今天先把同濟教材上面二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)四個定理的證明解決，然后繼續(xù)彈性部分的內(nèi)容。

part 1 同濟《高等數(shù)學(xué)》常微分方程部分

二階線性微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x）的微分方程。

——二階線性微分方程又分為兩種——

齊次方程——f（x）恒為0；

非齊次方程——f（x）不恒為0。

注意：

1. 這里的齊次方程不要和之前的齊次方程混淆，是兩個完全不同概念；

2. 方法依然是常數(shù)變易法，但是二階方程涉及到通解個數(shù)的問題，所以要先討論解的結(jié)構(gòu)：即解空間的內(nèi)容。

我們說過，解的結(jié)構(gòu)，涉及四個定理，我們聊過第一個的證明——

定理一：如果函數(shù)y1（x）與y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的兩個解，那么y*=C1y1（x）+C2y2（x）也是該方程的解，其中C1與C2是任意常數(shù)。

證明：已知函數(shù)y1（x）與y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的兩個解，即——

y1"+P（x）y1'+Q（x）y1=0；y2"+P（x）y2'+Q（x）y2=0；

由y*=C1y1（x）+C2y2（x），有y*"+P（x）y*'+Q（x）y*=[C1y1（x）+C2y2（x）]"+P（x）[C1y1（x）+C2y2（x）]'+Q（x）[C1y1（x）+C2y2（x）]=C1[y1"+P（x）y1'+Q（x）y1]+C2[y2"+P（x）y2'+Q（x）y2]=0，即y*也是該方程的解，證畢。

定理二：同濟書上沒給證明我們暫時不聊，之后會在《常微分方程》內(nèi)容中詳談。

定理三：設(shè)y*（x）是二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一個特解，Y(x)是該方程對應(yīng)的齊次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二階非齊次線性微分方程的通解。

證明：將y=Y（x）+y*（x）代入方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）——

[Y（x）+y*（x）]"+P（x）[Y（x）+y*（x）]'+Q（x）[Y（x）+y*（x）]=[y*"+P（x）y*'+Q（x）y*]+[Y"+P（x）Y'+Q（x）Y]=f（x）+0=f（x），即y是非齊次線性方程的解；

又Y作為齊次方程的通解，所以含有兩個任意常數(shù)，所以y里面也含有兩個任意常數(shù)，即y為原二階非齊次線性微分方程的通解。

定理四：設(shè)二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）中，f（x）是兩個函數(shù)之和，即y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）+f2（x），而y*1（x）與y*2（x）分別是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）與y"+P（x）y'+Q（x）y=f2（x）的特解，那么y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解——線性微分方程的疊加原理。

證明：將y=y*1（x）+y*2（x）代入原方程左端y"+P（x）y'+Q（x）y——

y"+P（x）y'+Q（x）y=[y*1（x）+y*2（x）]"+P（x）[y*1（x）+y*2（x）]'+Q（x）[y*1（x）+y*2（x）]=[y*1（x）"+P（x）y*1（x）'+Q（x）y*1（x）]+[y*2（x）"+P（x）y*2（x）'+Q（x）y*2（x）]=f1（x）+f2（x）=f（x），即y*1（x）+y*2（x）為原方程一個特解。

這就是同濟書上，對二階線性常微分方程的解的結(jié)構(gòu)的四條定理的相關(guān)內(nèi)容。

part 2?經(jīng)濟學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟學(xué)》第二章第五節(jié)：彈性——

第五節(jié)引入彈性的概念——

彈性——一般來說，只要兩個經(jīng)濟變量之間存在函數(shù)關(guān)系，我們就可用彈性來表示因變量對自變量變化的反應(yīng)敏感程度。

彈性一般公式——彈性系數(shù)=因變量的變動比例/自變量的變動比例。

弧彈性公式——e=（ΔY/ΔX）（X/Y）——e：彈性系數(shù)，ΔX、ΔY變量X、Y的變動值。

點彈性公式——ΔX趨于0時，e=lim?（ΔY/ΔX）（X/Y）=（dY/dX）（X/Y）——極限值。

供給的價格點彈性的幾何意義——

A.線性供給函數(shù)——即圖像為一條直線

1. 若線性供給曲線的延長線與坐標橫軸的交點位于坐標原點的左邊，則該供給曲線上任何一點的彈性都是大于1的；

2. 若線性供給曲線與坐標橫軸的交點位于坐標原點的右邊，則該供給曲線上任何一點的彈性都是小于1的；

3. 若交點恰好就是坐標原點，則該供給曲線上任何一點的彈性均為1；

4. 水平的供給曲線，曲線上所有的點彈性均為無窮大；

5. 垂直的供給曲線，曲線上所有的點彈性均為0。

B.非線性供給函數(shù)——圖像為曲線——可以先過所求點作供給曲線的切線，其后的過程推導(dǎo)與線性供給曲線是相同的。

影響供給價格彈性的因素——

1. 時間：最重要因素——當商品的價格發(fā)生變化時，廠商對產(chǎn)量的調(diào)整需要一定的時間——

   a.在很短的時間內(nèi)，廠商若要根據(jù)商品漲價及時地增加產(chǎn)量，或者根據(jù)商品的降價及時地縮減產(chǎn)量，都存在不同程度的困難，相應(yīng)地，供給的價格彈性是比較小的；

   b.在長期內(nèi)，生產(chǎn)規(guī)模的擴大與縮小，甚至轉(zhuǎn)產(chǎn)，都是可以實現(xiàn)的，供給量可以對價格變動做出較充分的反應(yīng)，供給的價格彈性也就比較大了。

2. 生產(chǎn)成本隨產(chǎn)量變化而變化的情況——

   a.如果產(chǎn)量增加只引起邊際成本的輕微的提高，則意味著廠商的供給曲線比較平坦，供給的價格彈性可能比較大；——產(chǎn)量增加，成本不增，擴大生產(chǎn)容易；

   b.如果產(chǎn)量增加引起的邊際成本的較大的提高，則意味著廠商的供給曲線比較陡峭，供給的價格彈性可能比較小?！a(chǎn)量增加，成本增加，擴大生產(chǎn)難。

3. 產(chǎn)品的生產(chǎn)周期大小——

   a.在一定的時期內(nèi)，對于生產(chǎn)周期較短的產(chǎn)品，廠商可以根據(jù)市場價格的變化較及時地調(diào)整產(chǎn)量，供給的價格彈性相應(yīng)就比較大；

   b.生產(chǎn)周期較長的產(chǎn)品的供給的價格彈性就往往較小。

明天休息！