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最近，copula 在仿真模型中變得流行起來(lái)。Copulas 是描述變量之間依賴關(guān)系的函數(shù)，并提供了一種創(chuàng)建分布以對(duì)相關(guān)多元數(shù)據(jù)建模的方法

使用 copula，數(shù)據(jù)分析師可以通過(guò)指定邊緣單變量分布并選擇特定的 copula 來(lái)提供變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)建多變量分布。雙變量分布以及更高維度的分布都是可能的。?

此示例說(shuō)明如何在變量之間存在復(fù)雜關(guān)系或單個(gè)變量來(lái)自不同分布時(shí)使用 copula 從多元分布生成數(shù)據(jù)。

算法

默認(rèn)情況下，fit?使用最大似然將 copula 擬合到?u。當(dāng)?u?包含通過(guò)邊緣累積分布函數(shù)的參數(shù)估計(jì)轉(zhuǎn)換為單位超立方體的數(shù)據(jù)時(shí)，這稱為邊緣_推斷函數(shù) (IFM)_?方法。

輸入?yún)?shù)

Copula 值矩陣

Copula 值，指定為范圍 (0,1) 內(nèi)的標(biāo)量值矩陣。如果?u?是?n?×?p?矩陣，則其值表示?p_維單位超立方體?中的_n_個(gè)點(diǎn)?。如果??是?_n?×2 矩陣，則其值表示??單位正方形中的_n_個(gè)點(diǎn)。u

如果指定二元阿基米德 copula 類型（'Clayton'、??'Frank'、 或?'Gumbel'），則?u?必須是?n?×2 矩陣。

二元阿基米德 copula 族

'Clayton'?|?'Frank'?|?'Gumbel'

二元 copula 族，指定為以下之一。

``

'Clayton'Clayton?copula'Frank'Frank?copula'Gumbel'Gumbel copula

置信區(qū)間的顯著性水平

置信區(qū)間的顯著性水平，指定為逗號(hào)分隔的對(duì)，由'Alpha'?范圍 (0,1) 中的和 標(biāo)量值組成?。?fit?返回大約 100 × (1–Alpha)% 的置信區(qū)間。

擬合_t_ ?copula 的方法?

擬合_t_ ?copula 的方法?，指定為逗號(hào)分隔的對(duì)組，由'Method'?和?'ML'?或?組成?'ApproximateML'。

如果指定?'ApproximateML'，則??通過(guò)最大化一個(gè)近似于自由度參數(shù)的剖面對(duì)數(shù)似然的目標(biāo)函數(shù)來(lái)copulafit?擬合大樣本的?t?copula?. 此方法可能比最大似然 (?'ML')快得多，但對(duì)于小到中等樣本量，估計(jì)值和置信限可能不準(zhǔn)確。

輸出參數(shù)

擬合高斯 copula矩陣的估計(jì)相關(guān)參數(shù)

擬合高斯 copula 的估計(jì)相關(guān)參數(shù)，以標(biāo)量值矩陣形式返回。

擬合_t_ ?copula

估計(jì)自由度參數(shù)?

擬合_t_ ?copula 的估計(jì)自由度參數(shù)，?以標(biāo)量值形式返回。

自由度參數(shù)

近似置信區(qū)間

自由度參數(shù)的近似置信區(qū)間，以 1×2 標(biāo)量值矩陣形式返回。第一列包含下邊界，第二列包含上邊界。默認(rèn)情況下，?fit?返回大約 95% 的置信區(qū)間。您可以使用'Alpha'?名稱-值對(duì)指定不同的置信區(qū)間?。

擬合的阿基米德 copula

估計(jì) copula 參數(shù)

擬合的阿基米德 copula 的估計(jì) copula 參數(shù)，以標(biāo)量值形式返回。

copula 參數(shù)

近似置信區(qū)間

copula 參數(shù)的近似置信區(qū)間，以 1×2 標(biāo)量值矩陣形式返回。第一列包含下邊界，第二列包含上邊界。默認(rèn)情況下，?fit?返回大約 95% 的置信區(qū)間?？梢允褂?code>'Alpha'?名稱-值對(duì)指定不同的置信區(qū)間?。

例子

將_t_ ?Copula擬合到股票收益數(shù)據(jù)

加載并繪制模擬股票收益數(shù)據(jù)。

hist(x,y)

使用累積分布函數(shù)的核估計(jì)器將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為 copula 。

density(x,x,'fuctin','cdf');hist(u,v)

將_t_ ?copula擬合?到數(shù)據(jù)中。

rng?default??%?方便重現(xiàn)fit('t',[u?v]'ppomaeML')

從_t_ ?copula生成隨機(jī)樣本?。

rnd('t',Rho,nu,1000);scatrhst(u1,v1)

將隨機(jī)樣本變換回?cái)?shù)據(jù)的原始量綱。

figure;scterhst(x1,y1)

使用 Copulas 模擬相關(guān)隨機(jī)變量

在此示例中，我們將討論如何使用 copula 生成相關(guān)多元隨機(jī)數(shù)據(jù)。

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R語(yǔ)言中的copula GARCH模型擬合時(shí)間序列并模擬分析

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01

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仿真輸入之間的相關(guān)性

Monte-Carlo 模擬的設(shè)計(jì)決策之一是選擇隨機(jī)輸入的概率分布。為每個(gè)單獨(dú)的變量選擇分布通常很簡(jiǎn)單，但決定輸入之間應(yīng)該存在什么依賴關(guān)系可能不是。理想情況下，模擬的輸入數(shù)據(jù)應(yīng)反映所建模的實(shí)際數(shù)量之間的相關(guān)性的已知信息。但是，在模擬中可能沒有或幾乎沒有信息可用于建立任何依賴關(guān)系，在這種情況下，最好嘗試不同的可能性，以確定模型的敏感性。

然而，當(dāng)隨機(jī)輸入的分布不是標(biāo)準(zhǔn)多元分布時(shí)，可能很難實(shí)際生成具有相關(guān)性的隨機(jī)輸入。此外，一些標(biāo)準(zhǔn)的多元分布只能模擬非常有限的依賴類型?？偸强梢允馆斎氇?dú)立，雖然這是一個(gè)簡(jiǎn)單的選擇，但并不總是明智的，可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。

例如，金融風(fēng)險(xiǎn)的蒙特卡羅模擬可能具有代表不同保險(xiǎn)損失來(lái)源的隨機(jī)輸入。這些輸入可能被建模為對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量。一個(gè)合理的問(wèn)題是這兩個(gè)輸入之間的依賴性如何影響模擬結(jié)果。事實(shí)上，從真實(shí)數(shù)據(jù)中可以知道相同的隨機(jī)條件會(huì)影響兩個(gè)來(lái)源，而在模擬中忽略這一點(diǎn)可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。

獨(dú)立對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量的模擬是微不足道的。最簡(jiǎn)單的方法是使用lognrnd函數(shù)。在這里，我們將使用該mvnrnd函數(shù)生成 n 對(duì)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，然后對(duì)它們?nèi)?。注意這里使用的協(xié)方差矩陣是對(duì)角的，即Z的列之間的獨(dú)立性。

Sgand?=?siga.^2?.*?[1?0;?0?1]Ind?=?mvrn([0?0],?Simand,?n);XIn?=?exp(ZId);

使用具有非零非對(duì)角項(xiàng)的協(xié)方差矩陣也很容易生成相關(guān)的雙變量對(duì)數(shù)正態(tài) rv。

Simep?=?sga.^2?.*?[1?rho;?rho?1]

mvnrnd([0?0],?Siaep,?n);

第二個(gè)散點(diǎn)圖說(shuō)明了這兩個(gè)二元分布之間的差異。

plot(XDp,'.');axis?equal;

很明顯，在第二個(gè)數(shù)據(jù)集中，X1 的大值與 X2 的大值相關(guān)聯(lián)的趨勢(shì)更大，對(duì)于小值也是如此。這種依賴性由基礎(chǔ)雙變量正態(tài)的相關(guān)參數(shù) rho 確定。從模擬中得出的結(jié)論很可能取決于 X1 和 X2 是否具有相關(guān)性。

在這種情況下，二元對(duì)數(shù)正態(tài)分布是一個(gè)簡(jiǎn)單的解決方案，當(dāng)然很容易推廣到更高維度和邊緣分布是?不同?對(duì)數(shù)正態(tài)的情況。還存在其他多元分布，例如，多元 t 和 Dirichlet 分布分別用于模擬相關(guān)的 t 和 beta 隨機(jī)變量。但是簡(jiǎn)單的多元分布的列表并不長(zhǎng)，它們僅適用于邊緣都在同一族（甚至完全相同的分布）中的情況。在許多情況下，這可能是一個(gè)真正的限制。

構(gòu)建相依雙變量分布的更通用方法

盡管創(chuàng)建二元對(duì)數(shù)正態(tài)的上述構(gòu)造很簡(jiǎn)單，但它用于說(shuō)明更普遍適用的方法。首先，我們從二元正態(tài)分布生成值對(duì)。這兩個(gè)變量之間存在統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，且均具有正態(tài)邊緣分布。接下來(lái)，對(duì)每個(gè)變量分別應(yīng)用轉(zhuǎn)換（指數(shù)函數(shù)），將邊緣分布更改為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。轉(zhuǎn)換后的變量仍然具有統(tǒng)計(jì)相關(guān)性。

如果可以找到合適的轉(zhuǎn)換，則可以推廣此方法以創(chuàng)建具有其他邊緣分布的相關(guān)雙變量隨機(jī)向量。事實(shí)上，確實(shí)存在構(gòu)造這種變換的通用方法，盡管不像取冪那么簡(jiǎn)單。

根據(jù)定義，將正態(tài) CDF（此處由 PHI 表示）應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量會(huì)導(dǎo)致在區(qū)間 [0, 1] 上均勻的 rv。要看到這一點(diǎn)，如果 Z 具有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 U = PHI(Z) 的 CDF 為

??Pr{U?<=?u0}?=?Pr{PHI(Z)?<=?u0}?=?Pr{Z?<=?PHI^(-1)(u0)}?=?u0，

這是一些模擬的正常值和轉(zhuǎn)換值的 U(0,1) rv 直方圖的 CDF 證明了這一事實(shí)。

hist(z);

u?=?normcdf(z);

現(xiàn)在，借用單變量隨機(jī)數(shù)生成理論，將任何分布 F 的逆 CDF 應(yīng)用于 U(0,1) 隨機(jī)變量會(huì)產(chǎn)生一個(gè) rv，其分布正好是 F。這被稱為反演方法。該證明本質(zhì)上與上述前向情況的證明相反。另一個(gè)直方圖說(shuō)明了向伽馬分布的轉(zhuǎn)換。

gaminv(u,2,1);

這種兩步變換可以應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)雙變量正態(tài)的每個(gè)變量，創(chuàng)建具有任意邊緣分布的相關(guān) rv。因?yàn)檗D(zhuǎn)換分別作用于每個(gè)成分，所以兩個(gè)結(jié)果 rv 甚至不需要具有相同的邊緣分布。變換定義為

??Z?=?[Z1?Z2]?~?N([0?0],[1?rho;?rho?1]) ??U?=?[PHI(Z1)?PHI(Z2)]??X?=?[G1(U1)?G2(U2)]

其中 G1 和 G2 是兩個(gè)可能不同分布的逆 CDF。例如，我們可以從具有 t(5) 和 Gamma(2,1) 邊緣的二元分布生成隨機(jī)向量。

?nocf(Z);?[gav(U(:,1),2,1)?tin(U(:,2),5)];

該圖在散點(diǎn)圖旁邊有直方圖，以顯示邊緣分布和相關(guān)性。

hist(X);plot(X,'.');bar(ct1,-1,1);

等級(jí)相關(guān)系數(shù)

此構(gòu)造中 X1 和 X2 之間的相關(guān)性由基礎(chǔ)雙變量正態(tài)的相關(guān)參數(shù) rho 確定。但是， X1 和 X2 的線性相關(guān)性是 rho是?_不_正確的。例如，在原始對(duì)數(shù)正態(tài)情況下，該相關(guān)有一個(gè)形式：

??cor(X1,X2)?=?(exp(rho.*sigma.^2)?-?1)?./?(exp(sigma.^2)?-?1)

除非 rho 恰好是 1，否則它嚴(yán)格小于 rho。但是，在更一般的情況下，例如上面的 Gamma/t 構(gòu)造，X1 和 X2 之間的線性相關(guān)性很難或不可能用 rho 表示，但可以使用模擬來(lái)表明發(fā)生了相同的效果。

那是因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)表示 rv 之間的?_線性_相關(guān)性，并且當(dāng)對(duì)這些 rv 應(yīng)用非線性變換時(shí)，不會(huì)保留線性相關(guān)性。相反，秩相關(guān)系數(shù)（例如 Kendall's tau 或 Spearman's rho）更合適。

粗略地說(shuō)，這些等級(jí)相關(guān)性衡量一個(gè) rv 的大值或小值與另一個(gè) rv 的大值或小值相關(guān)聯(lián)的程度。然而，與線性相關(guān)系數(shù)不同，它們僅根據(jù)等級(jí)來(lái)衡量關(guān)聯(lián)。因此，在任何單調(diào)變換下都保留了等級(jí)相關(guān)性。特別是，剛剛描述的變換方法保留了等級(jí)相關(guān)性。因此，知道雙變量正態(tài) Z 的秩相關(guān)準(zhǔn)確地確定了最終變換后的 rv 的 X 的秩相關(guān)。雖然仍然需要 rho 來(lái)參數(shù)化潛在的雙變量正態(tài)，但 Kendall 的 tau 或 Spearman 的 rho 在描述 rv 之間的相關(guān)性時(shí)更有用，因?yàn)樗鼈儗?duì)于邊緣分布的選擇是不變的。

事實(shí)證明，對(duì)于二元正態(tài)分布，Kendall's tau 或 Spearman's rho 與線性相關(guān)系數(shù) rho 之間存在簡(jiǎn)單的 1-1 映射：

??tau?=?(2/pi)*arcsin?(rho)?或?rho?=?sin?(tau*pi/2) ??rho_s?=?(6/pi)*arcsin(rho/2)?或?rho?=?2*sin(rho_s*pi/6) ``````subplot(1,1,1);plot(rho,ta);

因此，通過(guò)為 Z1 和 Z2 之間的線性相關(guān)選擇正確的 rho 參數(shù)值，很容易在 X1 和 X2 之間創(chuàng)建所需的秩相關(guān)，而不管它們的邊緣分布如何。

請(qǐng)注意，對(duì)于多元正態(tài)分布，Spearman 的秩相關(guān)幾乎與線性相關(guān)相同。然而，一旦我們轉(zhuǎn)換為最終的隨機(jī)變量，情況就不是這樣了。

copula

上述構(gòu)造的第一步定義了所謂的 copula，特別是高斯 copula。雙變量 copula 只是兩個(gè)隨機(jī)變量的概率分布，每個(gè)變量的邊緣分布都是均勻的。這兩個(gè)變量可能是完全獨(dú)立的、確定性相關(guān)的（例如，U2 = U1），或者介于兩者之間。二元高斯 copulas 族由 Rho = [1 rho; rho 1]，線性相關(guān)矩陣。當(dāng) rho 接近 +/- 1 時(shí)，U1 和 U2 接近線性相關(guān)，當(dāng) rho 接近零時(shí)接近完全獨(dú)立。

不同水平 rho 的一些模擬隨機(jī)值的散點(diǎn)圖說(shuō)明了高斯 copula 的不同可能性范圍：

U?=?nrf(Z,0,1);plt(U,'.');Z?=?vrd([0?0],?n);U?=?ncf(Z,0,1);plt(U,'.');Z?=?mnd([0?0],?n);U?=?nrcf(Z,0,1);plt(U,'.');Z?=?mrd([0?0],?n);U?=?nocdf(Z,0,1);plt(U,'.');

U1 和 U2 之間的相關(guān)性與 X1 = G(U1) 和 X2 = G(U2) 的邊緣分布完全分開。X1 和 X2 可以被賦予?任何?邊緣分布，并且仍然具有相同的秩相關(guān)。這是 copula 的主要吸引力之一——它們?cè)试S對(duì)依賴性和邊緣分布進(jìn)行這種單獨(dú)的規(guī)范。

t Copulas

可以通過(guò)從二元 t 分布開始并使用相應(yīng)的 t CDF 進(jìn)行轉(zhuǎn)換來(lái)構(gòu)建不同的 copula 族。二元 t 分布使用 Rho（線性相關(guān)矩陣）和 nu（自由度）進(jìn)行參數(shù)化。因此，例如，我們可以說(shuō) at(1) 或 at(5) copula，分別基于具有 1 個(gè)和 5 個(gè)自由度的多元變量 t。

不同水平 rho 的一些模擬隨機(jī)值的散點(diǎn)圖說(shuō)明了 t(1) copulas 的不同可能性范圍：

T?=?mvd(,?nu,?n);U?=?tcf(T,nu);plot(U);T?=?mvtn(?nu,?n);plot(U);

t copula 對(duì) U1 和 U2 具有均勻的邊緣分布，就像高斯 copula 一樣。at copula 中成分之間的秩相關(guān) tau 或 rho_s 也是與高斯函數(shù)相同的 rho 函數(shù)。然而，正如這些圖所示，at(1) copula 與高斯 copula 有很大不同，即使它們的成分具有相同的等級(jí)相關(guān)性。不同之處在于它們的依賴結(jié)構(gòu)。毫不奇怪，隨著自由度參數(shù) nu 變大，at(nu) copula 接近相應(yīng)的高斯 copula。

與高斯 copula 一樣，可以在 copula 上施加任何邊緣分布。例如，使用具有 1 個(gè)自由度的 copula，我們可以再次從具有 Gam(2,1) 和 t(5) 邊緣的二元分布生成隨機(jī)向量：

[n1,cr]?=?hist(X(:,1);[n2,c2]?=?hist(X(:,2));plot(X,'.');h1?=?gca;

與之前構(gòu)建的基于高斯 copula 的雙變量 Gamma/t 分布相比，這里基于 at(1) copula 構(gòu)建的分布具有相同的邊緣分布和相同的變量之間的秩相關(guān)，但依賴性卻大不相同結(jié)構(gòu)體。這說(shuō)明了一個(gè)事實(shí)，即多元分布并不是由它們的邊緣分布或它們的相關(guān)性唯一定義的。應(yīng)用程序中特定 copula 的選擇可能基于實(shí)際觀察到的數(shù)據(jù)，或者可以使用不同的 copula 來(lái)確定模擬結(jié)果對(duì)輸入分布的敏感性。

高維 Copulas

Gaussian 和 t copula 被稱為橢圓 copula。很容易將橢圓 copula 推廣到更多維度。例如，我們可以使用 Gaussian copula 模擬來(lái)自具有 Gamma(2,1)、Beta(2,2) 和 t(5) 邊緣的三變量分布的數(shù)據(jù)，如下所示。

X?=?[gaminv?betainv?tinv(U)];plot3(X,'.');

請(qǐng)注意，線性相關(guān)參數(shù) rho 與例如 Kendall tau 之間的關(guān)系對(duì)于此處使用的相關(guān)矩陣 Rho 中的每個(gè)條目都成立。我們可以驗(yàn)證數(shù)據(jù)的樣本秩相關(guān)近似等于理論值。

?corr(X,?'type','Kendall')

Copulas 和經(jīng)驗(yàn)邊緣分布

為了使用 copula 模擬相關(guān)的多元數(shù)據(jù)，我們已經(jīng)看到我們需要指定

??1)?copula?族（和任何形狀參數(shù)）， ??2)?變量之間的秩相關(guān)，以及 ??3)?每個(gè)變量的邊緣分布

假設(shè)我們有兩組股票收益數(shù)據(jù)，我們想運(yùn)行蒙特卡羅模擬，輸入與我們的數(shù)據(jù)遵循相同的分布。

size(sos,1);hist(stos(:,1),10);

（這兩個(gè)數(shù)據(jù)向量具有相同的長(zhǎng)度，但這并不重要。）

我們可以為每個(gè)數(shù)據(jù)集分別擬合一個(gè)參數(shù)模型，并將這些估計(jì)值用作我們的邊緣分布。但是，參數(shù)模型可能不夠靈活。相反，我們可以對(duì)邊緣分布使用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。我們只需要一種方法來(lái)計(jì)算逆 CDF。

這些數(shù)據(jù)集的經(jīng)驗(yàn)?zāi)?CDF 只是一個(gè)階梯函數(shù)，步長(zhǎng)為 1/nobs、2/nobs、... 1。步長(zhǎng)只是排序后的數(shù)據(jù)。

stairs(inCF1);

對(duì)于模擬，我們可能想要嘗試不同的聯(lián)結(jié)和相關(guān)性。在這里，我們將使用具有相當(dāng)大的負(fù)相關(guān)參數(shù)的二元 t(5) copula。

tcdf(T,nu);[inCDF1?inCDF2];plot(X(:,1),X(:,2),'.');

模擬數(shù)據(jù)的邊緣直方圖與原始數(shù)據(jù)的邊緣直方圖非常匹配，并且隨著我們模擬更多對(duì)值而變得相同。請(qǐng)注意，這些值是從原始數(shù)據(jù)中提取的，并且由于每個(gè)數(shù)據(jù)集中只有 100 個(gè)觀測(cè)值，因此模擬數(shù)據(jù)有些“離散”?？朔藛?wèn)題的一種方法是向最終模擬值添加少量隨機(jī)變化（可能為正態(tài)分布）。這等效于使用經(jīng)驗(yàn)?zāi)?CDF 的平滑版本。

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