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A-0-6矢量運(yùn)算(2/2)

2023-08-28 13:22 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過(guò) | 我要投稿

0.6.4 矢量的分解

由矢量減法的定義，任意一個(gè)矢量 $%5Cvec%20a$ 都可以與另一個(gè)同單位矢量 $%5Cvec%20b$ 作差， $%5Cvec%20a-%5Cvec%20b%3D%5Cvec%20c$ .則 $%5Cvec%20a$ 可以表示成 $%5Cvec%20b%2B%5Cvec%20c$ 的形式，即任一個(gè)矢量都可以分解為另外兩個(gè)矢量之和。

特殊的，當(dāng)另外兩個(gè)矢量相互垂直時(shí)，此時(shí)的分解稱為正交分解，正交分解的計(jì)算比較方便。

如圖， $%5Coverrightarrow%7BAB%7D%3D%5Coverrightarrow%7BAC%7D%2B%5Coverrightarrow%7BBC%7D$

借助坐標(biāo)系，一個(gè)矢量可以寫成 $%5Cvec%20A%3D%5Cvec%20A_x%2B%5Cvec%20A_y%2B%5Cvec%20A_z$ ，

或者 $%5Cvec%20A%3DA_x%5Cvec%20i%2BA_y%20%5Cvec%20j%2BA_z%5Cvec%20k$

0.6.5 轉(zhuǎn)動(dòng)矢量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

假設(shè)一個(gè)矢量 $%5Cvec%20A$ 繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 $%5Cvec%5Comega$ ，下面我們分析一下該矢量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

幾何表示

經(jīng)過(guò)很短的一段時(shí)間 $%5Cvec%20A$ 轉(zhuǎn)過(guò)一定的角度 $d%5Ctheta%3D%5Comega%20dt$ ， $%5Cvec%20A$ 變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cvec%20A%2Bd%5Cvec%20A" alt="%5Cvec%20A%2Bd%5Cvec%20A">.其中 $d%5Cvec%20A$ 可以分解為 $d%5Cvec%20A_r%2Bd%5Cvec%20A_%5Ctheta$ ，兩分量方向分別沿著 $%5Cvec%7Be_r%7D$ 和 $%5Cvec%20e_%5Ctheta$ ， $%5Cvec%7Be_r%7D$ 稱為徑向單位向量， $%5Cvec%20e_%5Ctheta$ 稱為角向單位向量，角向習(xí)慣上沿逆時(shí)針。

然后分別算出 $%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20A_r%7D%7Bdt%7D%2C%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20A_%5Ctheta%7D%7Bdt%7D$ ，再相加即可。

代數(shù)推導(dǎo)：

由上圖可知， $d%5Cvec%20e_r%3D%7Cd%5Cvec%20e_r%7C%5Cvec%20e_%5Ctheta%3D%7C%5Cvec%20e_r%7Cd%5Ctheta%5Cvec%20e_%5Ctheta%3D%5Comega%20dt%20%5Cvec%20e_%5Ctheta$

由于 $%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20e_r$ 的方向沿著 $%5Cvec%20e_%5Ctheta$ ，故有 $%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20e_r%7D%7Bdt%7D%3D%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20e_r%3D%5Comega%5Cvec%20e_%5Ctheta$

同理 $%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20e_%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%3D-%5Cvec%5Comega%5Cvec%20e_r$

由此可得：

$%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20A%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bd(A%5Cvec%20e_r)%7D%7Bdt%7D%3DA%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20e_r%7D%7Bdt%7D%2B%5Cdfrac%7BdA%7D%7Bdt%7D%5Cvec%20e_r%3DA%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20e_r%2B%5Cdfrac%7BdA%7D%7Bdt%7D%5Cvec%20e_r$

即

$%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20A%7D%7Bdt%7D%3D%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20A%2B%5Cdfrac%7BdA%7D%7Bdt%7D%5Cvec%20e_r$

其中包含兩項(xiàng)，一項(xiàng)是轉(zhuǎn)動(dòng)的效果，另一項(xiàng)是沿著半徑方向的增量。

0.6.6 練習(xí)

地球以角速度 $%5Comega$ 自轉(zhuǎn)，一質(zhì)點(diǎn)在緯度 $%5Cvarphi$ 上空 $h$ 高度處自由下落。物體只受到重力和地轉(zhuǎn)偏向力，試求因科里奧利力引起的落地點(diǎn)的偏移方向和偏離距離 $%5CDelta%20l$ ?.已知科里奧利力的形式為 $F_c%3D-2m%5Cvec%5Comega%5Ctimes%20%5Cvec%20v$ ，其大小遠(yuǎn)小于重力。其中 $m$ 為物體質(zhì)量， $%5Comega$ 為地球自轉(zhuǎn)的角速度， $v$ 為物體相對(duì)地球的速度。