如圖：M為BC中點(diǎn)，EF=1/2BC，圓ACE再次交AB于P，圓ABF 再次交AC于Q求證：APQM四點(diǎn)共圓。

首先觀察圖中點(diǎn)的生成方式，M是中點(diǎn)，平凡普通，PQ是交出來(lái)的，也沒(méi)什么奇怪的，只有EF兩點(diǎn)由一個(gè)長(zhǎng)度關(guān)系進(jìn)行限定。那么自然的，便會(huì)考慮EF兩點(diǎn)的畫(huà)法。一個(gè)常見(jiàn)的畫(huà)法便是在BC上取一點(diǎn)D，然后分別取BD，CD中點(diǎn)得到EF。

縱觀點(diǎn)的生成順序，不難發(fā)現(xiàn)D是一個(gè)很重要的點(diǎn)，我們先探索D點(diǎn)的性質(zhì)。

由中點(diǎn)，得DF*DB=DE*DC,從而D在兩圓根軸上，即ADG三點(diǎn)共線；CQ*CA=CF*CB=CD*CM。這兩個(gè)結(jié)論為共圓的證明帶來(lái)了契機(jī)。

首先由CQ*CA=CD*CM，得AQDM四點(diǎn)共圓，于是要證APDM四點(diǎn)共圓只需證APDQ四點(diǎn)共圓（已知一個(gè)共圓，證另一個(gè)點(diǎn)也在這個(gè)圓上）那么如何證這個(gè)四點(diǎn)共圓呢？

由APGC共圓，有∠AGP=∠ACP，而要證的共圓讓我們關(guān)注到了∠ADP與∠AQP這對(duì)對(duì)視角，由這兩對(duì)角，我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了證明△PDG∽△PQC。

現(xiàn)在我們有一對(duì)等角，我們只要再找出一對(duì)邊長(zhǎng)成比例就好。在圓APC中，PG/PC=sin∠PAG/sin∠PAC，由對(duì)視角相等，以及對(duì)角互補(bǔ)，∠PAG=∠DFG，∠QFC=∠BAC，∠ABC=∠AGF=∠FQC。由∠AGF=∠FQC以及DF=FC，易得△DGF與△FQC的外接圓是等圓，于是DG/CQ=sin∠DFG/sin∠QFC=sin∠PAG/sin∠PAC=PG/PC。

于是我們成功證明了上述相似。原命題也就得證了。