圓內(nèi)接四邊形ABCD滿(mǎn)足：AB，CD交于點(diǎn)Q，AD，BC交于點(diǎn)R，AC，BD交于點(diǎn)P。M,N分別為PR，PQ中點(diǎn)，MN分別交AR，AQ，BC，CD于X，Y，K，L。求證：圓（AXY）與圓（CKL）相切。

對(duì)于證兩圓相切的問(wèn)題，刻畫(huà)切點(diǎn)是非常重要的。經(jīng)驗(yàn)告訴我們，與完全四邊形有關(guān)的證兩圓相切的問(wèn)題，切點(diǎn)大多數(shù)都是密克點(diǎn)。結(jié)合目測(cè)估計(jì)法，我們不難猜到這個(gè)切點(diǎn)就是完全四邊形ABCDQR的密克點(diǎn)。我們現(xiàn)證兩圓都經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。

如上圖，由于這個(gè)完全四邊形比較特殊，所以其密克點(diǎn)就是點(diǎn)A在QR上的垂足。要證密克點(diǎn)E過(guò)兩個(gè)紅圓，即證ELCK，EYAX分別四點(diǎn)共圓。由平行及對(duì)視角相等，若有上述共圓，則∠LEC=∠LKC=∠BRQ=∠QAE=α。所以∠AQE=∠AYX=∠QEL=90°-α。所以我們只需證∠AYL=∠QEL。即證YLQE四點(diǎn)共圓。

這個(gè)四點(diǎn)共圓我們?nèi)匀豢梢杂脤?duì)視角相等來(lái)證明。利用完全四邊形的調(diào)和性，我們有A，C，P，E成調(diào)和點(diǎn)列，所以QA，QC，QP，QE成調(diào)和線(xiàn)束。又因?yàn)閄Y∥QE，所以Y，N，L與XY方向上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列，即N為YL中點(diǎn)。又因?yàn)镹為PQ中點(diǎn)，所以PLQY是平行四邊形。所以∠YPL=∠YQL。MN又是△PQR的中位線(xiàn)，PE⊥QR，所以P，E關(guān)于XY對(duì)稱(chēng)。由對(duì)稱(chēng)性，∠YPL=∠YEL=YQL。所以YLEQ四點(diǎn)共圓。

同理RXKE四點(diǎn)共圓，于是我們證明了點(diǎn)E是圓（CKL）與圓（AXY）的一個(gè)交點(diǎn)。

下面只需要證明兩圓圓心連線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E。

簡(jiǎn)單導(dǎo)角，不難發(fā)現(xiàn)∠LEK=∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠DQE+∠BRE。于是圓（LEQ）與圓（KER）相切。設(shè)圓（JKE）和圓（XYA）的圓心分別為F，G。易得∠FEK=90°-∠KLE=角CRQ。同理∠FEL=∠CQR。所以點(diǎn)F在圓（QLE）與圓（KRE）的內(nèi)公切線(xiàn)上。同理點(diǎn)G也在公切線(xiàn)上。但由于圓（QLE）與圓（KRE）外切，所以?xún)?nèi)公切線(xiàn)只有一條，即EFG三點(diǎn)共線(xiàn)，即圓（AXY）與圓（CKL）相切。