在前面的學(xué)習(xí)中，我們知道了如果Kp比較大，則由于PWM調(diào)制點比較遲，導(dǎo)致加熱時間比較久，進而產(chǎn)生較大的超調(diào)。而在很多工業(yè)設(shè)備中，過高的溫度是不允許的。比如一些紙漿機，過高的溫度會導(dǎo)致設(shè)備/模具損壞，所以超調(diào)的抑制非常重要。那怎么樣才能抑制超調(diào)呢？

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我們來分析一下加熱棒被加熱時的特點。

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1.當(dāng)測量溫度小于目標(biāo)溫度時，無論是比例項還是積分項，它們對有效加熱時間的貢獻都是正的，所以疊加后會延長整體的加熱時間并進而導(dǎo)致溫升過快--當(dāng)然，我們考慮的是加熱大于散熱的情況。

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2.當(dāng)測量溫度大于目標(biāo)溫度時。比例項和積分項都是負的，對有效加熱時間的貢獻是負的。

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由加熱棒的加熱特點可知，我們需要對測量溫度小于目標(biāo)溫度時的情況進行重點關(guān)注。當(dāng)測量溫度小于目標(biāo)溫度時，我們需要在PID的輸出中增加一個對溫度增加敏感的項，溫度增加快，它的值就大，溫度增加小，它的值就小，而且它起的作用和比例項、積分項的作用相反，也就是說它對有效加熱時間的貢獻是負的。

那該選項應(yīng)該是怎么樣的呢？下面我們結(jié)合圖1來分析。

圖1中為單純比例項作用時的情況。由圖可見

①當(dāng)時間從1增加到2時，溫度增加4°。

②當(dāng)時間從2增加到3時，溫度增加8°。

③當(dāng)時間從3增加到4時，溫度增加10°。

可以看到時間從1到4時，溫度增加越來越快，所以抑制項也要越來越強，也就是說新增加的抑制項應(yīng)該與溫度的變化率成正比，即具有如下關(guān)系:

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Dout = Kd’ * ΔEk/Δt??? (1)

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其中，Dout為抑制項的輸出，Kd’為比例系數(shù)，ΔEk/Δt 為溫度的變化率，(ΔEk = lastPv - Pv為前后相鄰兩次測量出的溫度的差(溫度的變化)，Δt為前后兩次測量的時間差)。lastPv為上一次測量出的溫度，Pv為當(dāng)前測量出來的溫度。

因為

ΔEk = lastPv - Pv????????????????????????????? (2)

??? =( Sv - Pv) - (Sv - lastPv)

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其中Sv-Pv為當(dāng)前測量溫度和目標(biāo)溫度之差。Sv - lastPv為上一次的測量溫度和目標(biāo)溫度之差。所以ΔEk又可以寫成

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ΔEk =lastEk -Ek?? (3)

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該公式就是當(dāng)前各大教材、各大網(wǎng)站給出的溫差變化的公式。不過在本教程中，我們直接使用公式(2)而不是公式(3)。

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下面我們回到式(1)繼續(xù)討論，如下：

①從t = 1到t = 2時，Dout = Kd’ * (32 - 34) /1 = Kd’*(-2);

②從t = 2到t=3時，Dout = Kd’ * (34 - 42)/1 = Kd’ * (-8);

由于通常情況下Kd’都設(shè)置為正值，所以升溫時Dout的結(jié)果是一個負值，它對整體輸出的貢獻與Kp、Ki的相反--也即會對溫度的增加起到抑制效果。

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實際上，式(1)可以做如下變化

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Dout = Kd’ * ΔEk/Δt = Kd’ * dEk/dt? (4)

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由(4)式可以看到，這是一個微分方程，用于描述Dout變化趨勢，所以Dout實際上就是微分項的輸出，而Kd’為微分系數(shù)。

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加入微分項后，PID的輸出變?yōu)榱耸?5)的樣子：

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out = Kp * Ek + Ki * SEk + Kd *ΔEk?? (5)

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其中，Kd = Kd’/dt為重新定義后的微分系數(shù)。由于微分項和溫度的變化率相關(guān)，所以它只能阻礙而不能阻止溫度的變化。

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下面我們假設(shè)Kd = 300，然后來看一下微分項的抑制效果。其中Kp = 2, Ki = 0，先去掉積分效果。

先來看沒有微分項時的結(jié)果，如圖1所示。

下面是增加微分項后的結(jié)果。

由圖2可以看到，增加微分項后，能夠有效抑制超調(diào)。但是在溫度反轉(zhuǎn)的時候由于微分項會非常大，所以反轉(zhuǎn)非常困難，這時候就需要積分項的累積去抵消掉這個大的反轉(zhuǎn)，使得溫度能夠回到目標(biāo)位置。如果沒有積分項，結(jié)果很可能是曲線一直發(fā)散(換句話說，如果看到曲線發(fā)散，大概率是微分太大了)。

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