????????????????????????第9課????????一元二次方程

一、探索新知

????? ? 1、只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)最高次數(shù)為2的方程叫一元二次方程。形式為ax2+bx+c（a≠0），a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項，該方程必須是整式方程。有兩個實根，方程的實根個數(shù)取決于方程的次數(shù)（條件是方程的某一項不能有2個未知數(shù)，換成二元的也不行）。

????????2、像一元一次方程一樣，Scratch也能解一元二次方程嗎？請大家思考一下。以前我說過方程化簡后等號兩邊都有x時是解不了方程的。而實際上卻有配方法、公式法、因式分解法、直接開平方法。∴我們不妨先了解一下這些方法的步驟。

（1）配方法：

整理：化為ax2+bx+c=0的形式（且a=1）

配方：方程兩邊同時加上c，并化為完全平方式

降次：等號左右兩邊開方

求實根：分解成兩個方程，解出兩個方程的實根（若等號右邊位非負數(shù)）

（2）公式法：

整理：化為ax2+bx+c=0的形式

套入共識：將a，b，c代入△

求公式的值：化簡△

求實根（把△中的“±”拆成“＋”“－”進一步整理求實根）（若公式的值是非負數(shù)）

（3）因式分解法：

整理：化為ax2+bx+c=0的形式

降次：因式分解成（a±x1）（b±x2）=0的形式（（其中有一項可以是單項式））

求實根（兩個括號內(nèi)的式子分別與“=0”合在一起求出x1，x2）（必須等號左邊整理后能因式分解，且等號右邊為0）

（4）直接開平方法：

整理：因式分解成（a±bx）2=0的形式（這里的0并非必須是0）

降次：等號兩邊同時開方

求實根：分解成兩個方程，解出兩個方程的實根（等號右邊必須是非負數(shù)）

????????首先來看（1）。開始你整理只是把等號左邊的c變?yōu)?c（原方程c＜0同理）加減號發(fā)生了改變，用減法積木就可以了，但是如果a≠0怎么辦？a≠0時，整理完方程后b，c等號右邊的數(shù)都同除以a，有人可能會說：“再拿4塊積木，分別是b÷a，c÷a，等號右邊的數(shù)除以a，a÷a?！笨蒩如果是分數(shù)呢？那就是“分數(shù)乘法”的問題了，首先分數(shù)就包含分子、分母，而且分子、分母都要參與運算，這時光a就要補上一些其他的積木了?？赡阍倩剡^頭去看，前面只對a，b，c做了詢問并回答吧？開始也改變加減號了吧？無論c等于幾，那都是一個過程，前面的每一步程序都直接影響到后面的程序，而程序又是“一去不復返”的，人家管你怎么樣，一步代碼與過程有矛盾最后編程都得報錯?！啵?）肯定是用不了的。

????????再看（2）根據(jù)前面的了解我們可以得知，就是知道了a，b，c后帶入求根公式△=b2-4ac，再代入（-b±根號△）/2a直接計算就行了。但是與（1）相同的是，整理過程中c還是涉及到變號問題，當方程等號右邊≠c時c還會改變絕對值。不過不管怎樣，整理后等號右邊都是0，直接跳過去這一小部分過程，直接確定整理后的a，b，c的值行不行。由于一元二次方程的形式是ax2+bx+c=0（a≠0，而且是整式方程），這樣就首先確保了a，b，c可以直接確定。而Scratch中運算模塊里有四則運算、開平方功能，這樣我們就能繼續(xù)解了。

????????接著再看（3）。我們發(fā)現(xiàn)到，第一步整理就需要因式分解，不是所有的代數(shù)式都能因式分解，只有原方程所有項全整理完后，等號左邊能因式分解且同時等號右邊為0時才能用這個方法的，否則你就解不出來。也就是說因式分解法它不是萬能的，況且Scratch具有局限性，功能沒有人知道的廣泛，連你人都不可能解出來，程序怎么可能實現(xiàn)??？∴（3）也肯定用不了。

????????最后看（4）?，F(xiàn)在你會發(fā)現(xiàn)到，直接開平方法與其他方法不同：它是整理成（a±bx）2=0的形式。（a±b）2的結果是什么啊？a2±2ab＋c2。樣子好像和那個配方法差不多，可配方法也實現(xiàn)不了Scratch編程啊？不過不用擔心，我們這里實際的本質是“直接開方”，所謂“直接”就是我一次性把他解決了，那怎樣才能一次性解決？只有（a±bx）2=0。∴（4）也是沒有問題的。

二、想想議議

????????現(xiàn)在我們知道了一元二次方程的解法，以及那些方法能用Scratch實現(xiàn)，哪些不能用Scratch實現(xiàn)。那如果不解一元二次方程，我還能知道兩個未知數(shù)到底等于多少嗎？同時又能得出什么結論？這就是一元二次方程根與系數(shù)的關系的問題了。

????????通過前面的內(nèi)容，我們可以推出x1+x2=（-b+根號b2-4ac）/2a+（-b-根號b2-4ac）/2a=-（2b/2a）=-b/a，即一元二次方程兩根之和=-b/a，同理x1·x2=[（-b+根號b2-4ac）/2a]·[（-b-根號）/2a]，整理并化簡得x1·x2=c/a，即一元二次方程兩根之積為c/a。

三、流程圖

????????1、但是光知道公式法、直接開平方法解一元二次方程能用Scratch實現(xiàn)還不夠，你總得有個理由吧？在編程中，過程就是最好的證明。

????????2、我們先來看一下公式法：如圖1所示：∵公式法就是通過算求根公式求解，△=b2-4ac吧？里面包含字符a，b，c，就說明第一步一定是要加入a，b，c。我們又知道，一元二次方程二次項系數(shù)不能為0，否則就沒有意義，也就沒有必要再往下執(zhí)行了，∴第二步判斷a≠0？如果a≠0則第三步代入△=b2-4ac。但要注意的是：這并不是最終答案，最終答案是要讓程序解出x1，x2。小心這里有個陷阱：我有必要繼續(xù)代入（-b±根號△）/2a繼續(xù)執(zhí)行程序嗎？其實根本不需要，∵它是個判別式：當△＜0時，方程無實根，我可以提前結束這個腳本；當△=0時，兩方程有一個相等的實根，代入（-b±根號△）/2a中得-b/2a；當△＞0時，方程有兩個不等的實根，這是我就要把“±”拆開求x1，x2具體的實根了。最后程序結束。

????????3、我們再來看直接開平方法。如圖2所示：∵直接開平方法的原方程形式是（a±bx）2=0，而且它還是第一步就等號兩邊開方降次，∴第一步輸入a，b，等號右邊的數(shù)，與公式法一樣，要對a≠0？進行判斷，但直接開平方法還要對等號右邊的數(shù)≥0？進行判斷，同時為真才能繼續(xù)執(zhí)行程序，∵負數(shù)沒有平方根。因此兩判斷同時為真時執(zhí)行第三步，添加變量a，b，c從而讓程序解出方程的實根。第四步，原方程降次到（a±bx）2=±根號c后，“拆成”a＋bx1=根號c和a±bx=-根號c分別變形為x1=（根號c-a）/b和x2=（-根號c-a）/2a，這樣就可以執(zhí)行第五步，求出x1，x2各自的結果，也就是程序最后的方程實根。此時程序結束。

四、變量信息

????????a、b、c、x1、x2、d、原方程的實根、原方程降次后的值、△、x1+x2、x1x2、根與系數(shù)的關系1、根與系數(shù)的關系2

五、代碼示例

????????1、我們先看看如何讓Scratch實現(xiàn)用公式法解一元二次方程：

? ? ? ? （0）——（2）：首先需要詢問并回答原方程的二次項系數(shù)。

當綠旗被點擊????（0）

?詢問請輸入a????（1）

將a設為回答????（2）

????? ? （3）——（6）：當a=0時，∵方程無意義會導致程序報錯，∴要對a的值進行判斷，不報錯程序才會一直進行。

如果a=0那么????（3）

說：“二次項系數(shù)不為0，原方程無意義。”?2秒????（4）

等待1秒????（5）

停止這個腳本????（6）

????? ? （7）——（12）：程序怎么繼續(xù)運行？當然是把原方程其余要知道的一次項系數(shù)、常數(shù)項也要讓程序知道啦? ，即目標為實現(xiàn)變量b，c。

詢問請輸入b????（7）

將b設為回答????（8）

詢問請輸入c????（9）

將c設為回答????（10）

等待1秒????（11）

將△設為b2-4ac????（12）

????? ?（13）——（26）：?接下來利用判別式對方程的實根進行判斷了。當△＜0時讓程序知道方程無實根；當△=0時把x1，x2等量代換成x；當△＞0時把方程兩實根拆成x1=（-b-根號4ac）/2a，x2=（-b+根號4ac）/2a。

如果△=0那么????（13）

說：“△=0，原方程有兩個相等的實根”2秒????（14）

等待1秒????（15）

將原方程的實根設為-b/2a????（16）

說：“連接原方程的實根為和原方程的實根”????（17）

否則????（18）

如果△＞0????（19）

說：“△＞0，原方程有兩個不相等的實根”2秒????（20）

等待1秒????（21）

將x1設為（-b2-4ac）/2a????（22）

將x2設為（-b2+4ac）/2a????（23）

說：“連接連接原方程的實根為x1=x1和x2=和x2”????（24）

否則????（25）

說：“△＜0，原方程無實根”????（26）

????????2、接下來再看看如何讓Scratch實現(xiàn)用直接開平方法接一元二次方程。

當綠旗被點擊

????????和公式法一樣，直接開平方法也是要讓程序知道要執(zhí)行變量a，b，由于等號右邊的數(shù)等于0不是絕對的，∴我們用d來代替它。

詢問請輸入a

將a設為回答

詢問請輸入b

將b設為回答

詢問請輸入d

將d設為回答

????????接下來這部分，與公式法相同于直接開平方法也要判斷a是否大于0，同理開了負數(shù)平方根也會報錯，∴還要判斷d是否為負數(shù)。

如果a=0不成立與d＜0不成立那么

將x1設為（d2-a2）÷b

將x2設為（d2+a2）÷b

說：“連接連接原方程的實根為x1=和x1，x2=和x2”

????????3、為了方便，在實現(xiàn)求根與系數(shù)的關系的時候，先從上面兩種程序中選一個來實現(xiàn)，這樣就不用太多思考了，前提是不能有任何變量顯示NaN（意為數(shù)據(jù)無效）或空著。

當綠旗被點擊

如果x1=0不成立與x2=0不成立那么

將根與系數(shù)的關系1設為-b/a

將根與系數(shù)的關系2設為c/a

說：“連接連接連接根與系數(shù)的關系是x1+x2=和根與系數(shù)的關系1和，和x1x2=根與系數(shù)的關系2”

六、知識擴展

????????除了實數(shù)之外，還有比實數(shù)更大的數(shù)系：復數(shù)系。實數(shù)與虛數(shù)統(tǒng)稱為負數(shù)，虛數(shù)可以理解為不存在的數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，a是實部，b是虛部，形式為a+bi?！遙i表示b與i相乘，且符合實數(shù)中的單項式乘單項式的運算法則，又i2=-1可進一步推出i=±i，∴如果我們把一元二次方程的實數(shù)根看成b的一個整體，那么有一元二次方程的復數(shù)解：[（-b±根號4ac）/2a]i。我們發(fā)現(xiàn)到他恰好比一元二次方程的實數(shù)根多了一個i，∴我們要用Scratch實現(xiàn)求一元二次方程的復數(shù)解的話，只要在（-b±根號4ac）/2a的基礎上再拿出來一個乘法積木，里面填上“-1”就可以了（前提是要有“復數(shù)解”變量、前面有“將“復數(shù)解設為-1”的代碼），另外還要注意-1應該在最里面。