牛頓391、證明柯西中值定理

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網(wǎng)友曾發(fā)表一篇關(guān)于柯西中值定理的文檔。

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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…柯西中值定理：見《牛頓390》…

文檔內(nèi)容：

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見《歐幾里得66》…

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一、柯西中值定理

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由拉格朗日中值定理知，在光滑曲線弧AB上至少有一個(gè)點(diǎn)C，在該點(diǎn)處的切線平行于弦AB。

…拉格朗日中值定理：見《牛頓376~389》…

…切、線、切線：見《牛頓288》…

考慮用參數(shù)方程來表示曲線弧AB。

…參、數(shù)、參數(shù)：見《歐幾里得114》…

…方、程、方程：見《伽利略53》…

（…《伽利略》：小說名…）

設(shè)曲線弧AB的參數(shù)方程為：x=F（x），y=f（x） a≤x≤b

其中x是參數(shù)，于是曲線弧AB上各點(diǎn)（x，y）處的斜率為：dy/dx=f’（x）/F’（x）

…斜、率、斜率：見《牛頓289》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英語）：n.（名詞）差別；差額；差價(jià)；（尤指同行業(yè)不同工種的）工資級(jí)差。

adj.（形容詞）差別的；以差別而定的；有區(qū)別的。

——《牛頓321》

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dx什么意思？？——網(wǎng)友提問

2019-09-07，想玩游戲的貓：d（x）代表對x求微分。

dy/dx?中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函數(shù)中是，微分的意思。

dx就是對x的微分，是把增量細(xì)微化，dx就是很小很小的一個(gè)x。

——《牛頓3》]

弦AB的斜率為：[f（b）-f（a）]/（b-a）

從而，可得：

柯西中值定理

如果函數(shù)f（x）及F（x）滿足：

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

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（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

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（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

…可導(dǎo)：若f（x）在x0處連續(xù)，則當(dāng)a趨向于0時(shí)，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在極限，則稱f（x）在x0處可導(dǎo)…見《牛頓360》…

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（3）F’（x）和f’（x）不同時(shí)為0；

（4）F（a）≠F（b）

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則在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使得

[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）

…ξ：大寫Ξ，小寫ξ，是第十四個(gè)希臘字母，中文音譯：克西。

小寫ξ用于：數(shù)學(xué)上的隨機(jī)變量…

幾何解釋：

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

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在曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C[F（ξ），f（ξ）]，在該點(diǎn)處的切線平行于弦AB。

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拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例。

當(dāng)F（x）=x，

→F（b）-F（a）=b-a，F(xiàn)’（x）=x’=1

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∴?[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）

→[f（b）-f（a）]/b-a=f’（ξ）

證：作輔助函數(shù)Φ（x）=f（x）-{f（a）+[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]·[F（x）-F（a）]}

=f（x）-f（a）-[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]·[F（x）-F（a）]。

…Φ：第21個(gè)希臘字母。

音標(biāo) /fa?/。

大寫Φ，小寫φ。

小寫時(shí)左上角的彎是開口的；而用作符號(hào)時(shí)，有時(shí)也寫成一個(gè)縮小了的大寫Φ的形狀…

（…符、號(hào)、符號(hào)：見《歐幾里得160、161》…）

Φ（x）滿足羅爾定理的條件。

…羅爾定理：見《牛頓367~375》“羅爾中值定理”…

…條、件、條件：見《牛頓280》…

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得Φ’（ξ）=0。

即f’（ξ）-[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]·F’（ξ）=0

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∵?F’（ξ）≠0 ?[否則F’（ξ）=0，f’（ξ）=0與（3）矛盾]

∴?[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）

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“在柯西中值定理中，若取g（x）=x時(shí)，則其結(jié)論形式和拉格朗日中值定理的結(jié)論形式相同。

請看下集《牛頓392、柯西中值定理與拉格朗日中值定理的聯(lián)系》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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