史濟懷老師視頻課微分方程部分——

&3.二階線性微分方程的一般理論

&3.1二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)

定義：設(shè)?φ1（x），……?，φm（x）是定義在（a，b）上的m個函數(shù)，如果存在不全為0的c1，……，cm，使得c1φ1（x）+……+cmφm（x）=0，x屬于（a，b）就稱φ1（x），……?，φm（x）在（a，b）上線性相關(guān)，否則，稱為線性無關(guān)的。? ?

推廣：兩個函數(shù)y1（x），y2（x）線性相關(guān)，即在（a，b）上的2個函數(shù)，如果存在不全為0的c1，c2，使得c1y1（x）+c2y2（x）=0，x屬于（a，b）就稱y1（x），y2（x）在（a，b）上線性相關(guān)，否則，稱為線性無關(guān)的。

推論：兩個函數(shù)線性相關(guān)，則一個函數(shù)是另一個函數(shù)的常數(shù)倍。

證明：

1. 兩個函數(shù)y1（x），y2（x）在（a，b）線性相關(guān)，即——

   在（a，b）上的2個函數(shù)，存在不全為0的c1，c2，使得c1y1（x）+c2y2（x）=0，x屬于（a，b）；

2. 假設(shè)c1≠0，由c1y1（x）+c2y2（x）=0，y1（x）=-（c2/c1）y2（x），得證。

例1：求證 1，(cos x)^2，(sin?x)^2是否線性相關(guān)。

解：

1. 由經(jīng)驗知(cos x)^2+(sin?x)^2=1，即-1+(cos x)^2+(sin?x)^2=0；

2. 則存在c1=-1，c2=1，c3=1，使得c1*1+c2*(cos x)^2+c3*(sin?x)^2=0，所以?1，(cos x)^2，(sin?x)^2線性相關(guān)。

例2：求證?1，cos x，sin?x是否線性相關(guān)。

解：

（反證法）——

1. 假設(shè)存在不全為0的數(shù)c1，c2，c3，使得c1*1+c2*cos x+c3*sin?x=0；

2. 當x=0時，c1*1+c2*cos?0+c3*sin?0=c1*1+c2*1+c3*0=c1+c2=0；

3. 當x=π/2時，c1*1+c2*cos?π/2+c3*sin?π/2=c1*1+c2*0+c3*1=c1+c3=0；

4. 當x=π時，c1*1+c2*cos?π+c3*sin?π=c1*1-c2*1+c3*0=c1-c2=0；

5. 由2、3、4得到，c1=c2=c3=0，與假設(shè)矛盾，故而，?1，cos x，sin?x是線性無關(guān)。