鄭濤（Tao Steven Zheng）著

冪

古中國(guó)對(duì)平面形狀面積的知識(shí)來(lái)源于土地測(cè)算的實(shí)踐。因此，古中國(guó)數(shù)學(xué)家稱(chēng)所有平面形狀為 “田”?！毒耪滤阈g(shù)》第一卷 “方田” 里的方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、環(huán)田等平面形狀，分別相當(dāng)于矩形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、弓形、圓環(huán)形。

面積是平面幾何中最基本的概念之一?！毒耪滤阈g(shù)》中的第一條術(shù)文，就以方田（矩形）的面積公式引入了這個(gè)概念：

方田術(shù)曰：廣[1]從[2]步數(shù)相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數(shù)。百畝為一頃。

今譯：方田解法：寬與長(zhǎng)的步數(shù)相乘，得面積的 [平方] 步數(shù)。以畝法 240 [平方] 步除面積步數(shù)，就是畝數(shù)。100 畝為 1 頃。

[1] 廣: 寬，橫方向的寬度。

[2] 從: “從” 通 “縱”；長(zhǎng)，豎方向的寬度。

劉徽注《九章算術(shù)》提出一個(gè)比較抽象的數(shù)學(xué)概念叫“冪”，從他對(duì)方田術(shù)的注釋首次見(jiàn) “冪” 這個(gè)字。

此積為田冪。凡廣從相乘謂之冪。

今譯：這種積叫做田的 “冪”。凡是寬與長(zhǎng)相乘，就把它叫做 “冪”。

需要注意的是，這里 “冪” 的意思是面積，而不是現(xiàn)代數(shù)學(xué)指數(shù)的意思。

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出入相補(bǔ)

“出入相補(bǔ)” 又稱(chēng) “以盈補(bǔ)虛” 是古中國(guó)數(shù)學(xué)家常用的幾何證明方法。吳文俊解釋該原理是：

一個(gè)平面圖形從一處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來(lái)圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡(jiǎn)單的相等關(guān)系。

“出入相補(bǔ)” 這個(gè)詞出自于劉徽在《九章算術(shù)注》對(duì)勾股定理的證明：

勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)，因就其余不移動(dòng)也。合成弦方之冪。開(kāi)方除之，即弦也。

今譯：勾自乘為朱色的正方形，股自乘為青色的正方形，使它們按照自己的類(lèi)別進(jìn)行出入相補(bǔ)，而使其余的部分不移動(dòng)，就合成以弦為邊長(zhǎng)的正方形之面積。對(duì)之作開(kāi)方除法，就得到弦。

?劉徽的證明原來(lái)應(yīng)該有制圖，可惜現(xiàn)已失傳。圖 1 是從以上述的文字復(fù)原的。

劉徽還有給出其它應(yīng)用 “出入相補(bǔ)” 原理 （“以盈補(bǔ)虛”）來(lái)證明計(jì)算面積公式的實(shí)例。

【例1】圭田（等腰三角形）

《九章算術(shù)》給出三角形的面積公式為：

半廣以乘正從。

今譯：半底乘以高。

?劉徽解釋這個(gè)公式的來(lái)源:

半廣[3]者，以盈補(bǔ)虛為直田[4]也。亦可半正從[5]以乘廣。

今譯：取底的一半，是為了以盈補(bǔ)虛，使它變成長(zhǎng)方形。又可以取高的一半，以它乘廣。

[3] 廣：這里指三角形的底。

[4] 直田：長(zhǎng)方形。

[5] 正從：三角形的高。

【例2】邪田（直角梯形）

《九章算術(shù)》給出梯形的面積公式為：

并兩邪[6]而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并。

今譯：相加上底和下底，折半，乘以高；或者半高乘以上底和下底之和。

?[6] 兩邪：“邪” 通 “斜”，這里是指梯田的上底和下底。

?劉徽解釋這個(gè)公式的來(lái)源:

并而半之者，以以盈補(bǔ)虛也。

今譯：求其和，取其一半，這是以盈補(bǔ)虛。

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