微觀經(jīng)濟學1
前幾節(jié)課內(nèi)容簡單做一個筆記。作為學數(shù)學物理化學生物出身的人，理解可能會比較奇異。本文是消費者行為理論的一部分。
市場
建模。經(jīng)濟學的建模跟物理、生物里沒什么本質(zhì)性區(qū)別。模型里的變量又分為外生變量和內(nèi)生變量。打個比方，細胞的calcium dynamics，就可以把外界恒定的鈣濃度作為外生變量，內(nèi)部變化的濃度作為內(nèi)生變量。
經(jīng)濟學兩個基本的framework就是：1.最優(yōu)化原理（maximize u(x) subject to ...）；2.均衡原理。前者刻畫的是人的行為，可以說是人行為的基礎(chǔ)，但是邏輯上更好的說法也許是從人的行為定義出的最優(yōu)化？不管怎樣，它用于描述人的行為。打個比方的話，它就是Maxwell方程。后者，有點像導體在靜電場中的電荷分布，我們只研究均衡后的結(jié)果，而不討論達到均衡的過程，達到的過程假設(shè)比較短。類比于電磁學，它就是導體的平衡假設(shè)。它是一個額外的假設(shè)，不是本質(zhì)性的（相比于Maxwell方程），但是在分析中是必要的。
我把前者叫做第一類原理，后者叫做第二類原理。前者包括最優(yōu)化原理，Maxwell方程，流的守恒律等等。后者包括靜電平衡假設(shè)，電介質(zhì)的刻畫方式，胡克定律，F(xiàn)ick定律，均衡原理等等。
結(jié)合上面兩個原理，就有經(jīng)濟學里面最常用的比較靜態(tài)分析。供給曲線和需求曲線是最優(yōu)化原理的結(jié)果，而二者交點則是均衡原理的結(jié)果。
比較靜態(tài)分析中的兩條線對應(yīng)的是消費者行為和生產(chǎn)者行為，所以微觀經(jīng)濟學的理論可以分成這兩個部分。每條曲線的來源都是最優(yōu)化原理，而兩條曲線放在一起分析則利用了均衡原理。
競爭性市場/壟斷市場。壟斷的分析也是基于利益最大化。壟斷者制定價格，會讓自己的收益（矩形面積）最大，此時壟斷價格會高于均衡價格。（這張圖是普通壟斷，也就是制定固定的價格，而沒有價格歧視，后者叫做歧視性壟斷）
壟斷和競爭市場在數(shù)學上如何區(qū)分？關(guān)鍵在于，一個是price-maker，一個是price-taker。對于完全競爭，如果大家都定價格p，你的價格高于p，你就完全沒有收益，所以在價格面前是完全被動的。這是一個極端。另一個極端是一家獨大的壟斷，商家對于價格是完全主動的。在兩個極端之間，比如寡頭競爭，商家對于價格不完全主動，有自己的操作性，但還要看與其它商家的博弈?？偟膩碚f，這個連續(xù)統(tǒng)是按照對于價格的主動性來劃分的。
Pareto效率。它來源于數(shù)學中向量（或者跟一般地說，函數(shù)）的比較。兩個實數(shù)，我們能夠很容易判斷哪個大哪個小。但是函數(shù)就不行了，除非有uniform的大小關(guān)系，否則在某些段上f大，某些段上g大。社會問題包括很多individual，他們的效用就是一個巨大的向量，在所有可能的狀態(tài)中，選出一個uniformly optimal的狀態(tài)基本是不可能的（這也就是統(tǒng)計學中MSE的optimality）。那么怎樣的狀態(tài)比較好呢？標準就是Pareto效率，在統(tǒng)計里叫做admissible，也就是不存在一個risk function一致地低于你這個。其它risk function，要么一致地比你大，要么相交。這個admissibility相當于無法optimal的時候的一種妥協(xié)，它當然不只一個，其“前線”構(gòu)成Pareto frontier。
Pareto效率相當于一個“最低要求”，如果一個社會狀態(tài)不是Pareto效率的，做一個Pareto改進，人人喜聞樂見。而且要緊的是Pareto效率未必公平，所有錢都在一個人手上也是一個Pareto效率的狀態(tài)。
統(tǒng)計學中的Bayes estimator，也就是把risk function按照一定權(quán)重積分后最小化，在經(jīng)濟學中稱為Kaldor-Hicks效率（均勻權(quán)重）。這是一種把函數(shù)比較轉(zhuǎn)化為數(shù)字比較的方式。如果不同人之間能夠交換“效用”，Kaldor-Hicks效率可以轉(zhuǎn)化為Pareto效率。不過這一般無法做到，特別是“效用”不是用錢衡量的時候。
一般的Bayes estimator，權(quán)重（prior）未必均勻，對應(yīng)于說某些人的利益更重要，這不太好。
統(tǒng)計學中的minimax estimator同樣是一種把函數(shù)比較轉(zhuǎn)化為數(shù)字比較的方式，它在社會學上對應(yīng)于羅爾斯的那套理論。
我們可以分析不同的市場是否是效率的。
首先是完全競爭。假設(shè)有n套公寓，均衡價格為p，租到的n人保留價格都高于p，其他人保留價格都低于p（剛剛好，因為是完全競爭），于是這是Pareto效率的。
然后是歧視性壟斷。歧視性壟斷（第一類價格歧視）的均衡點和完全競爭一樣，租到的人還是那幾個人，只不過他們花了更多的錢，而房東賺了更多。于是這是Pareto效率的。
最后是普通壟斷。它不是Pareto效率的，因為可以做這樣一個Pareto改進：把余下的公寓低價租給別人。（雖然這種做法不穩(wěn)定）
上面只是一個短期租房市場（供給沒有變化）的啟示性分析。
預(yù)算約束
接下來開始正式構(gòu)建消費者行為理論。最終的目的是需求曲線。
第一個原理說要maximize u(x) subject to condition(x)。這一節(jié)研究subject to，后面研究maximize。預(yù)算約束無非是
首先，我們一般只用兩種商品來分析，把一種解釋為感興趣的對象，另一種解釋為其它所有商品的總和（復合商品）。復合商品可以理解為花在其它所有商品上的錢數(shù)，所以價格就是1。這時候預(yù)算約束就變成：
我們來看看預(yù)算約束線的斜率有什么含義。它表示的是，想要多消費一些1，就必須少消費多少2，換句話說就是機會成本。
預(yù)算約束線的變動。
收入增加，向外平行移動。
商品價格變動，截距變動。
關(guān)于稅收、補貼和配額。它們都會對預(yù)算約束線產(chǎn)生影響。
【從量稅/從量補貼】
【從價稅/從價補貼】
【定額稅/補貼】
【配額】
偏好
這一節(jié)的理論，從數(shù)學的角度去理解，都是理所當然的。
對于消費選擇問題，還是采取之前的二維構(gòu)架。消費者的某種可能選擇即消費束(x_1,x_2)。我們想要比較(x_1,x_2)與(y_1,y_2)中，某個人會選擇哪一個。邏輯上來說，我們不知道消費者為什么認為一個消費束比另一個好，我們只是用偏好來描述這個結(jié)果。人的行為是最底層的。
從數(shù)學角度來說，我們想要在集合S={(x_1,x_2)|(x_1,x_2)滿足預(yù)算約束}這個集合上定義一個二元關(guān)系（全序關(guān)系），這上面的序包括嚴格偏好\succ，弱偏好\succeq，以及無差異\sim。
既然是“全”序，首先要求它是完全的。也就是說，每兩個消費束都可以比較。這個公理看起來trivial，實際上也許才是最要緊的，因為之前提到了，兩個向量/函數(shù)是無法做比較的，除非“標量化”！現(xiàn)在兩個消費束居然能夠隨便比較，這就暗示著它能夠“標量化”，也就暗示著可以用“效用函數(shù)”去刻畫。
第二，當然要滿足序的傳遞性公理。(x_1,x_2)\succeq(y_1,y_2),(y_1,y_2)\succeq(z_1,z_2)，則(x_1,x_2)\succeq(z_1,z_2)。雖然在數(shù)學上一個序自然要滿足，但是對于人來說傳遞性也許未必？比如石頭剪刀布就不滿足傳遞性，我們無法從中選出一個「最好的」。雖然如此，我們只研究滿足傳遞性的“正?！毕M者，這種不正常的消費者無法做出選擇。
第三，這個全序還要滿足自反性，即(x_1,x_2)\succeq(x_1,x_2)。這是個trivial的性質(zhì)。但是自反性其實蘊含在完全性里邊，所以為什么教科書上要單獨把它列出來？不知道。我們就當他不存在也沒事。
有了這三個公理，就可以建立起效用理論。第二步是無差異曲線，或者更一般地叫無差異集。
無差異集就是按照等價關(guān)系（\sim）把消費束所在的集合劃分為等價類。事情到此就說完了！只有幾個補充的remark。
不同等價類之間仍然有序關(guān)系。
等價類的作用就是把這個集合的結(jié)構(gòu)弄清楚了。聯(lián)想一下音樂里也會采取類似的操作。
上面的理論沒有告訴我們無差異集應(yīng)該是長什么樣子的。實際上theoretically它可以長成任意樣子，可以是曲線，也可以是高維的。但是經(jīng)濟學畢竟不是數(shù)學，還需要討論一下常見的幾種無差異曲線。見下一小節(jié)。
幾種常見的無差異曲線。
【完全替代】即恒定的邊際替代率。無差異曲線為負斜率的直線。
【完全互補】
【厭惡品】
【中性商品】
【飽和點】
【一般的well-bahaved的無差異曲線】公理并沒有給出無差異曲線可能的形狀的限制。但是一般我們只考慮well-behaved的無差異曲線，即滿足：1.單調(diào)性，即多多益善，或者說到達飽和點之前（正常人很難有這么多資源到達飽和點），或者說無差異曲線單調(diào)遞減。2.凸性，即邊際替代率遞減。這是為什么呢？凸性意味著我們偏向于兩個一起要，而不是“挑食”地只選擇大量的一個。這個假設(shè)當然不成立的例子有很多，不過畢竟對于更多情況適用，況且在數(shù)學上會比較方便，所以都在用。當然還是要看情況，如果一個例子不滿足凸性也毫不意外。
邊際替代率。在經(jīng)濟學原理中，MRS是邊際效用遞減的衍生出來的推論。但是現(xiàn)在我們看到，MRS比標記效用更加本質(zhì)。
首先要搞清楚MRS到底是怎么定義的。x_2替代x_1的替代率為|dx_2/dx_1|，這個量和效用怎么定義無關(guān)，不管效用做什么單調(diào)變換它都是不變的（容易證明）。所以它刻畫的是消費者在邊際上的“交換率”。
偏好的凸性導致邊際替代率遞減。
關(guān)于邊際替代率遞減和邊際效用遞減。邊際效用遞減在道理上還是對的，一個東西越多，對再多一點就沒有感覺了。但是畢竟基數(shù)效用的“幸福程度”是一個很虛的東西，所以這個道理用MRS遞減來反映在比較“實”。假設(shè)A:B=1:1的時候，一個dA可以交換2個dB；但是A:B=10:1的時候，一個dA可能只能交換0.5個dB。所以MRS遞減，亦或是說無差異曲線的凸性，本質(zhì)上就是“邊際基數(shù)效用遞減”，雖然在現(xiàn)在的理論里序數(shù)效用的邊際未必遞減。
按照張維迎的說法，效用在根本上反映的是人的幸福程度。這個是“解釋”意義上的，而且“幸福程度”本身沒辦法量化，所以這個解釋是單向的，只能從效用解釋到幸福，但不能從幸福構(gòu)造出效用。如果從“構(gòu)建”意義上來說，效用這個概念并不是一開始就存在的，它是從更基本的“選擇”上構(gòu)造出來的（用來“標量化”的數(shù)學工具）。這點是經(jīng)濟學原理上沒有提到的。
效用
如上一節(jié)所言，我們僅僅把效用作為偏好（選擇）衍生出來的一種方便處理的“標量化”數(shù)學工具。效用要緊的是誰高，而不是高了多少。以前是用效用推出偏好，現(xiàn)在效用只是一個又偏好衍生出來的工具。（這與一開始的理論是反過來的）
我們用的完全是序數(shù)效用理論。基數(shù)效用可以用來理解/闡釋，但不用于構(gòu)建。
一言以蔽之，就是完全性帶來的標量化。效用的意義是在于序數(shù)，所以以下三種效用沒有區(qū)別：
所以說，一個效用函數(shù)在單調(diào)變換（即嚴格單調(diào)遞增的函數(shù)）下還是一樣的。一個偏好對應(yīng)于一個函數(shù)類的效用函數(shù)。
在經(jīng)濟學原理中，我們把無差異曲線當作效用函數(shù)的等高線，是一種直觀的分析方式；但是現(xiàn)在我們知道，無差異曲線比效用函數(shù)更加本質(zhì)。
數(shù)學上可以證明，只要偏好滿足完全性和傳遞性，就存在對應(yīng)的效用函數(shù)。
現(xiàn)在的問題是：既然效用函數(shù)可以任意做單調(diào)變換，那么邊際效用（MU）遞減還有意義嗎？邊際效用本身并不包含選擇行為的信息。邊際效用的比值，即邊際替代率，才是有實際意義的。邊際替代率遞減代替邊際效用遞減才是比較好的（雖然后者能夠推出前者）。按照我的理解，一句話來總結(jié)，“邊際基數(shù)效用遞減”是成立的，但是“邊際序數(shù)效用遞減”不成立，“邊際基數(shù)效用遞減”在序數(shù)效用理論里體現(xiàn)為無差異曲線的凸性假設(shè)。
更本質(zhì)的說法。
對于所有連續(xù)函數(shù)，按照等價關(guān)系「能夠通過單調(diào)變換互相轉(zhuǎn)化」做等價劃分，每個等價類都是一個效用。所以效用函數(shù)不是一個函數(shù)，而是一個等價類。平時我們說一個效用函數(shù)
但是這種說法嚴格來說其實是一個代表元，代表一個等價類：
這點要想清楚。
下面討論幾種特殊的效用函數(shù)（的代表元）。
【完全替代】
【完全互補】
【擬線性偏好】
【Cobb-Douglas效用】它的常用代表元有很多：
寫成第二種齊次形式是最方便的，其中的a可以有直接的經(jīng)濟學含義。
選擇
這一節(jié)是消費者的最優(yōu)選擇理論。圖像是熟知的：
不過這種相切（稱為interior optimum）在有些時候未必成立。比如：類似互補品的無差異曲線：
以及boundary optimum：
具體的計算直接上Lagrange乘子法就完事。
無差異曲線與預(yù)算約束線相切的經(jīng)濟學含義：如果MRS與預(yù)算的替代率不想等，比如說我們在不超過預(yù)算約束的條件下，能用1個dx換取兩個dy，而減少一個dx的效用需要增加一個dy來補償，那么總的效用就上升了。消費者在邊際上，會選擇移動目前的選擇，直至相切點。
話說回來，在我看來基數(shù)效用理論并不是一無是處。它只是沒法量化。在人類的各種感官里面，經(jīng)常出現(xiàn)Weber-Fechner定律，也就是對數(shù)感知，它就是邊際效用遞減的來源。這種“感知”也不能嚴格地量化，但你不能說它就是錯的，不然分貝的定義也是胡來了。所以建立從下到上的理論體系的時候也許不需要基數(shù)效用，但人的心理里面基數(shù)效用是存在的。
需求
消費者理論的最終結(jié)果，就是導出需求曲線，以及需求隨著各個因素的變化。
首先是需求隨收入的變化。正常來說需求隨收入增加，稱為正常品。
但是并不排除需求隨收入降低，稱為劣等品。
顧名思義，例子包括一些劣等的東西，收入升高之后人們會選擇消費更優(yōu)質(zhì)的商品，而不是購買更多劣等品。
需求與收入的關(guān)系用恩格爾曲線表示。
然后是需求隨價格的變化，得到的是需求曲線。分為普通商品和吉芬商品。后者在理論上存在，實際上不好說。
反需求曲線。也就是把需求曲線的自變量和因變量換了一下。單純調(diào)換一下變量并沒有什么意思，有意思的地方在于反需求曲線的經(jīng)濟學含義，即
Remark：我們規(guī)定一下MRS的方向，即1對2的MRS，或者2替代1的MRS，定義為
它對x_1是遞減的。
之前所有的理論假設(shè)都是無限可分的?，F(xiàn)在考慮一下離散商品，這時候很多連續(xù)情況下看不清的問題可以看清楚。
這時候無差異曲線是折線，如下圖所示。
把good1的價格逐漸降低。則預(yù)算約束線會逐漸和某段無差異曲線重合。在這個價格，買1和不買1是無差異的。這個價格稱為保留價格，也就是消費者愿意買一件商品付出的最大價格。要注意，之前我們定義保留價格是基于消費者對這個商品的內(nèi)心價值判斷，這個定義并不明確。現(xiàn)在保留價格被包含在偏好理論里被嚴格定義了。不過這個嚴格定義只對離散有效。
此時的需求曲線為：
購買一單位的保留價格為r_1，兩單位的保留價格為r_2，以此類推。
顯示偏好
這一節(jié)討論的是逆問題：通過消費行為反推偏好。Reveal就是揭示出來。
為了解的well-posed性質(zhì)，對于逆問題的求解加入regularization條件：凸性。
問題說白了就是這樣的：input是消費行為，即一些線和一些點：
然后想要output出圖上某些點之間的偏好關(guān)系（當然不用期待能把每兩個點的偏好都確定下來，有限input下是不可能的）。
這種比較很好辦：邊界上的最優(yōu)點肯定優(yōu)于內(nèi)部點：
這叫直接顯示偏好。串起多個比較可以得到間接顯示偏好：
input越多，對偏好的估計越準。
顯示偏好的input并不是隨便的，比如下圖這個input就違背了偏好的公理：
所以要在input上加上一條公理規(guī)定：
這條公理只規(guī)定了直接顯示偏好。如果加上間接偏好，就變成更強的公理：
WARP和SARP在技術(shù)上都是很容易驗證的。那么問題來了，如果不滿足，說明什么？我們可以說，要么消費者不是追求效用最大化，要么就是口味發(fā)生了改變。
Slutsky方程
價格對需求的影響。這個影響可以分為兩個部分：替代效應(yīng)和收入效應(yīng)。收入效應(yīng)就是平移，不用多說。替代效應(yīng)有兩種，Slutsky替代效應(yīng)保持購買力不變，也就是直接繞著點旋轉(zhuǎn)；而Hicks替代效應(yīng)保持效用不變，也就是沿著原先那條無差異曲線保持相切地轉(zhuǎn)。兩種定義到底按照哪種，其實都無所謂，事先約定好就行。
假設(shè)商品1價格下降。替代效應(yīng)一定使它消費增加，因為兩個商品的價格比下降。而收入效應(yīng)則可正可負，如果這是個比較極端的劣等品，收入增加會導致對它的消費下降很多，那么總的價格影響將導致商品1消費下降。所以吉芬商品必須是劣等品，并且非常劣等。
不確定性
不確定性不是無緣無語要去研究的。保險和股票就是兩大基于風險的市場。
在此之前，我們假設(shè)概率分布是已知的。有些人會區(qū)分風險和不確定性，一個已知概率分布一個未知。但是我們還是簡單起見假設(shè)概率分布已知，至于這個分布是哪來的，可以是Bayes，可以是noninformative prior之類的。這是個主觀概率。
如何在不確定情況下構(gòu)造偏好理論？
首先，消費束需要向隨機推廣，這個推廣的結(jié)果叫做contingent consumption plan，即不同的\omega下的消費結(jié)果。Contingent這個詞不太好翻譯，它的意思是depending on sth that may or may not happen。
問題是，我們可以比較確定的contigent consumption plan，但是如何比較兩個「在消費束空間上的分布」？為了公理化，我們引入Von Neumann–Morgenstern utility theorem。
現(xiàn)在我們要在分布之間建立偏好關(guān)系。也就是說，在整個分布的空間上建立全序關(guān)系\succ,\sim,\prec。
假設(shè)這個序關(guān)系滿足以下幾條公理：
完全性。用于標量化，不多說。
傳遞性。用于標量化的時候不出問題。
連續(xù)性。意思是說兩個分布之間可以連續(xù)變化過來。
4.獨立性。它大概是說，不同測度之間的獨立的。
如果以上四條公理成立，那么VNM理論指出，存在效用函數(shù)u，使得
這個u其實代表的是一個等價類：在所有效用函數(shù)的空間上，按照正仿射變換這個等價關(guān)系劃分等價類，每個效用函數(shù)實際上表示一個等價類。
要注意，對于VNM效用函數(shù)，函數(shù)之間的等價關(guān)系是正仿射變換而不是單調(diào)變換。所以，VNM效用函數(shù)的邊際是有意義的，凸性也是有意義的。
這樣我們就建立起了平行于"deterministic preference theorem"的"stochastic preference theorem"。二者之間有一些微妙的差別。
“邊際效用遞減”之類的說法，在確定性基數(shù)效用和隨機性的VNM效用里都是成立的，前者只是一個“闡釋性”的東西，后者是保持全序必要的；而在確定性序數(shù)效用里不成立。
效用函數(shù)（等價類）的凹凸性刻畫了風險厭惡/風險偏好/風險中性。
