注: 其實(shí)我也沒(méi)真的學(xué)過(guò)函數(shù)空間, 所以接下來(lái)的內(nèi)容只是稍微自己總結(jié)的東西而已, 不能保證100%正確

什么是空間

空間即為點(diǎn)的集合

在空間里? 原點(diǎn), 基? 這兩個(gè)東西最重要.? ?原點(diǎn)就是坐標(biāo)完全為0的一個(gè)點(diǎn),? ?基為定義這個(gè)空間最基礎(chǔ)的"方向"

以大家熟悉的二維平面直角坐標(biāo)系為例

O就是原點(diǎn),? 而 i, j 就是這個(gè)空間的兩個(gè)基

而在空間中任意一點(diǎn)P都可以表達(dá)為以下形式

特別地, 應(yīng)該有:?

所有可能的權(quán)重?a, b 代入上述關(guān)系式中會(huì)得到一個(gè)關(guān)于ab的點(diǎn)集{P_ab}

***? 所有可能的數(shù)字并不代表是全體實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù),? 而是結(jié)合實(shí)際情況得出的一個(gè)范圍? ***

則這個(gè)點(diǎn)集{P}就稱為基 i,j 張成的空間

當(dāng)然, 在二維平面直角坐標(biāo)系中, 兩個(gè)基必須保持垂直, 但實(shí)際上兩個(gè)基是沒(méi)有必要正交的, 甚至沒(méi)有必要長(zhǎng)度為1

這個(gè)樣子的基也完全可以張成一個(gè)二維空間, 而且空間內(nèi)的點(diǎn)同樣也會(huì)滿足上述關(guān)系式

這里有一種特例:? 當(dāng)i和j平行的話, 就只能張成一維空間,? 所以一般來(lái)說(shuō)并不會(huì)討論基平行的情況? (因?yàn)檫@里不是線性代數(shù)的課程= =)

同理可以應(yīng)用到很多很多維的空間內(nèi)

假設(shè)有n個(gè)互不平行的基 {φ_n},? 那么這個(gè)基集張成的空間內(nèi)任意一點(diǎn)為:

想了解關(guān)于基的更多信息可以去了解一下線性代數(shù)

如果我們選取基 [1],? 那么原點(diǎn)就是0,? 1*基 = 1,? 那么如果權(quán)重為全體實(shí)數(shù),? 那么這個(gè)基張成的空間就是一維空間, 對(duì)應(yīng)的概念就是實(shí)數(shù)軸

但是, 如果權(quán)重為全體復(fù)數(shù), 那么張成的空間是幾維的呢?? ? 也就是在問(wèn), 復(fù)數(shù)所在的空間是幾維的

如果可以馬上想到復(fù)平面, 并且回答是2維的人, 不用恭喜了, 你就是錯(cuò)的

復(fù)數(shù)所處的空間是一維的!? ? 正因如此我們才不會(huì)把形如 a+bi 的復(fù)數(shù)說(shuō)成 一個(gè)數(shù)字,? 而不是兩個(gè)數(shù)字,? 復(fù)平面只是為了讓我們理解和使用的一個(gè)工具, 只是方便我們理解復(fù)數(shù), 而不是使我們覺(jué)得復(fù)數(shù)就是一個(gè)平面

同理, 我們可以在很高很高的維度中使用復(fù)數(shù), 張成的空間叫做復(fù)空間,? ?同理, 只用實(shí)數(shù)的空間張成的空間叫做實(shí)空間

不過(guò)有一個(gè)比較嚴(yán)重的問(wèn)題, 一個(gè)n維的復(fù)空間, 如果我們想要直觀地感受一個(gè)空間就需要2n個(gè)維度 (就如同復(fù)平面一樣),? 所以一般來(lái)說(shuō)二維復(fù)空間已經(jīng)是我們可以直觀感受的上限了?tips: 第二個(gè)基的虛部使用顏色表示的話, 二維復(fù)空間就可以用一個(gè)帶顏色的三維實(shí)空間表示了

接下來(lái)要提到兩個(gè)空間內(nèi)非常重要的概念: 內(nèi)積 和 模

內(nèi)積就是高中數(shù)學(xué)所說(shuō)的數(shù)量積

在基互相垂直的空間內(nèi), 存在兩個(gè)向量(或點(diǎn)), 則內(nèi)積定義為:? ? ?***? 不知道需不需要基互相垂直這個(gè)條件, 直覺(jué)上需要, 懂得的讀者歡迎在評(píng)論區(qū)科普一下 ***

其中b_n上面加一橫代表是共軛復(fù)數(shù),? 共軛復(fù)數(shù)定義如下

內(nèi)積內(nèi)含了關(guān)于兩個(gè)向量的長(zhǎng)度和方向之類的信息, 非常非常有用

模就是高中數(shù)學(xué)說(shuō)的向量的長(zhǎng)度(完全不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)法)

模的定義如下:

什么是函數(shù)空間

上面用了一千字稍微解釋了?"空間" 這種東西,? 那么所謂的函數(shù)空間就是 "使用函數(shù)作為基的空間"

函數(shù)作為基這個(gè)概念會(huì)有一點(diǎn)難理解,??(此處思考了半個(gè)小時(shí)都不懂得怎么跟讀者解釋這個(gè)概念= =,? 畢竟數(shù)學(xué)里面還可以用空間作為其他空間的基, 這里真的非常對(duì)不起了)??不過(guò)我覺(jué)得還是把一個(gè)函數(shù)理解成一個(gè)箭頭會(huì)畢竟方便

函數(shù)空間有兩種維度,? 一個(gè)和一般空間的定義相同: n個(gè)互相正交(正交就是垂直的意思)的基張成的n維空間,? 另外一個(gè)就是函數(shù)自身的輸入輸出維度了,? ?一般來(lái)說(shuō)函數(shù)空間的維度都是指前者, 并且絕對(duì)規(guī)定基函數(shù)的輸入輸出維度必須一致

在一個(gè)基函數(shù)集{φ_n}張成的函數(shù)空間中,? 任意一個(gè)函數(shù)有以下定義? ?這里假設(shè)函數(shù)輸入輸出都是一維, 當(dāng)然這個(gè)還是根據(jù)實(shí)際情況作相應(yīng)變化的

其中, 零函數(shù)作為函數(shù)空間的零點(diǎn):

同樣在函數(shù)空間內(nèi)也擁有內(nèi)積以及模的定義:

所以說(shuō)這么復(fù)雜的函數(shù)空間有什么用呢

別問(wèn), 問(wèn)就是泛函分析