。什么叫“對(duì)所有路徑積分”？如何去窮舉所有的路徑才做到?jīng)]有遺漏？

這里用的方法是先將時(shí)間離散化，再取間隔趨于0的極限。將時(shí)間 T 分為 N 份，每份時(shí)長(zhǎng) ε.

這樣，就可以積分每一小段時(shí)間末尾的位置，以這種方式窮舉全空間的所有路徑。

其中 C(ε) 是一個(gè)和 ε 有關(guān)的歸一化常數(shù)，后續(xù)的計(jì)算會(huì)確認(rèn)它的值，它避免了整個(gè)積分的發(fā)散。最后，對(duì)這個(gè)N重積分取極限N→∞，就是我們要定義的路徑積分。

至此，我們算是比較完整地對(duì)量子力學(xué)的路徑積分表述給出了定義。

接下來(lái)分析為何這個(gè)形式的路徑積分可以正確表述量子力學(xué)。

經(jīng)典極限

一個(gè)量子理論要正確，首先要求它在 h→0?的經(jīng)典極限下給出一個(gè)經(jīng)典的結(jié)果。畢竟宏觀低速弱場(chǎng)條件下，我們迄今尚未觀察到任何違背經(jīng)典力學(xué)的物理現(xiàn)象。

關(guān)于如何思考路徑積分的經(jīng)典極限，費(fèi)曼在他的《量子力學(xué)與路徑積分》中給出很巧妙的說(shuō)明。

首先要說(shuō)，我上面給出的公式中用的是 ?的自然單位制。如果要取經(jīng)典極限，指數(shù)上應(yīng)是 ，而 hbar 經(jīng)典極限下趨于0.

考慮一些互相很接近的路徑，如果這些路徑的作用量 S 也相應(yīng)地不同，那么指數(shù)上的相位，由于分母極小，必然會(huì)出現(xiàn)劇烈的振蕩。這樣一來(lái)，附近的大量路徑貢獻(xiàn)的相位都在劇烈的振蕩中，這些路徑互相抵消，最后對(duì)路徑積分總的貢獻(xiàn)就沒(méi)了。

但是，如果存在一條路徑，和它附近的路徑作用量幾乎都一樣，這時(shí)候路徑積分在這個(gè)路徑附近就是以很接近的相位互相疊加，這條路徑就會(huì)貢獻(xiàn)很大的振幅。

事實(shí)上，根據(jù)最小作用量原理，這條貢獻(xiàn)振幅的路徑正是經(jīng)典路徑。這就是路徑積分的經(jīng)典極限。

路徑積分與其他表述的等價(jià)性

我們當(dāng)然還應(yīng)當(dāng)從上面這個(gè)路徑積分的定義出發(fā)證實(shí)路徑積分表述和其他表述的等價(jià)性。

從薛定諤匯景出發(fā)，同樣可以計(jì)算粒子從a到b的振幅，應(yīng)該是

根據(jù)薛定諤方程，應(yīng)有

不難驗(yàn)證前式的 U 是滿(mǎn)足的。我們應(yīng)當(dāng)證明路徑積分給出的振幅 U 也滿(mǎn)足薛定諤方程。

不過(guò)啊，這里我想起了一位叫費(fèi)馬的大數(shù)學(xué)家，他曾說(shuō)：這里空間太小，寫(xiě)不下。這里的計(jì)算確實(shí)比較多，不太適合用專(zhuān)欄編輯。

省略諸多過(guò)程的一個(gè)簡(jiǎn)記手稿，大家將就看看。

這只是對(duì)一維情況的證明。當(dāng)然，高維情況也是有辦法證明的。

這就是量子力學(xué)的路徑積分表述。