學(xué)不明白的數(shù)學(xué)分析（五十六）

2023-02-17 21:38 作者:不能吃的大魚 0人讀過 | 我要投稿

經(jīng)過了補(bǔ)充的預(yù)備節(jié)之后，有關(guān)反常積分的各種基本概念都交代的差不多了。可以看到，所謂反常積分，本質(zhì)上就是對一般積分的推廣，使之能夠適用于更多場合，幫助我們解決更多的問題。

但是，我們雖然已經(jīng)對其基本概念做足了討論，但是就實(shí)際應(yīng)用而言，有些積分我們未必求得出極限值，因此也就很難通過定義來判斷反常積分本身到底是否收斂。為此，我們需要引進(jìn)一些判別法，來幫助我們解決這一問題。

這里補(bǔ)充一句上一篇專欄忘記提及的點(diǎn)，就是說，雖然我們推廣了可積函數(shù)的類別，但是要注意到，我們一直稱無窮積分和瑕積分為廣義積分。也就是說，盡管需要這兩類積分的時(shí)候我們可以計(jì)算并給出結(jié)果，但是就一般情況而言，提及積分本身，我們?nèi)匀恢傅氖荝iemann和定義的常義積分，因此可積函數(shù)仍然要滿足我們在定積分部分提到過的各種性質(zhì)。（比如有界等等……）

記得區(qū)分可積函數(shù)類和廣義可積函數(shù)類就好~

Chapter? Sixteen? 反常積分

16.1? 非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法

從積分的Riemann和定義，我們不難理解，其實(shí)所謂積分，就是極細(xì)分割下的離散求和。而由于分割極細(xì)，函數(shù)在一個(gè)小區(qū)間內(nèi)的不同點(diǎn)處的區(qū)分已經(jīng)十分不明顯，因此我們就稱積分是關(guān)于函數(shù)的一種連續(xù)求和。那么與之對應(yīng)，在分割不是很細(xì)的情況下的求和就是一般的離散求和。

從這個(gè)含義上去理解，我們就不難說，實(shí)際上無窮積分和數(shù)項(xiàng)級數(shù)是一對對應(yīng)的概念。因此，接下來我們我們所提到的各種判別法，只不過是在函數(shù)與數(shù)列都共有的性質(zhì)上，將數(shù)項(xiàng)級數(shù)的判別法平推到了無窮積分上來。

（默認(rèn)函數(shù)可積）

比如說：

設(shè)函數(shù) $f$ 是定義在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上的非負(fù)函數(shù)，那么無窮積分收斂的充要條件是：

$%5Cint_a%5EAf(x)%5Ctext%20dx$

在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上有界。

以及類似的比較判別法及其極限形式，這些就交給大家自己去寫一下吧~

特別地，我們要提一下無窮積分與數(shù)項(xiàng)級數(shù)的更深入的聯(lián)系：

設(shè)函數(shù) $f$ 是定義在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上的非負(fù)函數(shù)。若存在一非負(fù)且遞增至正無窮的數(shù)列 $%5C%7BA_n%5C%7D$ ，使得級數(shù)：

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cint_%7BA_n%7D%5E%7BA_%7Bn%2B1%7D%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%20%5Cquad%20(A_1%3Da)$

收斂，則積分：

$%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Df(x)%5Ctext%20dx$

收斂，且有：

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cint_%7BA_n%7D%5E%7BA_%7Bn%2B1%7D%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%20%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Df(x)%5Ctext%20dx$

（定理1）

證明不是很難，就交給大家自己完成吧~

最后，我們要指出一點(diǎn)，就是對于數(shù)項(xiàng)級數(shù)成立的必要條件對于無窮積分而言就不在有類似的限制，比如說：

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B1%2Bx%5E6%5Csin%20%5E2x%7D%20%5Ctext%20dx$

（積分1）

盡管：

$%5Cfrac%7Bn%5Cpi%7D%7B1%2B(n%5Cpi)%5E6%5Csin%20%5E2%20(n%5Cpi)%7D%20%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$

因此：

$%5Cfrac%7Bx%7D%7B1%2Bx%5E6%5Csin%20%5E2x%7D%20%5Cnrightarrow%200$

但是這一積分仍然是收斂的。

Chapter? Sixteen? 反常積分

16.2? 無窮積分的Dirichlet和Abel收斂判別法

從無窮積分的概念來看，可以說，無窮積分本質(zhì)上是一種函數(shù)極限。因此，對于無窮積分收斂，也就不難想到有（以積分上限為正無窮的無窮積分為例）：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9Ea%EF%BC%8C%5Cforall%20A%2CB%EF%BC%9E%5Cdelta%20%EF%BC%8C%5Cbigg%7C%5Cint_A%5EB%20f(x)%5Ctext%20dx%5Cbigg%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.%5CLeftrightarrow%20%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Df(x)%5Ctext%20dx%20%E6%94%B6%E6%95%9B$

（Cauchy收斂原理）

類似地，對于無窮積分也有Weierstrass控制判別法，證明也是十分簡單，在此不再贅述。并且，由于控制判別法存在，因此無窮積分也有絕對周練和條件收斂的概念，我們也不再多說。

對照數(shù)項(xiàng)級數(shù)，正常來講，我們接下來就該介紹有關(guān)無窮積分收斂的Dirichlet判別法和Abel判別法了。我們回憶一下，在證明數(shù)項(xiàng)級數(shù)的這兩個(gè)判別法的時(shí)候，使用了Abel分部求和公式以及Abel引理。為此，我們需要尋找在無窮積分方面與之類似的定理。

我們先來介紹一個(gè)定積分里比較重要的一個(gè)定理——第二積分中值定理。表述如下：

設(shè)函數(shù) $f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上可積， $g$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上非負(fù)，則：

（1）若 $g$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上遞減，則一定存在 $%5Cxi%20%5Cin%5Ba%2Cb%5D$ ，使得：

$%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%3Dg(a)%5Cint_a%5E%5Cxi%20f(x)%5Ctext%20dx$ ；

（2）

若 $g$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上遞增，則一定存在 $%5Cxi%20%5Cin%5Ba%2Cb%5D$ ，使得：

$%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%3Dg(b)%5Cint_%5Cxi%5Eb%20f(x)%5Ctext%20dx$

現(xiàn)在，我們對區(qū)間 $%5Ba%2Cb%5D$ 做任意的一個(gè)分割：

$%5Cpi%3Aa%3Dx_0%EF%BC%9Cx_1%EF%BC%9C%5Ccdots%EF%BC%9Cx_n%3Db$

并對每個(gè)子區(qū)間，利用（第一）積分中值定理，就有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%26%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cint_%7Bx_%7Bi-1%7D%7D%5E%7Bx_i%7D%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20g(%5Cxi%20_%7Bi%7D)%20%5Cint_%7Bx_%7Bi-1%7D%7D%5E%7Bx_i%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26(%5Cxi%20_i%5Cin%5Bx_%7Bi-1%7D%2Cx_i%5D)%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

記：

$F(x)%3D%5Cint_a%5Exf(x)%5Ctext%20dx$

$b_i%3Dg(%5Cxi%20_i)$

因此，有：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ek%20a_i%20%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ek%20%5Cint_%7Bx_%7Bi-1%7D%7D%5E%7Bx_i%7D%0Af(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_a%5E%7Bx_k%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3DS_k%3DF(x_k)$

$b_1%5Cge%20b_2%5Cge%20%5Ccdots%20%5Cge%20b_n$

由Abel求和公式，有：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20g(%5Cxi_i)%5Cint_%7Bx_i-1%7D%5E%7Bx_i%7Df(x)%5Ctext%20dx%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20a_ib_i%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%20S_i(b_i-b_%7Bi%2B1%7D)%2BS_nb_n$

由變上限積分的性質(zhì)，我們知道 $F(x)$ 是區(qū)間 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的連續(xù)函數(shù)，因此存在最值：

$m%5Cle%20F(x)%5Cle%20M$

則我們得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20g(%5Cxi%20_%7Bi%7D)%20%5Cint_%7Bx_%7Bi-1%7D%7D%5E%7Bx_i%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%5Cin%5Bm%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%20(b_i-b_%7Bi%2B1%7D)%2Bmb_n%2CM%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%20(b_i-b_%7Bi%2B1%7D)%2BMb_n%5D%5C%5C%0A%26%5Cin%5Bmb_1%2CMb_1%5D%5C%5C%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

又由連續(xù)函數(shù)介值定理，就有：

$%5Cforall%20c%5Cin%5Bm%2CM%5D%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cxi%5Cin%5Ba%2Cb%5D%EF%BC%8CF(%5Cxi)%3Dc$

進(jìn)而得到：

$%5Cexists%20%5Cxi%5Cin%5Ba%2Cb%5D%EF%BC%8C%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%3DF(%5Cxi)g(%5Cxi_1)%3Dg(%5Cxi_1)%5Cint_a%5E%5Cxi%20f(x)%5Ctext%20%20dx$

由于我們對分割的做法是任意的，因此我們可以對分割取極限：

$%5C%7C%5Cpi%5C%7C%5Crightarrow%200$

此時(shí)， $%5Cxi%20_1%5Crightarrow%20a$ ，即：

$%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%5Cin%5Bmg(a)%2CMg(a)%5D$

于是，我們就得到了：

$%5Cexists%20%5Cxi%5Cin%5Ba%2Cb%5D%EF%BC%8C%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%3DF(%5Cxi)g(a)%3Dg(a)%5Cint_a%5E%5Cxi%20f(x)%5Ctext%20%20dx$

對于這一定理，我們有推廣的結(jié)論：

設(shè)函數(shù) $f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上可積， $g$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上單調(diào)，則一定存在 $%5Cxi%20%5Cin%5Ba%2Cb%5D$ ，使得：

$%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%3Dg(a)%5Cint_a%5E%5Cxi%20f(x)%5Ctext%20dx%2Bg(b)%5Cint_%5Cxi%5Eb%20f(x)%5Ctext%20dx$

（第二積分中值推廣定理）

證明留給大家。

利用推廣后的第二積分中值定理，我們能夠證明關(guān)于無窮積分的Abel引理：

設(shè)函數(shù) $f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上可積， $g$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上單調(diào)。若對任意的 $A%5Cin%5Ba%2Cb%5D$ ，有：

$%5Cbigg%7C%5Cint_a%5EAf(x)%5Cbigg%7C%5Cle%20M$

則：

$%5Cbigg%7C%5Cint_a%5Eb%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx%5Cbigg%7C%5Cle%20M(%7Cg(a)%7C%2B2%7Cg(b)%7C)$

我們直接將對于無窮積分的Dirichlet判別法和Abel判別法敘述如下，因?yàn)檫@與數(shù)項(xiàng)級數(shù)高度一致：

（1）Dirichlet判別法：若

① $g$ 在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上單調(diào)，且 $%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20g(x)%3D0%20$ ；

② $%5Cbigg%7C%5Cint_a%5EAf(x)%5Ctext%20dx%5Cbigg%7C%5Cle%20M%5Cquad%20(A%5Cin(a%2C%2B%E2%88%9E))$

則積分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx$ 收斂；

（2）Abel判別法：若

① $g$ 在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上單調(diào)有界；

② $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Df(x)%5Ctext%20dx$ 收斂；

則積分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx$ 收斂。

Chapter? Sixteen? 反常積分

16.3? 瑕積分的收斂判別法

其實(shí)，這一節(jié)完全沒必要再添加新的內(nèi)容。（）

我們考慮瑕積分：

$%5Clim_%7B%5Cxi%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_a%5E%7Bb-%5Cxi%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%20$

作變換：

$t%3Db-x$

就有：

$%5Clim_%7B%5Cxi%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_a%5E%7Bb-%5Cxi%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%20%3D-%5Clim_%7B%5Cxi%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_%7Bb-a%7D%5E%7B%5Cxi%7D%20f(b-t)%5Ctext%20dt%20$

再變換：

$y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%20$

得到：

$%5Clim_%7B%5Cxi%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_a%5E%7Bb-%5Cxi%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%20%3D-%5Clim_%7B%5Cxi%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_%7Bb-a%7D%5E%7B%5Cxi%7D%20f(b-t)%5Ctext%20dt%20%3D%5Clim_%7B%5Ceta%20%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bb-a%7D%7D%5E%7B%5Ceta%20%7D%20%5Cfrac%7Bf(b-%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D)%7D%7By%5E2%7D%20%5Ctext%20dy%20$

這是一個(gè)無窮積分，即：

$%5Cint_a%5Ebf(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bb-a%7D%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bf(b-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%7D%7Bx%5E2%7D%5Ctext%20dx$

于是，我們可以對函數(shù)：

$h(x)%3D%5Cfrac%7Bf(b-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%20%7D%7Bx%5E2%7D%20$

進(jìn)行研究，利用無窮積分的收斂判別法，得到有關(guān)于瑕積分的判別法。因此，我們就不再多說了。

Chapter? Sixteen? 反常積分

16.4? 反常重積分

這一部分不是很重要吧，至少目前這一階段是，于是幾張圖片展示一下即可~

思考：

證明定理1；
證明積分1收斂；
證明第二積分中值定理（2）；
證明第二積分中值推廣定理；
證明無窮積分的Abel引理；
簡單討論瑕積分的收斂判別法；
判斷下列積分的斂散性：

（1）

$%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%20%5Ctext%20dx$

（2）

$%5Cint_e%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Ctext%20dx%7D%7Bx(%5Cln%20x)%5Ep%7D%20$

（3）

$%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20x%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-x%7D%5Ctext%20dx$

（4）

$%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B(%5Cln%20x)%5Ep%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%20%5Ctext%20dx%5Cquad%20(p%EF%BC%9E0)$

（5）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20%5Ccos%20x%7D%7B1%2Bx%7D%20%5Ctext%20dx$

（6）

$%5Cint_0%5E1%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%7Be%5E%7B%5Csin%20x%7D-1%7D%20%5Ctext%20dx$

（7）

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%20%5Cfrac%7B%5Cln%20%5Csin%20x%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%5Ctext%20dx$
判斷下列積分的收斂性（包括絕對收斂和條件收斂）：

（1）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20%5Csin%20x%7D%7B1%2Bx%7D%20%5Ctext%20dx$

（2）

$%5Cint_2%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%5Cln%20x%7D%20%5Ctext%20dx$

（3）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bx%5Ep%5Csin%20x%7D%7B1%2Bx%5Eq%7D%20%5Ctext%20dx%5Cquad(q%5Cge%200)$
證明：若：

①積分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx$ 收斂；

② $%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%3Db%20$ 存在；

則 $b%3D0$ ；