個人對于相似變換和叉乘的幾何意義重點做了補充，歡迎交流

線性變換與矩陣

線性變換：原點不動+網(wǎng)格平行且等距分布

（向量本質(zhì)表示基向量的線性組合）

矩陣的第一列就是變換后的i-hat，而第二列就是變換后的j-hat，任何向量在經(jīng)過線性變換后都保持它與i-hat,j-hat原有的數(shù)乘+加法關(guān)系

所以觀察線性變換的本質(zhì)就是看基向量經(jīng)過變換后的位置是哪里（也就是從變換的矩陣列向量中得到）

矩陣乘法，即多次線性變換的疊加，欲得兩個矩陣作用結(jié)果，用右者的每一列（基向量）逐個被左邊的矩陣線性變換，得到那之后的新基向量，由此得到最終矩陣的各個列

行列式與叉積

這里也可以用右手定則去理解，朝自己就是+，朝屏幕里就是-這種

對于二維而言：

矩陣對應(yīng)的行列式determinant(matrix)絕對值表示為線性變換后的圖形面積與原坐標(biāo)系下圖形面積之比（原坐標(biāo)系是標(biāo)準(zhǔn)的i,[1,0],j[0,1]）

三維的方向是由右手定則規(guī)定正方向的，拓展至更高維，本質(zhì)上就是hat之間的方位關(guān)系

變換后空間的維數(shù)-矩陣列

（各個hat的線性集合構(gòu)成的）空間的維數(shù)

零空間：變換后成為零向量的原來一系列向量的集合

行數(shù)是指的放在幾維空間衡量ta（和矩陣的列空間不同哈，矩陣的列空間是指的基向量能張成的空間，維度小于等于所在的空間）

列是指的基向量的個數(shù)

并且列數(shù)也表明了原空間的維度

v在w上投影的長度與w長度之積（正負(fù)表示二者方向）

向量和空間的轉(zhuǎn)換存在一種對偶關(guān)系

和之前基向量的方向定義類似

的叉積公式

矩陣的乘法和向量點乘不是同一回事啊喂

p·變量 = 變量在 p方向的投影與p長度乘積

=det（矩陣） = 變量 在高方向的投影* vw張成的底面面積

那么看到上面的等式，位置一一對應(yīng)，就可知道，v×w = p這個矢量，且p為vw的公垂線，p的長度為底面面積（vw張成的）

（原始筆記，冗長）

由于行列式表示的就是那個平行六面體的體積，假如以v,w構(gòu)成的平行四 邊形為底，那么x,y,z向量對應(yīng)的就是斜邊，而左邊是一個點積的形式，反映的是x,y,z在p上的投影，其實就是平行六面體的高，那么p對應(yīng)的長度也就是其底面積的值，即v×w

整體思路概括：先定義由 [x,y,z]，v，w構(gòu)成的矩陣的行列式 這一個函數(shù)，這個函數(shù)線性->可以考慮為一種（3維到1維）線性變換->對偶性豎起來為p->點積的幾何意義（投影）->結(jié)合行列式幾何意義->p即vw叉積

相似變換

可以直接看這里的理解，很清晰

本質(zhì)上：（該表達(dá)借鑒了機器人學(xué)）

是把B坐標(biāo)系下定義的線性變換（也就是M矩陣），給轉(zhuǎn)換為A坐標(biāo)系下的表達(dá)（相當(dāng)于MB變?yōu)镸A）

看過程：先把P（A坐標(biāo)系）通過線性變換轉(zhuǎn)為P（B坐標(biāo)系），然后施加MB這個期望的線性變換，再用逆線性變換轉(zhuǎn)為P（A坐標(biāo)系）

（舊有的冗余筆記）

（我們討論的所有基向量坐標(biāo)都是基于1*1方格來說的）線性變換矩陣的列是變換后的基向量坐標(biāo)，而被乘的向量，就是“被誤解的”原坐標(biāo)系下向量

基變換另一種理解：線性變換前后向量在不同基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是不變的，那么向量p從A坐標(biāo)系變換到B坐標(biāo)系，想用A描述B下p的坐標(biāo)，那就用A->B的變換矩陣作用于p（在B下）的坐標(biāo)

用“誤解”解釋更說得通

分解步驟理解“變換描述者”的語言

A^-1 M A轉(zhuǎn)移作用，M表示上帝視角的線性變換，A是用來切換描述基的

先變換描述基，將別人的向量坐標(biāo)用自己的坐標(biāo)系描述，再在自己的描述下進(jìn)行線性變換，再用前面加粗體的逆變換重新用別人的坐標(biāo)系表示

特征向量即在線性變換后保持仍在其原方向（所在直線）上的向量

特征值就是它變換后的長度與之前之比（含方向）

如果只是把v向量延長λ倍，那其實等效于其所有hat都伸長為λ倍，以此獲得矩陣λE（單位矩陣）

特征方程含義：將非零向量（即特征向量）壓縮為零向量

不滿秩->行列式為0->就可以得到λ

對于對角陣而言，特征向量就是每一列的基向量(自身在縮放)，特征值為對角元素值

（這里表達(dá)仍然借鑒了機器人學(xué)）

比如，要求MA的n次冪，那么可以用相似改變這個M的描述坐標(biāo)系為B，而這個MB正好是對角陣（因為R的列向量正好為它的特征向量，對角陣很好求n次冪）

那么再左右都作n次冪，右邊有矩陣*其逆抵消，最后就可以得到下面的結(jié)果，對角陣MB的n次冪就直接讓里面每個數(shù)n次方即可，那么再做一次相似變換回去就得到MA的n次冪

（下面為舊的筆記）

（1）使用A-1MA這種轉(zhuǎn)移作用，其中M是由A坐標(biāo)系下的特征向量組成（此時此特征向量不一定是基向量，而這種操作也意味著將特征向量作為新基），那么得到的就是一個對角陣，利用對角陣做n次冪十分方便

（2）當(dāng)然得保證特征向量能張成全空間，才可以使得矩陣對角化實現(xiàn)

保持加法&數(shù)乘運算

行列式可以理解為這個矩陣中列向量張成的area的廣義體積（二維就是面積）

u = 【x，y】

u --A--> v

i_hat（【1，0】） --A--> i'_hat（A的首列）

j_hat（【0，1】） --A--> j'_hat（A的第二列）

如果要求Au = v的y，可以先求i_hat和u張成的面積，即為y，再看作用A變換之后的面積，（分母），即為A的i'_hat（首列），與v構(gòu)成的面積，（分子），那y就得到了，x同理，高維同理

不改變點積->應(yīng)用于解方程->變換前后與基向量的點積結(jié)果分別保持一致

Ax=v中|A| = 0的解釋：

因為A行列式為0，那意味著降維，也就是基向量至少有2個互相成比例關(guān)系，表達(dá)維度之外的量v無法被表達(dá)，之內(nèi)的就可能存在有至少一個向量會沒用（因為與ta成比例的那個可以干他的活）

這里是相似變換！