設(shè)（X，d）是度量空間，U是X的子集族，令

meshU=sup【diamU；U∈U】稱之為U的網(wǎng)格直徑。

首先，我們給出下面的定理。

定理 9.3.1? ?設(shè)（X，d）是度量空間，則下列條件等價；

（a） dimX≤n

（b）X存在局部有限的開覆蓋列 (Wk）k 使得對任意的k有

ordWk≤n，mesh Wk≤1/k? 且cl（Wk+1)=【cl W ；W∈Wk+1】是Wk的重心加細(xì)。

對于X的兩個覆蓋 A，B，如果對任意x∈X，存在B∈B，使得st（x，A）?B，則稱A是B的重心加細(xì)。

對于x∈X，設(shè)A是X的一個子集族。令?st（x，A）=st（{x}，A）=∪【A∈A;x∈A】稱st(x，A）為點x關(guān)于集族A的星集。

（c）X存在開覆蓋列(Wk)k使得對任意的k有? ordWk≤n，meshWk≤1/k且Wk+1是Wk的重心加細(xì)。

Katetov-Morita? 定理? ? ? 對任意的度量空間X，有IndX=dimX。

對于可分度量空間 X，dimX=IndX=indX

若X是度量空間，Y是X的子空間，則dimY=IndY≤dimX=IndX。

引理 若度量空間（X,d）存在由σ-局部有限的即開又閉集構(gòu)成的基，則dimX=IndX≤0

引理? ?設(shè)（X,d）是度量空間，A，B是X中不想交的閉集對，Z? X且IndZ≤0，則存在X中開集W使得A?W?clW?X＼B 且bdW∩Z=?

定理? ?設(shè)X是度量空間，則下列條件等價；

（a）IndX=dimX≤n；

(b)? X存在一個σ-局部有限基B，使得對任意的B∈B有Ind bdB≤n-1；

(c)? X可寫成不超過n+1個強0-維子空間之并。