一、整體難度：比較簡(jiǎn)單，本節(jié)參數(shù)方程法直接套公式、利用對(duì)稱性分析圖像即可。

二、需要掌握的內(nèi)容

1、第一型曲線積分和第二型曲線積分區(qū)別？

（1）積分對(duì)象不同

第一型曲線積分是對(duì)弧長(zhǎng)積分，對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的積分元素是弧長(zhǎng)元素；

第二型曲線積分是對(duì)坐標(biāo)（有向弧長(zhǎng)在坐標(biāo)軸的投影）積分，對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分的積分元素是坐標(biāo)元素。

（2）應(yīng)用場(chǎng)合不同

第一型曲線積分求非密度均勻的線狀物體質(zhì)量等問(wèn)題，

第二型曲線積分解決做功類等問(wèn)題。

（3）方向不同

第一型曲線積分，都是和方向無(wú)關(guān)的，對(duì)標(biāo)量的積分。

第二型曲線積分，都是和方向有關(guān)的，對(duì)某種意義上的矢量的積分。

2、兩個(gè)涉及sinx、cosx非常重要的積分公式及證明

積分公式一：

積分公式二：

3、第一型與第二型曲線積分的計(jì)算公式？

①要熟悉直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、參數(shù)方程系的計(jì)算公式；

平面：

空間：

②對(duì)于參數(shù)方程中，對(duì)于常見(jiàn)的圓（參考題7）、橢圓（參考題1）的參數(shù)方程要會(huì)寫；

③熟悉Green公式（題7）

三、具體題目

這里要區(qū)分第一型和第二型曲線積分，

題2和題7是第二型曲線積分，

其余題目都是第一型曲線積分。

區(qū)分這一點(diǎn)很重要，可以通過(guò)弧長(zhǎng)微分ds判斷這是第一型曲線積分。

（一）第一型曲線積分

題1（暨南大學(xué)）

套公式，觀察L，發(fā)現(xiàn)要會(huì)寫橢圓的參數(shù)方程，還要算x和y的導(dǎo)數(shù)的平方和，然后算積分即可（算積分可能會(huì)利用湊微分，盡量讓變量數(shù)減少來(lái)做）

題3（廣西大學(xué)）

仍然是直接套參數(shù)方程的公式，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)來(lái)做.

注意：化為極坐標(biāo)之后由于是θ的求積分，所以得把r再化成θ的表達(dá)式來(lái)做，這一點(diǎn)很重要，最后的積分絕對(duì)值分兩段來(lái)做。

題4（華中師范）

充分利用對(duì)稱性將被積函數(shù)簡(jiǎn)化，利用輪換對(duì)稱性，對(duì)這個(gè)曲線的方程式選擇適當(dāng)?shù)淖兞縼?lái)做極坐標(biāo)變換。算積分可能涉及到一個(gè)重要的積分公式（如果會(huì)這個(gè)公式（見(jiàn)本節(jié)二、2“一個(gè)重要的積分公式”），可以簡(jiǎn)單些；如果不會(huì)做，也可以湊微分做）

題5（上海大學(xué)）

就是利用輪換對(duì)稱性，在利用題干條件，算一下曲線積分即可（圓的周長(zhǎng)公式C=2πr=πd,d為直徑）

題6（東北師范）

由于題干已經(jīng)給了參數(shù)方程和范圍，所以直接套公式就可以了，很好算的。

（二）第二型曲線積分

題2（四川大學(xué)）

法一：聯(lián)立方程求出交線后，寫出單位法向量，利用一下Stokes公式，發(fā)現(xiàn)為0

法二：分兩段做。

第一段：聯(lián)立方程求出交線后，發(fā)現(xiàn)z=1/2,則dz=0，化簡(jiǎn)被積函數(shù)；

第二段：由于L關(guān)于xz坐標(biāo)平面對(duì)稱，且對(duì)稱點(diǎn)處被積函數(shù)x+z取值相同，但dx符號(hào)相反，所以（x+z）dx的積分值為0.

最后二者相加，積分值為0

（注：這里由于是第二型曲線積分，積分是涉及方向的！?。?/strong>

題7（吉林大學(xué)）

法一：先畫圖來(lái)看，L分成L1+L2,一段是半圓周，一段是直線，分別算，半圓周利用到圓的參數(shù)方程（這個(gè)要會(huì)），θ范圍要寫對(duì).

注意這里題目是xydx，而不是xyds，所以寫參數(shù)方程后，dx=d(a+acosθ）=-asinθdθ?。。?span id="s0sssss00s" class="color-pink-02 font-size-20">而不是向弧長(zhǎng)微分那樣用x和y的導(dǎo)數(shù)平方和做，這一點(diǎn)很重要?。?！

法二：先畫圖，利用Green公式，確定D的范圍（即r和θ范圍），算二重積分即可。

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