1、響應(yīng)面分析與優(yōu)化設(shè)計

試驗設(shè)計與優(yōu)化方法，都未能給出直觀的圖形，因而也不能憑直覺觀察其最優(yōu)化點，雖然能找出最優(yōu)值，但難以直觀地判別優(yōu)化區(qū)域．為此響應(yīng)面分析法（也稱響應(yīng)曲面法）應(yīng)運而生．響應(yīng)面分析也是一種最優(yōu)化方法，它是將體系的響應(yīng)作為一個或多個因素的函數(shù)，運用圖形技術(shù)將這種函數(shù)關(guān)系顯示出來，以供我們憑借直覺的觀察來選擇試驗設(shè)計中的最優(yōu)化條件．

顯然，要構(gòu)造這樣的響應(yīng)面并進行分析以確定最優(yōu)條件或?qū)ふ易顑?yōu)區(qū)域，首先必須通過大量的測試驗數(shù)據(jù)建立一個合適的數(shù)學模型（建模），然后再用此數(shù)學模型作圖．那么我們來看看響應(yīng)面分析的主要建模方法。

2、響應(yīng)面建模數(shù)學方法

根據(jù)響應(yīng)逼近函數(shù)形式的不同，響應(yīng)面建模方法主要分為多項式回歸法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、Kriging函數(shù)法和徑向基函數(shù)法等，各種方法都有一定的局限性，這兒就先不進行對比了，我們拿多項式回歸逼近的方法來看看其數(shù)學基礎(chǔ)。

3、響應(yīng)面分析的數(shù)學基礎(chǔ)

大家都學過泰勒分析，其思想就是用多項式來擬合任意函數(shù)，比方說自然指數(shù)函數(shù)，我們可以進行如下展開：

如果要求不是很嚴格，我們其實可以只用前幾項來表達，如下圖所示：

可見，對于指數(shù)函數(shù)而言，在[0 1]范圍內(nèi)，多項式取到三次的時候就和真值比較接近了，也就說說我們可以用更容易處理的多項式來擬合函數(shù)。

但是，泰勒展開有一個限制條件，那就是變量只有一個，對于有好幾個變量的該如何處理呢？一個很顯然的結(jié)論是：我們也可以采用和泰勒展開類似的策略，比如我們可以只考慮常數(shù)項和一次項：

其中 y為試驗輸出量，β為系數(shù)， x為輸入變量，ε?為觀測誤差。分析發(fā)現(xiàn)，最大到一次項太粗略，往往和實際值差別較大。實踐證明，最大到二次項一般情況下可以給出較為滿意的答案，即

這種通過一系列多個變量、確定性的“試驗”，來模擬真實極限狀態(tài)曲面的方法稱為響應(yīng)面法，最早是由數(shù)學家Box和Wilson于1951年提出來的。為簡單起見，我們將兩個變量的乘積合并，用一個變量來代替：

寫成更緊湊的形式：

多次觀測后寫成矩陣的形式為：

其中

最小方差為：

當最小方差最小時，顯然擬合曲面和實際值最接近。當L 對β?的偏導數(shù)為零時，最小方差取極小值。

可得：

可以獲得擬合的響應(yīng)面為：

4、舉個栗子

前面我們分析了響應(yīng)面分析的數(shù)學基礎(chǔ)，下面我們來看一個具體的例子，還是子彈發(fā)射，不過增加了難度，現(xiàn)在是移動射擊。假設(shè)我們做了多次試驗，分別記錄了當?shù)貧鈮?airpressure)、空氣溫度(air_temp)、水平發(fā)射角(alpha)、豎直發(fā)射角(beta)、與目標之間的距離(d)，初始速度(v0)以及當?shù)仫L速(wind)，輸出量是子彈在目標附近的坐標?，F(xiàn)在要建立這幾個因素（變量）的響應(yīng)面模型。

先用統(tǒng)計學分析一下，看看各個因素的影響。很明顯，氣壓和溫度的影響因子都比較小，因此不是主要影響因素,，后續(xù)可以忽略；發(fā)射角、初速度影響因子比較高，影響比較大；風速有負向影響，特別是y方向。

也可以通過矩陣圖來看：

當然了，我們最關(guān)心的還是輸入輸出的響應(yīng)面模型，也就是我們要建立一個模型，數(shù)學表達為：

下圖是以水平發(fā)射角(alpha)、豎直發(fā)射角(beta)為橫縱坐標，觀察子彈落點(x,y)。當然我們可以觀察任意變量對輸出的影響。

圖：水平發(fā)射角(alpha)、豎直發(fā)射角(beta)為橫縱坐標，觀察子彈落點x方向坐標

圖：水平發(fā)射角(alpha)、豎直發(fā)射角(beta)為橫縱坐標，觀察子彈落點y方向坐標

5、響應(yīng)面分析的目的

也就是說，如果試驗太貴，仿真太耗時，我們還有一種選擇，就是通過有限次的試驗，再通過響應(yīng)面分析來確定近似的模型，來指導后續(xù)的設(shè)計或者試驗。