圓錐曲線硬解定理，又稱CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)或JZQ-EH定理(The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解橢圓（或雙曲線）與直線相交時，聯(lián)立方程求判別式、韋達定理與相交弦長的簡便算法，常應用于解析幾何。 基本信息 中文名 圓錐曲線硬解定理 外文名 CGY-EH & JZQ-EH 別名 圓錐曲線聯(lián)立公式 提出者 CGY(2010) & 136266943(2014) 提出時間 2010 & 2014 應用學科 中學數(shù)學 適用領(lǐng)域 標準雙曲線與拋物線 收起 定理簡介 在將圓錐曲線的方程與直線方程聯(lián)立求解時人們發(fā)現(xiàn)了可消項的存在。但其一般化的推導結(jié)果不具有普適性，且一直無法用一個簡潔的形式表示.。由CGY(2010)以橢圓曲線推導，重新排列分組形式，并引入ε,從而得出了較為簡潔的表示形式。后再由CGY成功引入弦長計算公式，并將適用范圍擴大到對y值求解與對x的求解，從而奠定了CGY-EH定理強大的通用性與普適性。 定理內(nèi)容 若曲線 與直線 相交于 兩點，則: 其中； 。 定理說明 應用該定理于 ①橢圓時： 焦點位x軸時： ，應將 代入。 焦點位于y軸時： ，應將 代入。 ②雙曲線時： 焦點位于x軸時：,應將 代入，同時 不應為零，即 不為零； 焦點位于y軸時： ,應將 代入，同時 不應為零，即 不為零 求解與 時，只須 將與的值互換且與的值互換。可知 與 的值不會因此而改變。 定理補充 聯(lián)立曲線方程與 是現(xiàn)行高考中比聯(lián)立 更為普遍的現(xiàn)象。其中聯(lián)立后的二次方程是標準答案中必不可少的一項， ，都可以直接通過韋達定理求得，唯獨弦長的表達式需要大量計算。這里給出一個CGY-EH的斜率式簡化公式，以減少記憶量，以便在考試中套用。 若曲線 與直線：相交于 兩點，則: 這里的 既可以是常數(shù)，也可以是關(guān)于 的代數(shù)式。 由這個公式我們可以推出： 若曲線 為橢圓： ,則 若曲線 為雙曲線： ,則 由于在高考中CGY-EH定理不可以直接應用，因此現(xiàn)提供參考解題步驟： 解： 由，得 設(shè) 由韋達定理，得： ①， ②； 由，代入①②式，化簡得： 所以 注：對于橢圓：與直線： ，聯(lián)立得： ; 對于雙曲線：與直線：，聯(lián)立得： 定理簡證 設(shè)曲線： (mn 0，且m，n不同時為負數(shù))與直線：相交于E、F兩點，聯(lián)立兩式，得二次方程： 根據(jù)韋達定理，得: 由于 的意義僅在于正負性，且恒成立，可令，則 與 同號 由 (或 ) 可得 令，則可得CGY-EH定理: