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R語言股票市場指數(shù)：ARMA-GARCH模型和對數(shù)收益率數(shù)據(jù)探索性分析|附代碼數(shù)據(jù)

2022-11-01 17:02 作者:拓端tecdat  | 我要投稿

全文下載鏈接：http://tecdat.cn/?p=19469

本文將分析工業(yè)指數(shù)（DJIA）。工業(yè)指數(shù)（DIJA）是一個股市指數(shù)，表明30家大型上市公司的價值。工業(yè)指數(shù)（DIJA）的價值基于每個組成公司的每股股票價格之和（點擊文末“閱讀原文”獲取完整代碼數(shù)據(jù)）。

時間序列分析模型 ARIMA-ARCH GARCH模型分析股票價格數(shù)據(jù)

本文將分析工業(yè)指數(shù)（DJIA）。工業(yè)指數(shù)（DIJA）是一個股市指數(shù)，表明30家大型上市公司的價值。工業(yè)指數(shù)（DIJA）的價值基于每個組成公司的每股股票價格之和。

本文將嘗試回答的主要問題是：

  • 這些年來收益率和交易量如何變化？

  • 這些年來，收益率和交易量的波動如何變化？

  • 我們?nèi)绾谓Ｊ找媛什▌樱?/p>

  • 我們?nèi)绾文M交易量的波動？

為此，本文按以下內(nèi)容劃分：

第1部分：?獲取每日和每周對數(shù)收益的?數(shù)據(jù)，摘要和圖
第2部分：?獲取每日交易量及其對數(shù)比率的數(shù)據(jù)，摘要和圖
第3部分：?每日對數(shù)收益率分析和GARCH模型定義
第4部分：?每日交易量分析和GARCH模型定義

獲取數(shù)據(jù)

利用quantmod軟件包中提供的getSymbols（）函數(shù)，我們可以獲得2007年至2018年底的工業(yè)平均指數(shù)。

  1. getSymbols("^DJI", from = "2007-01-01", to = "2019-01-01")

  2. dim(DJI)

  3. ## [1] 3020 ? ?6

  4. class(DJI)

  5. ## [1] "xts" "zoo"

讓我們看一下DJI xts對象，它提供了六個時間序列，我們可以看到。

  1. head(DJI)

  2. ## ? ? ? ? ? ?DJI.Open DJI.High ?DJI.Low DJI.Close DJI.Volume DJI.Adjusted

  3. ## 2007-01-03 12459.54 12580.35 12404.82 ?12474.52 ?327200000 ? ? 12474.52

  4. ## 2007-01-04 12473.16 12510.41 12403.86 ?12480.69 ?259060000 ? ? 12480.69

  5. ## 2007-01-05 12480.05 12480.13 12365.41 ?12398.01 ?235220000 ? ? 12398.01

  6. ## 2007-01-08 12392.01 12445.92 12337.37 ?12423.49 ?223500000 ? ? 12423.49

  7. ## 2007-01-09 12424.77 12466.43 12369.17 ?12416.60 ?225190000 ? ? 12416.60

  8. ## 2007-01-10 12417.00 12451.61 12355.63 ?12442.16 ?226570000 ? ? 12442.16

  9. tail(DJI)

  10. ## ? ? ? ? ? ?DJI.Open DJI.High ?DJI.Low DJI.Close DJI.Volume DJI.Adjusted

  11. ## 2018-12-21 22871.74 23254.59 22396.34 ?22445.37 ?900510000 ? ? 22445.37

  12. ## 2018-12-24 22317.28 22339.87 21792.20 ?21792.20 ?308420000 ? ? 21792.20

  13. ## 2018-12-26 21857.73 22878.92 21712.53 ?22878.45 ?433080000 ? ? 22878.45

  14. ## 2018-12-27 22629.06 23138.89 22267.42 ?23138.82 ?407940000 ? ? 23138.82

  15. ## 2018-12-28 23213.61 23381.88 22981.33 ?23062.40 ?336510000 ? ? 23062.40

  16. ## 2018-12-31 23153.94 23333.18 23118.30 ?23327.46 ?288830000 ? ? 23327.46

更準確地說，我們有可用的OHLC（開盤，高，低，收盤）指數(shù)值，調(diào)整后的收盤價和交易量。在這里，我們可以看到生成的相應圖表。

我們在此分析調(diào)整后的收盤價。

DJI[,"DJI.Adjusted"]

簡單對數(shù)收益率

簡單的收益定義為：

對數(shù)收益率定義為：

我們計算對數(shù)收益率。

CalculateReturns(dj_close,?method?=?"log")

讓我們看看。

  1. head(dj_ret)




  5. ##?????????????DJI.Adjusted


  7. ##?2007-01-04??0.0004945580


  9. ##?2007-01-05?-0.0066467273


  11. ##?2007-01-08??0.0020530973


  13. ##?2007-01-09?-0.0005547987


  15. ##?2007-01-10??0.0020564627


  17. ##?2007-01-11??0.0058356461


  19. tail(dj_ret)




  23. ##????????????DJI.Adjusted


  25. ##?2018-12-21?-0.018286825


  27. ##?2018-12-24?-0.029532247


  29. ##?2018-12-26??0.048643314


  31. ##?2018-12-27??0.011316355


  33. ##?2018-12-28?-0.003308137


  35. ##?2018-12-31??0.011427645

給出了下面的圖。

可以看到波動率的急劇上升和下降。第3部分將對此進行深入驗證。

輔助函數(shù)

我們需要一些輔助函數(shù)來簡化一些基本的數(shù)據(jù)轉換，摘要和繪圖。

1.從xts轉換為帶有year and value列的數(shù)據(jù)框。這樣就可以進行年度總結和繪制。

  1. ??df\_t?<-?data.frame(year?=?factor(year(index(data\_xts))),?value?=?coredata(data_xts))


  3. ??colnames(df_t)?<-?c(?"year",?"value")

2.摘要統(tǒng)計信息，用于存儲為數(shù)據(jù)框列的數(shù)據(jù)。

  1. ?rownames(basicStats(rnorm(10,0,1)))?#?基本統(tǒng)計數(shù)據(jù)輸出行名稱


  3. with(dataset,?tapply(value,?year,?basicStats))

3.返回關聯(lián)的列名。

??colnames(basicstats\[r,?which(basicstats\[r,\]?>?threshold),?drop?=?FALSE\])

4.基于年的面板箱線圖。

??p?<-?ggplot(data?=?data,?aes(x?=?year,?y?=?value))?+?theme\_bw()?+?theme(legend.position?=?"none")?+?geom\_boxplot(fill?=?"blue")

5.密度圖，以年份為基準。

  1. ??p?<-?ggplot(data?=?data,?aes(x?=?value))?+?geom_density(fill?=?"lightblue")?


  3. ??p?<-?p?+?facet_wrap(.?~?year)

6.基于年份的QQ圖。

  1. ??p?<-?ggplot(data?=?dataset,?aes(sample?=?value))?+?stat\_qq(colour?=?"blue")?+?stat\_qq_line()?


  3. ??p?<-?p?+?facet_wrap(.?~?year)

7. Shapiro檢驗

  1. pvalue?<-?function?(v)?{


  3. ??shapiro.test(v)$p.value


  5. }

每日對數(shù)收益率探索性分析

我們將原始的時間序列轉換為具有年和值列的數(shù)據(jù)框。這樣可以按年簡化繪圖和摘要。

  1. head(ret_df)




  5. ##???year?????????value


  7. ##?1?2007??0.0004945580


  9. ##?2?2007?-0.0066467273


  11. ##?3?2007??0.0020530973


  13. ##?4?2007?-0.0005547987


  15. ##?5?2007??0.0020564627


  17. ##?6?2007??0.0058356461


  19. tail(ret_df)




  23. ##??????year????????value


  25. ##?3014?2018?-0.018286825


  27. ##?3015?2018?-0.029532247


  29. ##?3016?2018??0.048643314


  31. ##?3017?2018??0.011316355


  33. ##?3018?2018?-0.003308137


  35. ##?3019?2018??0.011427645

基本統(tǒng)計摘要

給出了基本統(tǒng)計摘要。

  1. ##???????????????????2007???????2008???????2009???????2010???????2011


  3. ##?nobs????????250.000000?253.000000?252.000000?252.000000?252.000000


  5. ##?NAs???????????0.000000???0.000000???0.000000???0.000000???0.000000


  7. ##?Minimum??????-0.033488??-0.082005??-0.047286??-0.036700??-0.057061


  9. ##?Maximum???????0.025223???0.105083???0.066116???0.038247???0.041533


  11. ##?1.?Quartile??-0.003802??-0.012993??-0.006897??-0.003853??-0.006193


  13. ##?3.?Quartile???0.005230???0.007843???0.008248???0.004457???0.006531


  15. ##?Mean??????????0.000246??-0.001633???0.000684???0.000415???0.000214


  17. ##?Median????????0.001098??-0.000890???0.001082???0.000681???0.000941


  19. ##?Sum???????????0.061427??-0.413050???0.172434???0.104565???0.053810


  21. ##?SE?Mean???????0.000582???0.001497???0.000960???0.000641???0.000837


  23. ##?LCL?Mean?????-0.000900??-0.004580??-0.001207??-0.000848??-0.001434


  25. ##?UCL?Mean??????0.001391???0.001315???0.002575???0.001678???0.001861


  27. ##?Variance??????0.000085???0.000567???0.000232???0.000104???0.000176


  29. ##?Stdev?????????0.009197???0.023808???0.015242???0.010182???0.013283


  31. ##?Skewness?????-0.613828???0.224042???0.070840??-0.174816??-0.526083


  33. ##?Kurtosis??????1.525069???3.670796???2.074240???2.055407???2.453822


  35. ##???????????????????2012???????2013???????2014???????2015???????2016


  37. ##?nobs????????250.000000?252.000000?252.000000?252.000000?252.000000


  39. ##?NAs???????????0.000000???0.000000???0.000000???0.000000???0.000000


  41. ##?Minimum??????-0.023910??-0.023695??-0.020988??-0.036402??-0.034473


  43. ##?Maximum???????0.023376???0.023263???0.023982???0.038755???0.024384


  45. ##?1.?Quartile??-0.003896??-0.002812??-0.002621??-0.005283??-0.002845


  47. ##?3.?Quartile???0.004924???0.004750???0.004230???0.005801???0.004311


  49. ##?Mean??????????0.000280???0.000933???0.000288??-0.000090???0.000500


  51. ##?Median???????-0.000122???0.001158???0.000728??-0.000211???0.000738


  53. ##?Sum???????????0.070054???0.235068???0.072498??-0.022586???0.125884


  55. ##?SE?Mean???????0.000470???0.000403???0.000432???0.000613???0.000501


  57. ##?LCL?Mean?????-0.000645???0.000139??-0.000564??-0.001298??-0.000487


  59. ##?UCL?Mean??????0.001206???0.001727???0.001139???0.001118???0.001486


  61. ##?Variance??????0.000055???0.000041???0.000047???0.000095???0.000063


  63. ##?Stdev?????????0.007429???0.006399???0.006861???0.009738???0.007951


  65. ##?Skewness??????0.027235??-0.199407??-0.332766??-0.127788??-0.449311


  67. ##?Kurtosis??????0.842890???1.275821???1.073234???1.394268???2.079671


  69. ##???????????????????2017???????2018


  71. ##?nobs????????251.000000?251.000000


  73. ##?NAs???????????0.000000???0.000000


  75. ##?Minimum??????-0.017930??-0.047143


  77. ##?Maximum???????0.014468???0.048643


  79. ##?1.?Quartile??-0.001404??-0.005017


  81. ##?3.?Quartile???0.003054???0.005895


  83. ##?Mean??????????0.000892??-0.000231


  85. ##?Median????????0.000655???0.000695


  87. ##?Sum???????????0.223790??-0.057950


  89. ##?SE?Mean???????0.000263???0.000714


  91. ##?LCL?Mean??????0.000373??-0.001637


  93. ##?UCL?Mean??????0.001410???0.001175


  95. ##?Variance??????0.000017???0.000128


  97. ##?Stdev?????????0.004172???0.011313


  99. ##?Skewness?????-0.189808??-0.522618


  101. ##?Kurtosis??????2.244076???2.802996

在下文中，我們對上述一些相關指標進行了具體評論。

平均值

每日對數(shù)收益率具有正平均值的年份是：

  1. filter_stats(stats,?"Mean",?0)




  5. ##?\[1\]?"2007"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2016"?"2017"

按升序排列。

  1. ##???????????2008??????2018???2015?????2011?????2007????2012?????2014


  3. ##?Mean?-0.001633?-0.000231?-9e-05?0.000214?0.000246?0.00028?0.000288


  5. ##??????????2010??2016?????2009?????2017?????2013


  7. ##?Mean?0.000415?5e-04?0.000684?0.000892?0.000933

中位數(shù)

正中位數(shù)是：

  1. filter\_stats(dj\_stats,?"Median",?0)




  5. ##?\[1\]?"2007"?"2009"?"2010"?"2011"?"2013"?"2014"?"2016"?"2017"?"2018"

以升序排列。

  1. ##????????????2008??????2015??????2012?????2017?????2010?????2018?????2014


  3. ##?Median?-0.00089?-0.000211?-0.000122?0.000655?0.000681?0.000695?0.000728


  5. ##????????????2016?????2011?????2009?????2007?????2013


  7. ##?Median?0.000738?0.000941?0.001082?0.001098?0.001158

偏度

偏度（Skewness）可以用來度量隨機變量概率分布的不對稱性。

公式：

其中?

?是均值，??是標準差。

幾何意義：

偏度的取值范圍為(-∞,+∞)

當偏度<0時，概率分布圖左偏（也叫負偏分布，其偏度<0）。

當偏度=0時，表示數(shù)據(jù)相對均勻的分布在平均值兩側，不一定是絕對的對稱分布。

當偏度>0時，概率分布圖右偏（也叫正偏分布，其偏度>0）。

例如上圖中，左圖形狀左偏，右圖形狀右偏。

每日對數(shù)收益出現(xiàn)正偏的年份是：

##?\[1\]?"2008"?"2009"?"2012"

按升序返回對數(shù)偏度。

  1. stats\["Skewness",order(stats\["Skewness",




  5. ##???????????????2007??????2011??????2018??????2016??????2014??????2013


  7. ##?Skewness?-0.613828?-0.526083?-0.522618?-0.449311?-0.332766?-0.199407


  9. ##???????????????2017??????2010??????2015?????2012????2009?????2008


  11. ##?Skewness?-0.189808?-0.174816?-0.127788?0.027235?0.07084?0.224042

峰度

峰度（Kurtosis）可以用來度量隨機變量概率分布的陡峭程度。

公式：

其中??是均值，??是標準差。

幾何意義：

峰度的取值范圍為[1,+∞)，完全服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)的峰度值為 3，峰度值越大，概率分布圖越高尖，峰度值越小，越矮胖。

例如上圖中，左圖是標準正太分布，峰度=3，右圖的峰度=4，可以看到右圖比左圖更高尖。

通常我們將峰度值減去3，也被稱為超值峰度（Excess Kurtosis），這樣正態(tài)分布的峰度值等于0，當峰度值>0，則表示該數(shù)據(jù)分布與正態(tài)分布相比較為高尖，當峰度值<0，則表示該數(shù)據(jù)分布與正態(tài)分布相比較為矮胖。

點擊標題查閱往期內(nèi)容

R語言風險價值：ARIMA，GARCH，Delta-normal法滾動估計VaR（Value at Risk）和回測分析股票數(shù)據(jù)

左右滑動查看更多

01

02

03

04

每日對數(shù)收益出現(xiàn)超值峰度的年份是：

  1. ##??\[1\]?"2007"?"2008"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"


  3. ##?\[11\]?"2017"?"2018"

按升序返回超值峰度。

  1. ##?????????????2012?????2014?????2013?????2015?????2007?????2010????2009


  3. ##?Kurtosis?0.84289?1.073234?1.275821?1.394268?1.525069?2.055407?2.07424


  5. ##??????????????2016?????2017?????2011?????2018?????2008


  7. ##?Kurtosis?2.079671?2.244076?2.453822?2.802996?3.670796

2018年的峰度最接近2008年。

箱形圖

我們可以看到2008年出現(xiàn)了最極端的值。從2009年開始，除了2011年和2015年以外，其他所有值的范圍都變窄了。但是，與2017年和2018年相比，產(chǎn)生極端值的趨勢明顯改善。

密度圖

densityplot(ret_df)

2007年具有顯著的負偏。2008年的特點是平坦。2017年的峰值與2018年的平坦度和左偏一致。

shapiro檢驗

  1. shapirot(ret_df)




  5. ##????????????result


  7. ##?2007?5.989576e-07


  9. ##?2008?5.782666e-09


  11. ##?2009?1.827967e-05


  13. ##?2010?3.897345e-07


  15. ##?2011?5.494349e-07


  17. ##?2012?1.790685e-02


  19. ##?2013?8.102500e-03


  21. ##?2014?1.750036e-04


  23. ##?2015?5.531137e-03


  25. ##?2016?1.511435e-06


  27. ##?2017?3.304529e-05


  29. ##?2018?1.216327e-07

正常的零假設在2007-2018年的所有年份均被拒絕。

每周對數(shù)收益率探索性分析

可以從每日對數(shù)收益率開始計算每周對數(shù)收益率。讓我們假設分析第{t-4，t-3，t-2，t-1，t}天的交易周，并知道第t-5天（前一周的最后一天）的收盤價。我們將每周的對數(shù)收益率定義為：

可以寫為：

因此，每周對數(shù)收益率是應用于交易周窗口的每日對數(shù)收益率之和。

我們來看看每周的對數(shù)收益率。

該圖顯示波動率急劇上升和下降。我們將原始時間序列數(shù)據(jù)轉換為數(shù)據(jù)框。

  1. head(weekly\_ret\_df)




  5. ##???year?????????value


  7. ##?1?2007?-0.0061521694


  9. ##?2?2007??0.0126690596


  11. ##?3?2007??0.0007523559


  13. ##?4?2007?-0.0062677053


  15. ##?5?2007??0.0132434177


  17. ##?6?2007?-0.0057588519


  19. tail(weekly\_ret\_df)




  23. ##?????year???????value


  25. ##?622?2018??0.05028763


  27. ##?623?2018?-0.04605546


  29. ##?624?2018?-0.01189714


  31. ##?625?2018?-0.07114867


  33. ##?626?2018??0.02711928


  35. ##?627?2018??0.01142764

基本統(tǒng)計摘要

  1. dataframe\_basicstats(weekly\_ret_df)




  5. ##??????????????????2007??????2008??????2009??????2010??????2011??????2012


  7. ##?nobs????????52.000000?52.000000?53.000000?52.000000?52.000000?52.000000


  9. ##?NAs??????????0.000000??0.000000??0.000000??0.000000??0.000000??0.000000


  11. ##?Minimum?????-0.043199?-0.200298?-0.063736?-0.058755?-0.066235?-0.035829


  13. ##?Maximum??????0.030143??0.106977??0.086263??0.051463??0.067788??0.035316


  15. ##?1.?Quartile?-0.009638?-0.031765?-0.015911?-0.007761?-0.015485?-0.010096


  17. ##?3.?Quartile??0.014808??0.012682??0.022115??0.016971??0.014309??0.011887


  19. ##?Mean?????????0.001327?-0.008669??0.003823??0.002011??0.001035??0.001102


  21. ##?Median???????0.004244?-0.006811??0.004633??0.004529??0.001757??0.001166


  23. ##?Sum??????????0.069016?-0.450811??0.202605??0.104565??0.053810??0.057303


  25. ##?SE?Mean??????0.002613??0.006164??0.004454??0.003031??0.003836??0.002133


  27. ##?LCL?Mean????-0.003919?-0.021043?-0.005115?-0.004074?-0.006666?-0.003181


  29. ##?UCL?Mean?????0.006573??0.003704??0.012760??0.008096??0.008736??0.005384


  31. ##?Variance?????0.000355??0.001975??0.001051??0.000478??0.000765??0.000237


  33. ##?Stdev????????0.018843??0.044446??0.032424??0.021856??0.027662??0.015382


  35. ##?Skewness????-0.680573?-0.985740??0.121331?-0.601407?-0.076579?-0.027302


  37. ##?Kurtosis????-0.085887??5.446623?-0.033398??0.357708??0.052429?-0.461228


  39. ##??????????????????2013??????2014??????2015??????2016??????2017??????2018


  41. ##?nobs????????52.000000?52.000000?53.000000?52.000000?52.000000?53.000000


  43. ##?NAs??????????0.000000??0.000000??0.000000??0.000000??0.000000??0.000000


  45. ##?Minimum?????-0.022556?-0.038482?-0.059991?-0.063897?-0.015317?-0.071149


  47. ##?Maximum??????0.037702??0.034224??0.037693??0.052243??0.028192??0.050288


  49. ##?1.?Quartile?-0.001738?-0.006378?-0.012141?-0.007746?-0.002251?-0.011897


  51. ##?3.?Quartile??0.011432??0.010244??0.009620??0.012791??0.009891??0.019857


  53. ##?Mean?????????0.004651??0.001756?-0.000669??0.002421??0.004304?-0.001093


  55. ##?Median???????0.006360??0.003961??0.000954??0.001947??0.004080??0.001546


  57. ##?Sum??????????0.241874??0.091300?-0.035444??0.125884??0.223790?-0.057950


  59. ##?SE?Mean??????0.001828??0.002151??0.002609??0.002436??0.001232??0.003592


  61. ##?LCL?Mean?????0.000981?-0.002563?-0.005904?-0.002470??0.001830?-0.008302


  63. ##?UCL?Mean?????0.008322??0.006075??0.004567??0.007312??0.006778??0.006115


  65. ##?Variance?????0.000174??0.000241??0.000361??0.000309??0.000079??0.000684


  67. ##?Stdev????????0.013185??0.015514??0.018995??0.017568??0.008886??0.026154


  69. ##?Skewness????-0.035175?-0.534403?-0.494963?-0.467158??0.266281?-0.658951


  71. ##?Kurtosis????-0.200282??0.282354??0.665460??2.908942?-0.124341?-0.000870

在下文中，我們對上述一些相關指標進行了具體評論。

平均值

每周對數(shù)收益呈正平均值的年份是：

##?\[1\]?"2007"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2016"?"2017"

所有平均值按升序排列。

  1. ##???????????2008??????2018??????2015?????2011?????2012?????2007?????2014


  3. ##?Mean?-0.008669?-0.001093?-0.000669?0.001035?0.001102?0.001327?0.001756


  5. ##??????????2010?????2016?????2009?????2017?????2013


  7. ##?Mean?0.002011?0.002421?0.003823?0.004304?0.004651

中位數(shù)

中位數(shù)是：

  1. ##??\[1\]?"2007"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"?"2017"


  3. ##?\[11\]?"2018"

所有中值按升序排列。

  1. ##?????????????2008?????2015?????2012?????2018?????2011?????2016?????2014


  3. ##?Median?-0.006811?0.000954?0.001166?0.001546?0.001757?0.001947?0.003961


  5. ##???????????2017?????2007?????2010?????2009????2013


  7. ##?Median?0.00408?0.004244?0.004529?0.004633?0.00636

偏度

出現(xiàn)正偏的年份是：

  1. stats(stats,?"Skewness",?0)




  5. ##?\[1\]?"2009"?"2017"

所有偏度按升序排列。

  1. stats\["Skewness",order(stats\["Skewness",,\])\]




  5. ##??????????????2008??????2007??????2018??????2010??????2014??????2015


  7. ##?Skewness?-0.98574?-0.680573?-0.658951?-0.601407?-0.534403?-0.494963


  9. ##???????????????2016??????2011??????2013??????2012?????2009?????2017


  11. ##?Skewness?-0.467158?-0.076579?-0.035175?-0.027302?0.121331?0.266281

峰度

出現(xiàn)正峰度的年份是：

  1. filter_stats(stats,?"Kurtosis",?0)




  5. ##?\[1\]?"2008"?"2010"?"2011"?"2014"?"2015"?"2016"

峰度值都按升序排列。

  1. ##???????????????2012??????2013??????2017??????2007??????2009?????2018


  3. ##?Kurtosis?-0.461228?-0.200282?-0.124341?-0.085887?-0.033398?-0.00087


  5. ##??????????????2011?????2014?????2010????2015?????2016?????2008


  7. ##?Kurtosis?0.052429?0.282354?0.357708?0.66546?2.908942?5.446623

2008年也是每周峰度最高的年份。但是，在這種情況下，2017年的峰度為負，而2016年的峰度為第二。

箱形圖

密度圖

shapiro檢驗

  1. shapirot(weekly_df)




  5. ##????????????result


  7. ##?2007?0.0140590311


  9. ##?2008?0.0001397267


  11. ##?2009?0.8701335006


  13. ##?2010?0.0927104389


  15. ##?2011?0.8650874270


  17. ##?2012?0.9934600084


  19. ##?2013?0.4849043121


  21. ##?2014?0.1123139646


  23. ##?2015?0.3141519756


  25. ##?2016?0.0115380989


  27. ##?2017?0.9465281164


  29. ##?2018?0.0475141869

零假設在2007、2008、2016年被拒絕。

QQ圖

在2008年尤其明顯地違背正態(tài)分布的情況。

交易量探索性分析

在這一部分中，本文將分析道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)（DJIA）的交易量。

獲取數(shù)據(jù)

每日量探索性分析

我們繪制每日交易量。

  1. vol?<-?DJI\[,"DJI.Volume"\]


  3. plot(vol)

值得注意的是，2017年初的水平躍升，我們將在第4部分中進行研究。我們將時間序列數(shù)據(jù)和時間軸索引轉換為數(shù)據(jù)框。

  1. head(dj\_vol\_df)




  5. ##???year?????value


  7. ##?1?2007?327200000


  9. ##?2?2007?259060000


  11. ##?3?2007?235220000


  13. ##?4?2007?223500000


  15. ##?5?2007?225190000


  17. ##?6?2007?226570000


  19. tail(dj\_vol\_df)




  23. ##??????year?????value


  25. ##?3015?2018?900510000


  27. ##?3016?2018?308420000


  29. ##?3017?2018?433080000


  31. ##?3018?2018?407940000


  33. ##?3019?2018?336510000


  35. ##?3020?2018?288830000

基本統(tǒng)計摘要

  1. ##?????????????????????2007?????????2008?????????2009?????????2010


  3. ##?nobs????????2.510000e+02?2.530000e+02?2.520000e+02?2.520000e+02


  5. ##?NAs?????????0.000000e+00?0.000000e+00?0.000000e+00?0.000000e+00


  7. ##?Minimum?????8.640000e+07?6.693000e+07?5.267000e+07?6.840000e+07


  9. ##?Maximum?????4.571500e+08?6.749200e+08?6.729500e+08?4.598900e+08


  11. ##?1.?Quartile?2.063000e+08?2.132100e+08?1.961850e+08?1.633400e+08


  13. ##?3.?Quartile?2.727400e+08?3.210100e+08?3.353625e+08?2.219025e+08


  15. ##?Mean????????2.449575e+08?2.767164e+08?2.800537e+08?2.017934e+08


  17. ##?Median??????2.350900e+08?2.569700e+08?2.443200e+08?1.905050e+08


  19. ##?Sum?????????6.148432e+10?7.000924e+10?7.057354e+10?5.085193e+10


  21. ##?SE?Mean?????3.842261e+06?5.965786e+06?7.289666e+06?3.950031e+06


  23. ##?LCL?Mean????2.373901e+08?2.649672e+08?2.656970e+08?1.940139e+08


  25. ##?UCL?Mean????2.525248e+08?2.884655e+08?2.944104e+08?2.095728e+08


  27. ##?Variance????3.705505e+15?9.004422e+15?1.339109e+16?3.931891e+15


  29. ##?Stdev???????6.087286e+07?9.489163e+07?1.157199e+08?6.270480e+07


  31. ##?Skewness????9.422400e-01?1.203283e+00?1.037015e+00?1.452082e+00


  33. ##?Kurtosis????1.482540e+00?2.064821e+00?6.584810e-01?3.214065e+00


  35. ##?????????????????????2011?????????2012?????????2013?????????2014


  37. ##?nobs????????2.520000e+02?2.500000e+02?2.520000e+02?2.520000e+02


  39. ##?NAs?????????0.000000e+00?0.000000e+00?0.000000e+00?0.000000e+00


  41. ##?Minimum?????8.410000e+06?4.771000e+07?3.364000e+07?4.287000e+07


  43. ##?Maximum?????4.799800e+08?4.296100e+08?4.200800e+08?6.554500e+08


  45. ##?1.?Quartile?1.458775e+08?1.107150e+08?9.488000e+07?7.283000e+07


  47. ##?3.?Quartile?1.932400e+08?1.421775e+08?1.297575e+08?9.928000e+07


  49. ##?Mean????????1.804133e+08?1.312606e+08?1.184434e+08?9.288516e+07


  51. ##?Median??????1.671250e+08?1.251950e+08?1.109250e+08?8.144500e+07


  53. ##?Sum?????????4.546415e+10?3.281515e+10?2.984773e+10?2.340706e+10


  55. ##?SE?Mean?????3.897738e+06?2.796503e+06?2.809128e+06?3.282643e+06


  57. ##?LCL?Mean????1.727369e+08?1.257528e+08?1.129109e+08?8.642012e+07


  59. ##?UCL?Mean????1.880897e+08?1.367684e+08?1.239758e+08?9.935019e+07


  61. ##?Variance????3.828475e+15?1.955108e+15?1.988583e+15?2.715488e+15


  63. ##?Stdev???????6.187468e+07?4.421660e+07?4.459353e+07?5.211034e+07


  65. ##?Skewness????1.878239e+00?3.454971e+00?3.551752e+00?6.619268e+00


  67. ##?Kurtosis????5.631080e+00?1.852581e+01?1.900989e+01?5.856136e+01


  69. ##?????????????????????2015?????????2016?????????2017?????????2018


  71. ##?nobs????????2.520000e+02?2.520000e+02?2.510000e+02?2.510000e+02


  73. ##?NAs?????????0.000000e+00?0.000000e+00?0.000000e+00?0.000000e+00


  75. ##?Minimum?????4.035000e+07?4.589000e+07?1.186100e+08?1.559400e+08


  77. ##?Maximum?????3.445600e+08?5.734700e+08?6.357400e+08?9.005100e+08


  79. ##?1.?Quartile?8.775250e+07?8.224250e+07?2.695850e+08?2.819550e+08


  81. ##?3.?Quartile?1.192150e+08?1.203550e+08?3.389950e+08?4.179200e+08


  83. ##?Mean????????1.093957e+08?1.172089e+08?3.112396e+08?3.593710e+08


  85. ##?Median??????1.021000e+08?9.410500e+07?2.996700e+08?3.414700e+08


  87. ##?Sum?????????2.756772e+10?2.953664e+10?7.812114e+10?9.020213e+10


  89. ##?SE?Mean?????2.433611e+06?4.331290e+06?4.376432e+06?6.984484e+06


  91. ##?LCL?Mean????1.046028e+08?1.086786e+08?3.026202e+08?3.456151e+08


  93. ##?UCL?Mean????1.141886e+08?1.257392e+08?3.198590e+08?3.731270e+08


  95. ##?Variance????1.492461e+15?4.727538e+15?4.807442e+15?1.224454e+16


  97. ##?Stdev???????3.863238e+07?6.875709e+07?6.933572e+07?1.106550e+08


  99. ##?Skewness????3.420032e+00?3.046742e+00?1.478708e+00?1.363823e+00


  101. ##?Kurtosis????1.612326e+01?1.122161e+01?3.848619e+00?3.277164e+00

在下文中，我們對上面顯示的一些相關指標進行了評論。

平均值

每日交易量具有正平均值的年份是：

  1. ##??\[1\]?"2007"?"2008"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"


  3. ##?\[11\]?"2017"?"2018"

所有每日交易量均值按升序排列。

  1. ##??????????2014??????2015??????2016??????2013??????2012??????2011??????2010


  3. ##?Mean?92885159?109395714?117208889?118443373?131260600?180413294?201793373


  5. ##???????????2007??????2008??????2009??????2017??????2018


  7. ##?Mean?244957450?276716364?280053730?311239602?359371036

中位數(shù)

每日交易量中位數(shù)為正的年份是：

  1. ##??\[1\]?"2007"?"2008"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"


  3. ##?\[11\]?"2017"?"2018"

所有每日成交量中值均按升序排列。

  1. ##????????????2014?????2016??????2015??????2013??????2012??????2011??????2010


  3. ##?Median?81445000?94105000?102100000?110925000?125195000?167125000?190505000


  5. ##?????????????2007??????2009??????2008??????2017??????2018


  7. ##?Median?235090000?244320000?256970000?299670000?341470000

偏度

每日交易量出現(xiàn)正偏的年份是：

  1. ##??\[1\]?"2007"?"2008"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"


  3. ##?\[11\]?"2017"?"2018"

每日交易量偏度值均按升序排列。

  1. ##?????????????2007?????2009?????2008?????2018?????2010?????2017?????2011


  3. ##?Skewness?0.94224?1.037015?1.203283?1.363823?1.452082?1.478708?1.878239


  5. ##??????????????2016?????2015?????2012?????2013?????2014


  7. ##?Skewness?3.046742?3.420032?3.454971?3.551752?6.619268

峰度

有正峰度的年份是：

  1. ##??\[1\]?"2007"?"2008"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"


  3. ##?\[11\]?"2017"?"2018"

按升序排列。

  1. ##??????????????2009????2007?????2008?????2010?????2018?????2017????2011


  3. ##?Kurtosis?0.658481?1.48254?2.064821?3.214065?3.277164?3.848619?5.63108


  5. ##??????????????2016?????2015?????2012?????2013?????2014


  7. ##?Kurtosis?11.22161?16.12326?18.52581?19.00989?58.56136

箱形圖

從2010年開始交易量開始下降，2017年出現(xiàn)了顯著增長。2018年的交易量甚至超過了2017年和其他年份。

密度圖

shapiro檢驗

  1. ##????????????result


  3. ##?2007?6.608332e-09


  5. ##?2008?3.555102e-10


  7. ##?2009?1.023147e-10


  9. ##?2010?9.890576e-13


  11. ##?2011?2.681476e-16


  13. ##?2012?1.866544e-20


  15. ##?2013?6.906596e-21


  17. ##?2014?5.304227e-27


  19. ##?2015?2.739912e-21


  21. ##?2016?6.640215e-23


  23. ##?2017?4.543843e-12


  25. ##?2018?9.288371e-11

正態(tài)分布的零假設被拒絕。

QQ圖

QQplots直觀地確認了每日交易量分布的非正態(tài)情況。

每日交易量對數(shù)比率探索性分析

與對數(shù)收益類似，我們可以將交易量對數(shù)比率定義為

vt：= ln(Vt/Vt?1)
我們可以通過PerformanceAnalytics包中的CalculateReturns對其進行計算并將其繪制出來。

plot(vol\_log\_ratio)

將交易量對數(shù)比率時間序列數(shù)據(jù)和時間軸索引映射到數(shù)據(jù)框。

  1. head(dvol_df)




  5. ##???year????????value


  7. ##?1?2007?-0.233511910


  9. ##?2?2007?-0.096538449


  11. ##?3?2007?-0.051109832


  13. ##?4?2007??0.007533076


  15. ##?5?2007??0.006109458


  17. ##?6?2007??0.144221282


  19. tail(vol_df)




  23. ##??????year???????value


  25. ##?3014?2018??0.44563907


  27. ##?3015?2018?-1.07149878


  29. ##?3016?2018??0.33945998


  31. ##?3017?2018?-0.05980236


  33. ##?3018?2018?-0.19249224


  35. ##?3019?2018?-0.15278959

基本統(tǒng)計摘要

  1. ##???????????????????2007???????2008???????2009???????2010???????2011


  3. ##?nobs????????250.000000?253.000000?252.000000?252.000000?252.000000


  5. ##?NAs???????????0.000000???0.000000???0.000000???0.000000???0.000000


  7. ##?Minimum??????-1.606192??-1.122526??-1.071225??-1.050181??-2.301514


  9. ##?Maximum???????0.775961???0.724762???0.881352???1.041216???2.441882


  11. ##?1.?Quartile??-0.123124??-0.128815??-0.162191??-0.170486??-0.157758


  13. ##?3.?Quartile???0.130056???0.145512???0.169233???0.179903???0.137108


  15. ##?Mean?????????-0.002685???0.001203??-0.001973??-0.001550???0.000140


  17. ##?Median???????-0.010972???0.002222??-0.031748??-0.004217??-0.012839


  19. ##?Sum??????????-0.671142???0.304462??-0.497073??-0.390677???0.035162


  21. ##?SE?Mean???????0.016984???0.016196???0.017618???0.019318???0.026038


  23. ##?LCL?Mean?????-0.036135??-0.030693??-0.036670??-0.039596??-0.051141


  25. ##?UCL?Mean??????0.030766???0.033100???0.032725???0.036495???0.051420


  27. ##?Variance??????0.072112???0.066364???0.078219???0.094041???0.170850


  29. ##?Stdev?????????0.268536???0.257612???0.279677???0.306661???0.413341


  31. ##?Skewness?????-0.802037??-0.632586???0.066535??-0.150523???0.407226


  33. ##?Kurtosis??????5.345212???2.616615???1.500979???1.353797??14.554642


  35. ##???????????????????2012???????2013???????2014???????2015???????2016


  37. ##?nobs????????250.000000?252.000000?252.000000?252.000000?252.000000


  39. ##?NAs???????????0.000000???0.000000???0.000000???0.000000???0.000000


  41. ##?Minimum??????-2.158960??-1.386215??-2.110572??-1.326016??-1.336471


  43. ##?Maximum???????1.292956???1.245202???2.008667???1.130289???1.319713


  45. ##?1.?Quartile??-0.152899??-0.145444??-0.144280??-0.143969??-0.134011


  47. ##?3.?Quartile???0.144257???0.149787???0.134198???0.150003???0.141287


  49. ##?Mean??????????0.001642??-0.002442???0.000200???0.000488???0.004228


  51. ##?Median???????-0.000010??-0.004922???0.013460???0.004112??-0.002044


  53. ##?Sum???????????0.410521??-0.615419???0.050506???0.123080???1.065480


  55. ##?SE?Mean???????0.021293???0.019799???0.023514???0.019010???0.019089


  57. ##?LCL?Mean?????-0.040295??-0.041435??-0.046110??-0.036952??-0.033367


  59. ##?UCL?Mean??????0.043579???0.036551???0.046510???0.037929???0.041823


  61. ##?Variance??????0.113345???0.098784???0.139334???0.091071???0.091826


  63. ##?Stdev?????????0.336667???0.314299???0.373274???0.301780???0.303028


  65. ##?Skewness?????-0.878227??-0.297951??-0.209417??-0.285918???0.083826


  67. ##?Kurtosis??????8.115847???4.681120???9.850061???4.754926???4.647785


  69. ##???????????????????2017???????2018


  71. ##?nobs????????251.000000?251.000000


  73. ##?NAs???????????0.000000???0.000000


  75. ##?Minimum??????-0.817978??-1.071499


  77. ##?Maximum???????0.915599???0.926101


  79. ##?1.?Quartile??-0.112190??-0.119086


  81. ##?3.?Quartile???0.110989???0.112424


  83. ##?Mean?????????-0.000017???0.000257


  85. ##?Median???????-0.006322???0.003987


  87. ##?Sum??????????-0.004238???0.064605


  89. ##?SE?Mean???????0.013446???0.014180


  91. ##?LCL?Mean?????-0.026500??-0.027671


  93. ##?UCL?Mean??????0.026466???0.028185


  95. ##?Variance??????0.045383???0.050471


  97. ##?Stdev?????????0.213032???0.224658


  99. ##?Skewness??????0.088511??-0.281007


  101. ##?Kurtosis??????3.411036???4.335748

在下文中，我們對一些相關的上述指標進行了具體評論。

平均值

每日交易量對數(shù)比率具有正平均值的年份是：

##?\[1\]?"2008"?"2011"?"2012"?"2014"?"2015"?"2016"?"2018"

所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。

  1. ##???????????2007??????2013??????2009?????2010?????2017????2011??2014


  3. ##?Mean?-0.002685?-0.002442?-0.001973?-0.00155?-1.7e-05?0.00014?2e-04


  5. ##??????????2018?????2015?????2008?????2012?????2016


  7. ##?Mean?0.000257?0.000488?0.001203?0.001642?0.004228

中位數(shù)

每日交易量對數(shù)比率具有正中位數(shù)的年份是：

##?\[1\]?"2008"?"2014"?"2015"?"2018"

道瓊斯所有每日成交量比率的中位數(shù)均按升序排列。

  1. ##?????????????2009??????2011??????2007??????2017??????2013??????2010


  3. ##?Median?-0.031748?-0.012839?-0.010972?-0.006322?-0.004922?-0.004217


  5. ##?????????????2016???2012?????2008?????2018?????2015????2014


  7. ##?Median?-0.002044?-1e-05?0.002222?0.003987?0.004112?0.01346

偏度

每日成交量比率具有正偏的年份是：

##?\[1\]?"2009"?"2011"?"2016"?"2017"

所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。

  1. ##???????????????2012??????2007??????2008??????2013??????2015??????2018


  3. ##?Skewness?-0.878227?-0.802037?-0.632586?-0.297951?-0.285918?-0.281007


  5. ##???????????????2014??????2010?????2009?????2016?????2017?????2011


  7. ##?Skewness?-0.209417?-0.150523?0.066535?0.083826?0.088511?0.407226

峰度

有正峰度的年份是：

  1. ##??\[1\]?"2007"?"2008"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"


  3. ##?\[11\]?"2017"?"2018"

均按升序排列。

  1. ##??????????????2010?????2009?????2008?????2017?????2018?????2016????2013


  3. ##?Kurtosis?1.353797?1.500979?2.616615?3.411036?4.335748?4.647785?4.68112


  5. ##??????????????2015?????2007?????2012?????2014?????2011


  7. ##?Kurtosis?4.754926?5.345212?8.115847?9.850061?14.55464

箱形圖

可以在2011、2014和2016年發(fā)現(xiàn)正的極端值。在2007、2011、2012、2014年可以發(fā)現(xiàn)負的極端值。

密度圖

shapiro檢驗

  1. ##????????????result


  3. ##?2007?3.695053e-09


  5. ##?2008?6.160136e-07


  7. ##?2009?2.083475e-04


  9. ##?2010?1.500060e-03


  11. ##?2011?3.434415e-18


  13. ##?2012?8.417627e-12


  15. ##?2013?1.165184e-10


  17. ##?2014?1.954662e-16


  19. ##?2015?5.261037e-11


  21. ##?2016?7.144940e-11


  23. ##?2017?1.551041e-08


  25. ##?2018?3.069196e-09

基于報告的p值，我們可以拒絕所有正態(tài)分布的零假設。

QQ圖

在所有報告的年份都可以發(fā)現(xiàn)偏離正態(tài)狀態(tài)。

對數(shù)收益率GARCH模型

我將為工業(yè)平均指數(shù)（DJIA）的每日對數(shù)收益率建立一個ARMA-GARCH模型。

這是工業(yè)平均指數(shù)每日對數(shù)收益的圖。

plot(ret)

離群值檢測

Performance Analytics程序包中的Return.clean函數(shù)能夠清除異常值。在下面，我們將原始時間序列與調(diào)整離群值后的進行比較。

clean(ret,?"boudt")

作為對波動率評估的更為保守的方法，本文將以原始時間序列進行分析。

相關圖

以下是自相關和偏相關圖。

acf(ret)

pacf(dj_ret)

上面的相關圖表明p和q> 0的一些ARMA（p，q）模型。將在本分析的該范圍內(nèi)對此進行驗證。

單位根檢驗

我們運行Augmented Dickey-Fuller檢驗。

  1. ##?


  3. ##?###############################################?


  5. ##?#?Augmented?Dickey-Fuller?Test?Unit?Root?Test?#?


  7. ##?###############################################?


  9. ##?


  11. ##?Test?regression?none?


  13. ##?


  15. ##?


  17. ##?Call:


  19. ##?lm(formula?=?z.diff?~?z.lag.1?-?1?+?z.diff.lag)


  21. ##?


  23. ##?Residuals:


  25. ##???????Min????????1Q????Median????????3Q???????Max?


  27. ##?-0.081477?-0.004141??0.000762??0.005426??0.098777?


  29. ##?


  31. ##?Coefficients:


  33. ##????????????Estimate?Std.?Error?t?value?Pr(>|t|)????


  35. ##?z.lag.1????-1.16233????0.02699?-43.058??<?2e-16?***


  37. ##?z.diff.lag??0.06325????0.01826???3.464?0.000539?***


  39. ##?---


  41. ##?Signif.?codes:??0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1


  43. ##?


  45. ##?Residual?standard?error:?0.01157?on?2988?degrees?of?freedom


  47. ##?Multiple?R-squared:??0.5484,?Adjusted?R-squared:??0.5481?


  49. ##?F-statistic:??1814?on?2?and?2988?DF,??p-value:?<?2.2e-16


  51. ##?


  53. ##?


  55. ##?Value?of?test-statistic?is:?-43.0578?


  57. ##?


  59. ##?Critical?values?for?test?statistics:?


  61. ##???????1pct??5pct?10pct


  63. ##?tau1?-2.58?-1.95?-1.62

基于報告的檢驗統(tǒng)計數(shù)據(jù)與臨界值的比較，我們拒絕單位根存在的零假設。

ARMA模型

現(xiàn)在，我們確定時間序列的ARMA結構，以便對結果殘差進行ARCH效應檢驗。ACF和PACF系數(shù)拖尾表明存在ARMA（2,2）。我們利用auto.arima（）函數(shù)開始構建。

  1. ##?Series:?ret?


  3. ##?ARIMA(2,0,4)?with?zero?mean?


  5. ##?


  7. ##?Coefficients:


  9. ##??????????ar1??????ar2??????ma1?????ma2??????ma3??????ma4


  11. ##???????0.4250??-0.8784??-0.5202??0.8705??-0.0335??-0.0769


  13. ##?s.e.??0.0376???0.0628???0.0412??0.0672???0.0246???0.0203


  15. ##?


  17. ##?sigma^2?estimated?as?0.0001322:??log?likelihood=9201.19


  19. ##?AIC=-18388.38???AICc=-18388.34???BIC=-18346.29


  21. ##?


  23. ##?Training?set?error?measures:


  25. ##????????????????????????ME???????RMSE?????????MAE?MPE?MAPE??????MASE


  27. ##?Training?set?0.0002416895?0.01148496?0.007505056?NaN??Inf?0.6687536


  29. ##??????????????????????ACF1


  31. ##?Training?set?-0.002537238

建議使用ARMA（2,4）模型。但是，ma3系數(shù)在統(tǒng)計上并不顯著，進一步通過以下方法驗證：

  1. ##?z?test?of?coefficients:


  3. ##?


  5. ##??????Estimate?Std.?Error??z?value??Pr(>|z|)????


  7. ##?ar1??0.425015???0.037610??11.3007?<?2.2e-16?***

  9. ##?ar2?-0.878356???0.062839?-13.9779?<?2.2e-16?***


  11. ##?ma1?-0.520173???0.041217?-12.6204?<?2.2e-16?***

  13. ##?ma2??0.870457???0.067211??12.9511?<?2.2e-16?***


  15. ##?ma3?-0.033527???0.024641??-1.3606?0.1736335????


  17. ##?ma4?-0.076882???0.020273??-3.7923?0.0001492?***

  19. ##?---

  21. ##?Signif.?codes:??0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1

因此，我們將MA階q <= 2作為約束。

  1. ##?Series:?dj_ret?


  3. ##?ARIMA(2,0,2)?with?zero?mean?


  5. ##?


  7. ##?Coefficients:


  9. ##???????????ar1??????ar2?????ma1?????ma2


  11. ##???????-0.5143??-0.4364??0.4212??0.3441


  13. ##?s.e.???0.1461???0.1439??0.1512??0.1532


  15. ##?


  17. ##?sigma^2?estimated?as?0.0001325:??log?likelihood=9196.33


  19. ##?AIC=-18382.66???AICc=-18382.64???BIC=-18352.6


  21. ##?


  23. ##?Training?set?error?measures:


  25. ##????????????????????????ME???????RMSE?????????MAE?MPE?MAPE??????MASE


  27. ##?Training?set?0.0002287171?0.01150361?0.007501925?Inf??Inf?0.6684746


  29. ##??????????????????????ACF1


  31. ##?Training?set?-0.002414944

現(xiàn)在，所有系數(shù)都具有統(tǒng)計意義。

  1. ##?z?test?of?coefficients:


  3. ##?


  5. ##?????Estimate?Std.?Error?z?value??Pr(>|z|)????


  7. ##?ar1?-0.51428????0.14613?-3.5192?0.0004328?***


  9. ##?ar2?-0.43640????0.14392?-3.0322?0.0024276?**?


  11. ##?ma1??0.42116????0.15121??2.7853?0.0053485?**?


  13. ##?ma2??0.34414????0.15323??2.2458?0.0247139?*??


  15. ##?---


  17. ##?Signif.?codes:??0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1

使用ARMA（2,1）和ARMA（1,2）進行的進一步驗證得出的AIC值高于ARMA（2,2）。因此，ARMA（2,2）是更可取的。這是結果。

  1. ##?Series:?dj_ret?


  3. ##?ARIMA(2,0,1)?with?zero?mean?


  5. ##?


  7. ##?Coefficients:


  9. ##???????????ar1??????ar2?????ma1


  11. ##???????-0.4619??-0.1020??0.3646


  13. ##?s.e.???0.1439???0.0204??0.1438


  15. ##?


  17. ##?sigma^2?estimated?as?0.0001327:??log?likelihood=9194.1


  19. ##?AIC=-18380.2???AICc=-18380.19???BIC=-18356.15


  21. ##?


  23. ##?Training?set?error?measures:


  25. ##????????????????????????ME???????RMSE?????????MAE?MPE?MAPE??????MASE


  27. ##?Training?set?0.0002370597?0.01151213?0.007522059?Inf??Inf?0.6702687


  29. ##??????????????????????ACF1


  31. ##?Training?set?0.0009366271


  33. coeftest(auto_model3)




  37. ##?


  39. ##?z?test?of?coefficients:


  41. ##?


  43. ##??????Estimate?Std.?Error?z?value??Pr(>|z|)????


  45. ##?ar1?-0.461916???0.143880?-3.2104??0.001325?**?


  47. ##?ar2?-0.102012???0.020377?-5.0062?5.552e-07?***


  49. ##?ma1??0.364628???0.143818??2.5353??0.011234?*??


  51. ##?---


  53. ##?Signif.?codes:??0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1

所有系數(shù)均具有統(tǒng)計學意義。

  1. ##?ARIMA(1,0,2)?with?zero?mean?


  3. ##?


  5. ##?Coefficients:


  7. ##???????????ar1?????ma1??????ma2


  9. ##???????-0.4207??0.3259??-0.0954


  11. ##?s.e.???0.1488??0.1481???0.0198


  13. ##?


  15. ##?sigma^2?estimated?as?0.0001328:??log?likelihood=9193.01


  17. ##?AIC=-18378.02???AICc=-18378???BIC=-18353.96


  19. ##?


  21. ##?Training?set?error?measures:


  23. ##????????????????????????ME??????RMSE?????????MAE?MPE?MAPE??????MASE


  25. ##?Training?set?0.0002387398?0.0115163?0.007522913?Inf??Inf?0.6703448


  27. ##??????????????????????ACF1


  29. ##?Training?set?-0.001958194


  31. coeftest(auto_model4)




  35. ##?


  37. ##?z?test?of?coefficients:


  39. ##?


  41. ##??????Estimate?Std.?Error?z?value??Pr(>|z|)????


  43. ##?ar1?-0.420678???0.148818?-2.8268??0.004702?**?


  45. ##?ma1??0.325918???0.148115??2.2004??0.027776?*??


  47. ##?ma2?-0.095407???0.019848?-4.8070?1.532e-06?***


  49. ##?---


  51. ##?Signif.?codes:??0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1

所有系數(shù)均具有統(tǒng)計學意義。此外，我們使用TSA軟件包報告中的eacf（）函數(shù)。

  1. ##?AR/MA


  3. ##???0?1?2?3?4?5?6?7?8?9?10?11?12?13


  5. ##?0?x?x?x?o?x?o?o?o?o?o?o??o??o??x?


  7. ##?1?x?x?o?o?x?o?o?o?o?o?o??o??o??o?


  9. ##?2?x?o?o?x?x?o?o?o?o?o?o??o??o??o?


  11. ##?3?x?o?x?o?x?o?o?o?o?o?o??o??o??o?


  13. ##?4?x?x?x?x?x?o?o?o?o?o?o??o??o??o?


  15. ##?5?x?x?x?x?x?o?o?x?o?o?o??o??o??o?


  17. ##?6?x?x?x?x?x?x?o?o?o?o?o??o??o??o?


  19. ##?7?x?x?x?x?x?o?o?o?o?o?o??o??o??o

以“ O”為頂點的左上三角形位于（p，q）= {（1,2 ,,（2,2），（1,3）}}內(nèi)，它表示一組潛在候選對象（p，q）值。ARMA（1,2）模型已經(jīng)過驗證。ARMA（2,2）已經(jīng)是候選模型。讓我們驗證ARMA（1,3）。

  1. ##?Call:


  3. ##?


  5. ##?Coefficients:


  7. ##???????????ar1?????ma1??????ma2?????ma3


  9. ##???????-0.2057??0.1106??-0.0681??0.0338


  11. ##?s.e.???0.2012??0.2005???0.0263??0.0215


  13. ##?


  15. ##?sigma^2?estimated?as?0.0001325:??log?likelihood?=?9193.97,??aic?=?-18379.94


  17. coeftest(arima_model5)




  21. ##?


  23. ##?z?test?of?coefficients:


  25. ##?


  27. ##??????Estimate?Std.?Error?z?value?Pr(>|z|)???


  29. ##?ar1?-0.205742???0.201180?-1.0227?0.306461???


  31. ##?ma1??0.110599???0.200475??0.5517?0.581167???


  33. ##?ma2?-0.068124???0.026321?-2.5882?0.009647?**


  35. ##?ma3??0.033832???0.021495??1.5739?0.115501???


  37. ##?---


  39. ##?Signif.?codes:??0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1

只有一個系數(shù)具有統(tǒng)計意義。

結論是，我們選擇ARMA（2,2）作為均值模型。現(xiàn)在，我們可以繼續(xù)進行ARCH效果檢驗。

ARCH效應檢驗

現(xiàn)在，我們可以檢驗模型殘差上是否存在ARCH效應。如果ARCH效應對于我們的時間序列的殘差在統(tǒng)計上顯著，則需要GARCH模型。

  1. ##??ARCH?LM-test;?Null?hypothesis:?no?ARCH?effects


  3. ##?


  5. ##?data:??model\_residuals?-?mean(model\_residuals)


  7. ##?Chi-squared?=?986.82,?df?=?12,?p-value?<?2.2e-16

基于報告的p值，我們拒絕沒有ARCH效應的原假設。

讓我們看一下殘差相關圖。

條件波動率

條件均值和方差定義為：

μt：= E（rt | Ft-1）σt2：= Var（rt | Ft-1）= E [（rt-μt）2 | Ft-1]

條件波動率可以計算為條件方差的平方根。

eGARCH模型

將sGARCH作為方差模型的嘗試未獲得具有統(tǒng)計顯著性系數(shù)的結果。而指數(shù)GARCH（eGARCH）方差模型能夠捕獲波動率內(nèi)的不對稱性。要檢查DJIA對數(shù)收益率內(nèi)的不對稱性，顯示匯總統(tǒng)計數(shù)據(jù)和密度圖。

  1. ##?????????????DAdjusted


  3. ##?nobs?????????3019.000000


  5. ##?NAs?????????????0.000000


  7. ##?Minimum????????-0.082005


  9. ##?Maximum?????????0.105083


  11. ##?1.?Quartile????-0.003991


  13. ##?3.?Quartile?????0.005232


  15. ##?Mean????????????0.000207


  17. ##?Median??????????0.000551


  19. ##?Sum?????????????0.625943


  21. ##?SE?Mean?????????0.000211


  23. ##?LCL?Mean???????-0.000206


  25. ##?UCL?Mean????????0.000621


  27. ##?Variance????????0.000134


  29. ##?Stdev???????????0.011593


  31. ##?Skewness???????-0.141370


  33. ##?Kurtosis???????10.200492

負偏度值確認分布內(nèi)不對稱性的存在。

這給出了密度圖。

我們繼續(xù)提出eGARCH模型作為方差模型（針對條件方差）。更準確地說，我們將使用ARMA（2,2）作為均值模型，指數(shù)GARCH（1,1）作為方差模型對ARMA-GARCH進行建模。

在此之前，我們進一步強調(diào)ARMA（0,0）在這種情況下不令人滿意。ARMA-GARCH：ARMA（0,0）+ eGARCH（1,1）

  1. ##?


  3. ##?*---------------------------------*


  5. ##?*??????????GARCH?Model?Fit????????*


  7. ##?*---------------------------------*


  9. ##?


  11. ##?Conditional?Variance?Dynamics????


  13. ##?-----------------------------------


  15. ##?GARCH?Model??:?eGARCH(1,1)


  17. ##?Mean?Model???:?ARFIMA(0,0,0)


  19. ##?Distribution?:?sstd?


  21. ##?


  23. ##?Optimal?Parameters


  25. ##?------------------------------------


  27. ##?????????Estimate??Std.?Error??t?value?Pr(>|t|)


  29. ##?mu??????0.000303????0.000117???2.5933?0.009506


  31. ##?omega??-0.291302????0.016580?-17.5699?0.000000


  33. ##?alpha1?-0.174456????0.013913?-12.5387?0.000000


  35. ##?beta1???0.969255????0.001770?547.6539?0.000000


  37. ##?gamma1??0.188918????0.021771???8.6773?0.000000


  39. ##?skew????0.870191????0.021763??39.9848?0.000000


  41. ##?shape???6.118380????0.750114???8.1566?0.000000


  43. ##?


  45. ##?Robust?Standard?Errors:


  47. ##?????????Estimate??Std.?Error??t?value?Pr(>|t|)


  49. ##?mu??????0.000303????0.000130???2.3253?0.020055


  51. ##?omega??-0.291302????0.014819?-19.6569?0.000000


  53. ##?alpha1?-0.174456????0.016852?-10.3524?0.000000


  55. ##?beta1???0.969255????0.001629?595.0143?0.000000


  57. ##?gamma1??0.188918????0.031453???6.0063?0.000000


  59. ##?skew????0.870191????0.022733??38.2783?0.000000


  61. ##?shape???6.118380????0.834724???7.3298?0.000000


  63. ##?


  65. ##?LogLikelihood?:?10138.63?


  67. ##?


  69. ##?Information?Criteria


  71. ##?------------------------------------


  73. ##?????????????????????


  75. ##?Akaike???????-6.7119


  77. ##?Bayes????????-6.6980


  79. ##?Shibata??????-6.7119


  81. ##?Hannan-Quinn?-6.7069


  83. ##?


  85. ##?Weighted?Ljung-Box?Test?on?Standardized?Residuals


  87. ##?------------------------------------


  89. ##?????????????????????????statistic?p-value


  91. ##?Lag\[1\]??????????????????????5.475?0.01929


  93. ##?Lag\[2*(p+q)+(p+q)-1\]\[2\]?????6.011?0.02185

  95. ##?Lag\[4*(p+q)+(p+q)-1\]\[5\]?????7.712?0.03472


  97. ##?d.o.f=0


  99. ##?H0?:?No?serial?correlation


  101. ##?


  103. ##?Weighted?Ljung-Box?Test?on?Standardized?Squared?Residuals


  105. ##?------------------------------------


  107. ##?????????????????????????statistic?p-value


  109. ##?Lag\[1\]??????????????????????1.342??0.2467


  111. ##?Lag\[2*(p+q)+(p+q)-1\]\[5\]?????2.325??0.5438

  113. ##?Lag\[4*(p+q)+(p+q)-1\]\[9\]?????2.971??0.7638


  115. ##?d.o.f=2


  117. ##?


  119. ##?Weighted?ARCH?LM?Tests


  121. ##?------------------------------------


  123. ##?????????????Statistic?Shape?Scale?P-Value


  125. ##?ARCH?Lag\[3\]????0.3229?0.500?2.000??0.5699


  127. ##?ARCH?Lag\[5\]????1.4809?1.440?1.667??0.5973


  129. ##?ARCH?Lag\[7\]????1.6994?2.315?1.543??0.7806


  131. ##?


  133. ##?Nyblom?stability?test


  135. ##?------------------------------------


  137. ##?Joint?Statistic:??4.0468


  139. ##?Individual?Statistics:?????????????


  141. ##?mu?????0.2156


  143. ##?omega??1.0830


  145. ##?alpha1?0.5748


  147. ##?beta1??0.8663


  149. ##?gamma1?0.3994


  151. ##?skew???0.1044


  153. ##?shape??0.4940


  155. ##?


  157. ##?Asymptotic?Critical?Values?(10%?5%?1%)


  159. ##?Joint?Statistic:??????????1.69?1.9?2.35


  161. ##?Individual?Statistic:?????0.35?0.47?0.75


  163. ##?


  165. ##?Sign?Bias?Test


  167. ##?------------------------------------


  169. ##????????????????????t-value????prob?sig


  171. ##?Sign?Bias????????????1.183?0.23680????


  173. ##?Negative?Sign?Bias???2.180?0.02932??**

  175. ##?Positive?Sign?Bias???1.554?0.12022????

  177. ##?Joint?Effect?????????8.498?0.03677??**


  179. ##?


  181. ##?


  183. ##?Adjusted?Pearson?Goodness-of-Fit?Test:


  185. ##?------------------------------------


  187. ##???group?statistic?p-value(g-1)


  189. ##?1????20?????37.24??????0.00741


  191. ##?2????30?????42.92??????0.04633


  193. ##?3????40?????52.86??????0.06831


  195. ##?4????50?????65.55??????0.05714


  197. ##?


  199. ##?


  201. ##?Elapsed?time?:?0.6527421

所有系數(shù)均具有統(tǒng)計學意義。但是，根據(jù)以上報告的p值的標準化殘差加權Ljung-Box檢驗，我們確認該模型無法捕獲所有ARCH效果（我們拒絕了殘差內(nèi)無相關性的零假設） ）。

作為結論，我們通過在下面所示的GARCH擬合中指定ARMA（2,2）作為均值模型來繼續(xù)進行。

ARMA-GARCH：ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）

  1. ##?


  3. ##?*---------------------------------*


  5. ##?*??????????GARCH?Model?Fit????????*


  7. ##?*---------------------------------*


  9. ##?


  11. ##?Conditional?Variance?Dynamics????


  13. ##?-----------------------------------


  15. ##?GARCH?Model??:?eGARCH(1,1)


  17. ##?Mean?Model???:?ARFIMA(2,0,2)


  19. ##?Distribution?:?sstd?


  21. ##?


  23. ##?Optimal?Parameters


  25. ##?------------------------------------


  27. ##?????????Estimate??Std.?Error????t?value?Pr(>|t|)


  29. ##?ar1?????-0.47642????0.026115???-18.2433????????0


  31. ##?ar2?????-0.57465????0.052469???-10.9523????????0


  33. ##?ma1??????0.42945????0.025846????16.6157????????0


  35. ##?ma2??????0.56258????0.054060????10.4066????????0


  37. ##?omega???-0.31340????0.003497???-89.6286????????0


  39. ##?alpha1??-0.17372????0.011642???-14.9222????????0


  41. ##?beta1????0.96598????0.000027?35240.1590????????0


  43. ##?gamma1???0.18937????0.011893????15.9222????????0


  45. ##?skew?????0.84959????0.020063????42.3469????????0


  47. ##?shape????5.99161????0.701313?????8.5434????????0


  49. ##?


  51. ##?Robust?Standard?Errors:


  53. ##?????????Estimate??Std.?Error????t?value?Pr(>|t|)


  55. ##?ar1?????-0.47642????0.007708???-61.8064????????0


  57. ##?ar2?????-0.57465????0.018561???-30.9608????????0


  59. ##?ma1??????0.42945????0.007927????54.1760????????0


  61. ##?ma2??????0.56258????0.017799????31.6074????????0


  63. ##?omega???-0.31340????0.003263???-96.0543????????0


  65. ##?alpha1??-0.17372????0.012630???-13.7547????????0


  67. ##?beta1????0.96598????0.000036?26838.0412????????0


  69. ##?gamma1???0.18937????0.013003????14.5631????????0


  71. ##?skew?????0.84959????0.020089????42.2911????????0


  73. ##?shape????5.99161????0.707324?????8.4708????????0


  75. ##?


  77. ##?LogLikelihood?:?10140.27?


  79. ##?


  81. ##?Information?Criteria


  83. ##?------------------------------------


  85. ##?????????????????????


  87. ##?Akaike???????-6.7110


  89. ##?Bayes????????-6.6911


  91. ##?Shibata??????-6.7110


  93. ##?Hannan-Quinn?-6.7039


  95. ##?


  97. ##?Weighted?Ljung-Box?Test?on?Standardized?Residuals


  99. ##?------------------------------------


  101. ##??????????????????????????statistic?p-value


  103. ##?Lag\[1\]?????????????????????0.03028??0.8619


  105. ##?Lag\[2*(p+q)+(p+q)-1\]\[11\]???5.69916??0.6822


  107. ##?Lag\[4*(p+q)+(p+q)-1\]\[19\]??12.14955??0.1782


  109. ##?d.o.f=4


  111. ##?H0?:?No?serial?correlation


  113. ##?


  115. ##?Weighted?Ljung-Box?Test?on?Standardized?Squared?Residuals


  117. ##?------------------------------------


  119. ##?????????????????????????statistic?p-value


  121. ##?Lag\[1\]??????????????????????1.666??0.1967


  123. ##?Lag\[2*(p+q)+(p+q)-1\]\[5\]?????2.815??0.4418


  125. ##?Lag\[4*(p+q)+(p+q)-1\]\[9\]?????3.457??0.6818


  127. ##?d.o.f=2


  129. ##?


  131. ##?Weighted?ARCH?LM?Tests


  133. ##?------------------------------------


  135. ##?????????????Statistic?Shape?Scale?P-Value


  137. ##?ARCH?Lag\[3\]????0.1796?0.500?2.000??0.6717


  139. ##?ARCH?Lag\[5\]????1.5392?1.440?1.667??0.5821


  141. ##?ARCH?Lag\[7\]????1.6381?2.315?1.543??0.7933


  143. ##?


  145. ##?Nyblom?stability?test


  147. ##?------------------------------------


  149. ##?Joint?Statistic:??4.4743


  151. ##?Individual?Statistics:??????????????


  153. ##?ar1????0.07045


  155. ##?ar2????0.37070


  157. ##?ma1????0.07702


  159. ##?ma2????0.39283


  161. ##?omega??1.00123


  163. ##?alpha1?0.49520


  165. ##?beta1??0.79702


  167. ##?gamma1?0.51601


  169. ##?skew???0.07163


  171. ##?shape??0.55625


  173. ##?


  175. ##?Asymptotic?Critical?Values?(10%?5%?1%)


  177. ##?Joint?Statistic:??????????2.29?2.54?3.05


  179. ##?Individual?Statistic:?????0.35?0.47?0.75


  181. ##?


  183. ##?Sign?Bias?Test


  185. ##?------------------------------------


  187. ##????????????????????t-value????prob?sig


  189. ##?Sign?Bias???????????0.4723?0.63677????


  191. ##?Negative?Sign?Bias??1.7969?0.07246???*


  193. ##?Positive?Sign?Bias??2.0114?0.04438??**


  195. ##?Joint?Effect????????7.7269?0.05201???*


  197. ##?


  199. ##?


  201. ##?Adjusted?Pearson?Goodness-of-Fit?Test:


  203. ##?------------------------------------


  205. ##???group?statistic?p-value(g-1)


  207. ##?1????20?????46.18????0.0004673


  209. ##?2????30?????47.73????0.0156837


  211. ##?3????40?????67.07????0.0034331


  213. ##?4????50?????65.51????0.0574582


  215. ##?


  217. ##?


  219. ##?Elapsed?time?:?0.93679

所有系數(shù)均具有統(tǒng)計學意義。在標準化殘差或標準化平方殘差內(nèi)未發(fā)現(xiàn)相關性。模型正確捕獲所有ARCH效果。然而：

*對于某些模型參數(shù)，Nyblom穩(wěn)定性檢驗無效假設認為模型參數(shù)隨時間是恒定的

*正偏差為零的假設在5％的顯著性水平上被拒絕；這種檢驗著重于正面沖擊的影響

*拒絕了標準化殘差的經(jīng)驗和理論分布相同的Pearson擬合優(yōu)度檢驗原假設

_注意_：ARMA（1,2）+ eGARCH（1,1）擬合還提供統(tǒng)計上顯著的系數(shù)，標準化殘差內(nèi)沒有相關性，標準化平方殘差內(nèi)沒有相關性，并且正確捕獲了所有ARCH效應。但是，偏差檢驗在5％時不如ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）模型令人滿意。

進一步顯示診斷圖。

我們用平均模型擬合（紅線）和條件波動率（藍線）顯示了原始的對數(shù)收益時間序列。

  1. p?<-?addSeries(mean\_model\_fit,?col?=?'red',?on?=?1)


  3. p?<-?addSeries(cond_volatility,?col?=?'blue',?on?=?1)


  5. p

模型方程式

結合ARMA（2,2）和eGARCH模型，我們可以：

yt ? ?1yt?1 ? ?2yt?2 = ?0 + ut + θ1ut?1 +θ2ut-2ut= σt?t，?t = N（0,1）ln?（σt2）=ω+ ∑j = 1q（αj?t?j2 +γ （?t?j–E | ?t?j |））+ ∑i =1pβiln（σt?12）

使用模型結果系數(shù)，結果如下。

yt +0.476 yt-1 +0.575 yt-2 = ut +0.429 ut-1 +0.563 ut-2ut = σt?t，?t = N（0,1）ln?（σt2）= -0.313 -0.174?t-12 +0.189（ ?t?1–E | ?t?1 |））+ 0.966 ln（σt?12）

波動率分析

這是由ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）模型得出的條件波動圖。

plot(cond_volatility)

顯示了年條件波動率的線線圖。

  1. pl?<-?lapply(2007:2018,?function(x)?{?plot(cond_volatility\[as.character(x)\])


  3. pl

顯示了按年列出的條件波動率箱圖。

2008年之后，日波動率基本趨于下降。在2017年，波動率低于其他任何年。不同的是，與2017年相比，我們在2018年的波動性顯著增加。

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