2023年3月，一個(gè)由職業(yè)數(shù)學(xué)家和愛(ài)好者組成的小團(tuán)隊(duì)發(fā)表了一項(xiàng)重要的工作，他們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)“帽子”圖形，可以解決平面密鋪領(lǐng)域的“愛(ài)因斯坦問(wèn)題”。僅僅三個(gè)月后，他們?cè)龠M(jìn)一步，在帽子的基礎(chǔ)上找到了無(wú)需鏡像對(duì)稱的非周期密鋪圖形。而這些驚人的發(fā)現(xiàn)，是從一位業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者開(kāi)始的。

撰文?|?嘉偉

“它竟然就隱藏在眾目睽睽之下。”

——賓夕法尼亞州摩拉維亞大學(xué)名譽(yù)數(shù)學(xué)教授 Doris Schattschneider

2022年11月中旬，已退休的印刷技師David Smith有了充足的時(shí)間去做他最喜歡的事情之一：擺弄和設(shè)計(jì)拼圖積木。
借助名為 PolyForm Puzzle Solver的軟件包，他構(gòu)建了一個(gè)看起來(lái)不起眼的形如帽子（hat）的瓷磚塊（鋪砌塊）。他想看看是否可以僅用這種形狀的瓷磚不留縫隙又不重疊地覆蓋平面。
“我注意到它產(chǎn)生了一種我以前從未見(jiàn)過(guò)的組合鑲嵌效果?！彼f(shuō)，“這是一種棘手的小瓷磚?！薄?/span>
他向志趣相投的好友、加拿大滑鐵盧大學(xué)的計(jì)算機(jī)科學(xué)家Craig Kaplan描述了自己的作品，令后者意識(shí)到某種可能性。Smith和Kaplan隨后又邀請(qǐng)另兩位研究人員——美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)博物館和阿肯色大學(xué)的數(shù)學(xué)家Chaim Goodman-Strauss 和英國(guó)劍橋的軟件工程師 Joseph Samuel Myers——加入他們的團(tuán)隊(duì)。
擁有組合數(shù)學(xué)方向博士學(xué)位的Myers立刻將所有業(yè)余時(shí)間投入到對(duì)帽子形瓷磚的分析上，并在短短一周多的時(shí)間里，給出了關(guān)鍵性的證明過(guò)程。Kaplan說(shuō)：“看到他如此迅速地搞定一切，我們都感到非常震驚?！?/span>
2023年3月20日，這支4人團(tuán)隊(duì)正式向數(shù)學(xué)界宣告，他們找到了所謂“Einstein問(wèn)題”的解：Smith發(fā)現(xiàn)的帽子形瓷磚，以及由帽子形瓷磚連續(xù)變換生成的瓷磚族（剔除少數(shù)幾個(gè)例外），全部都是可以非周期密鋪全平面的單一形狀瓷磚。［為什么叫“Einstein（愛(ài)因斯坦）”問(wèn)題，且看后文。］

用“帽子”非周期密鋪全平面。丨圖源：@csk@mathstodon.xyz
一時(shí)整個(gè)數(shù)學(xué)界都為之震動(dòng)。要知道，在過(guò)去半個(gè)世紀(jì)里，數(shù)學(xué)家連一塊可以非周期密鋪全平面的單一形狀瓷磚都未能找到，結(jié)果Smith等人在不到半年的時(shí)間里，找到了無(wú)限多組。
同樣令數(shù)學(xué)界匪夷所思的事情是，作為他們研究起點(diǎn)的帽子形瓷磚，竟然是一個(gè)如此平平無(wú)奇的十三邊形。

形如帽子的瓷磚 | 圖源: @csk@mathstodon.xyz
而且，包括上面4位做出了重要發(fā)現(xiàn)的當(dāng)事人，當(dāng)時(shí)只怕沒(méi)有人能夠想到，就在兩個(gè)月后，他們將再次震撼數(shù)學(xué)界。
非周期密鋪與Einstein問(wèn)題

Tiling，一般譯作鋪砌，平鋪或者密鋪，是組合數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的一個(gè)大的分支。大意就是用某些形狀單位，無(wú)縫隙且不重疊地覆蓋住某個(gè)幾何區(qū)域——可以是平面，也可以是空間；只不過(guò)對(duì)于后者，用于密鋪的單位從二維瓷磚變成了三維或更高維的“積木”。
比如說(shuō)，我們可以很“簡(jiǎn)單”地用單位正方形瓷磚密鋪二維平面。當(dāng)然，實(shí)際操作是不現(xiàn)實(shí)的，但數(shù)學(xué)思維賦予了我們一種自由的可能性，讓我們能夠從理性上體悟到，雖然實(shí)現(xiàn)它的過(guò)程需要無(wú)限的時(shí)間，但用單位正方形瓷磚密鋪二維全平面，本質(zhì)上是簡(jiǎn)單的。類似于，直線是線段向兩個(gè)方向上無(wú)限延伸而來(lái)，而我們確實(shí)可以把握直線這個(gè)涉及無(wú)限的概念，并把它作為平面幾何的基礎(chǔ)。
如若再略加思考，我們還可以發(fā)現(xiàn)正六邊形同樣可以密鋪平面。類似地，正三角形也可以。下面的密鋪屬于周期性密鋪里最簡(jiǎn)單、最顯然的實(shí)例。

正六邊形瓷磚的周期性密鋪樣式丨圖源：網(wǎng)絡(luò)
我們將要介紹的Einstein問(wèn)題，則屬于aperiodic tiling——習(xí)慣上譯作“非周期密鋪”。所謂“非周期密鋪“，指使用的那組瓷磚在密鋪的同時(shí)，要保證拼接成的鑲嵌圖案不具有周期性。顯而易見(jiàn)，正方形和正六邊形瓷磚只能周期性地密鋪平面，而做不到非周期性密鋪。憑借直覺(jué)也很容易想到，能夠非周期密鋪平面的那些瓷磚應(yīng)該具有不對(duì)稱的特性，就如前面提到的帽子形瓷磚。此處需要說(shuō)明的是，我們這里所說(shuō)的圖案不具有周期性的含義是，當(dāng)確定所使用瓷磚的形狀之后，無(wú)論如何搭配、組合、設(shè)計(jì)，都永遠(yuǎn)無(wú)法制造出全局性的周期性圖案，這才能叫作非周期密鋪，而許多密鋪（瓷磚類）是周期性和非周期性同時(shí)存在的。因此我們可以把a(bǔ)periodic tiling翻譯成“本質(zhì)非周期密鋪”，即完全沒(méi)有周期性存在的密鋪。以下如未經(jīng)說(shuō)明，提及的“非周期密鋪”均指“本質(zhì)非周期密鋪”。
數(shù)學(xué)家之所以對(duì)非周期性做出了如此嚴(yán)格的定義，一是為了排除一些過(guò)于平凡且無(wú)趣的幾何結(jié)構(gòu)，二則是和非周期密鋪的歷史起源相關(guān)。歷史上首位系統(tǒng)性研究非周期密鋪的數(shù)學(xué)家，是杰出的華裔數(shù)理邏輯學(xué)家王浩。
在研究圖靈可計(jì)算函數(shù)的時(shí)候，王浩發(fā)現(xiàn)，某個(gè)可判定性命題與非周期密鋪密切相關(guān)。他一度嘗試證明如下猜想：如果對(duì)某類瓷磚存在（一般意義上的）非周期密鋪，那么也一定存在周期性的密鋪。
但是不久后，王浩的學(xué)生Robert Berger構(gòu)造出了反例，他用20426種不同的瓷磚構(gòu)造了本質(zhì)上的非周期密鋪——無(wú)論怎么重新鋪排，都不會(huì)出現(xiàn)周期性結(jié)構(gòu)。此后，數(shù)學(xué)家對(duì)本質(zhì)非周期密鋪給與了持續(xù)的關(guān)注度。數(shù)學(xué)界渴望了解，是否可以用更少種數(shù)目的瓷磚集構(gòu)造出非周期密鋪。
后來(lái)的人們成功降低了20426這個(gè)數(shù)字，變成了含92種的瓷磚集，然后是6種，最后是2種，即著名的彭羅斯瓷磚，后者來(lái)自后來(lái)的諾貝爾獎(jiǎng)物理學(xué)獎(jiǎng)得主羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）。

關(guān)于本質(zhì)非周期密鋪，上一次重大的發(fā)現(xiàn)要追溯到1974年，數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯發(fā)現(xiàn)的彭羅斯菱形密鋪：使用了一種風(fēng)箏（淺黃）和一種飛鏢（紅）。技術(shù)細(xì)節(jié)：需要對(duì)圖案做一點(diǎn)點(diǎn)小改動(dòng)來(lái)避免形成右側(cè)的菱形（全等的菱形當(dāng)然可以周期性鋪滿平面），以滿足本質(zhì)“非周期密鋪”的定義。丨圖源：https://math.berkeley.edu/~kpmann/penrose%20reading.pdf

那么，是否還可以把數(shù)字降到1呢？
這就是著名的Einstein問(wèn)題了：是否存在單一形狀的瓷磚，可用它非周期密鋪整個(gè)平面？
這里的Einstein，和那位著名的物理學(xué)家并無(wú)關(guān)系，單純是德國(guó)幾何學(xué)家Ludwig Danzer的雙關(guān)語(yǔ)玩笑：在德語(yǔ)里“ein stein”的意思是“一塊石頭”。
現(xiàn)在回到故事開(kāi)頭，在2023年3月末，David Smith，Joseph Samuel Myers，Craig S. Kaplan和Chaim Goodman-Strauss為Einstein問(wèn)題畫上了句號(hào)。
但故事并沒(méi)有結(jié)束。
藝術(shù)、靈感與最后一塊拼圖

實(shí)際上，Smith等人在使用帽子形瓷磚非周期密鋪時(shí)，需要用到帽子形的鏡像對(duì)稱版瓷磚。在當(dāng)前的語(yǔ)境下，我們默認(rèn)，兩個(gè)鏡像對(duì)稱的瓷磚，是同一種、同一形狀的瓷磚。

上面所有瓷磚形狀都相同（都是所謂的帽子）。然而，可借助染色揭示一些結(jié)構(gòu)：深藍(lán)色瓷磚和其它瓷磚是鏡像對(duì)稱的。每個(gè)深藍(lán)色瓷磚都以相同的方式被其他三個(gè)淺藍(lán)色包圍。丨圖源：@csk@mathstodon.xyz

就像左、右手是鏡像對(duì)稱的，無(wú)法通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移實(shí)現(xiàn)左右手的重合。兩個(gè)鏡像對(duì)稱的瓷磚同樣不能通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移轉(zhuǎn)化成彼此。既然如此，它們真的能叫“單一”瓷磚嗎？

在數(shù)學(xué)界普遍認(rèn)可了Smith等人的成果后，一個(gè)新的問(wèn)題立刻浮出了水面：能否找到不借助鏡像對(duì)稱，僅通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移，實(shí)現(xiàn)非周期密鋪的真正單一形狀的瓷磚。
當(dāng)時(shí)所有人都認(rèn)為，這個(gè)后續(xù)問(wèn)題只怕十分困難，沒(méi)有人期望能在近期做出突破。更沒(méi)有人能夠想到答案就在眾人的眼皮底下……
北京時(shí)間2023年5月30日凌晨，David Smith，Joseph Samuel Myers等4人發(fā)布了一篇23頁(yè)的新論文Achiral aperiodic monotile（之前關(guān)于“帽子”形瓷磚論文長(zhǎng)達(dá)89頁(yè)），宣布他們找到了最終的答案。
他們找到了不借助鏡像對(duì)稱，僅通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移可以非周期密鋪的真單一形狀的瓷磚，他們將其命名為“Spectre”（姑且翻譯成“幽靈”）。

神奇又簡(jiǎn)單的幽靈瓷磚，是一個(gè)嚴(yán)格手性非周期單形，也就是說(shuō)，它只能用平移和旋轉(zhuǎn)來(lái)拼成沒(méi)有重復(fù)圖案的平鋪；即便你想用鏡像反射的瓷磚，也用不了。丨圖源：@csk@mathstodon.xyz

Kaplan在上傳論文后意猶未盡，又興奮地在數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)社區(qū)mathstodon分享了他們最新工作的大量細(xì)節(jié)，包括靈感來(lái)源、思考方式和證明思路等等。
如前文所述，他們發(fā)現(xiàn)的不是滿足Einstein問(wèn)題的唯一一個(gè)瓷磚單形，而是一組無(wú)限的瓷磚集，集合里的多邊形瓷磚都可以滿足Einstein問(wèn)題——當(dāng)構(gòu)造出滿足條件的帽子后，他們通過(guò)微妙地調(diào)節(jié)帽子的邊，生成的類似圖形也滿足條件。
Kaplan等人發(fā)現(xiàn)，在一定規(guī)則下，這些多邊形瓷磚的形狀其實(shí)可被其中兩條邊的邊長(zhǎng)唯一決定。他們因此用Tile (a, b)來(lái)表示這些多邊形，a和b是特定邊長(zhǎng)的數(shù)值。

按照這種表示法，帽子就是Tile (1, √3)。此外Tile (√3, 1) 也是非常受關(guān)注的一種構(gòu)型，它還有一個(gè)通俗的名字——海龜（參考其直觀外形）。海龜也能實(shí)現(xiàn)非周期密鋪。對(duì)于Tile (a, b) ，當(dāng)a和b在一定范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，得到的瓷磚構(gòu)型總是非周期密鋪的。
另一方面可以證明，邊長(zhǎng)全等的多邊形Tile (1, 1) 是一個(gè)顯著的例外，在之前仿帽子瓷磚的構(gòu)造方式里（使用了鏡像對(duì)稱的瓷磚），它不是本質(zhì)非周期的。
但是僅憑上面的知識(shí)，還無(wú)法帶來(lái)突破。突破的靈感來(lái)自全然意想不到的藝術(shù)領(lǐng)域。
日本的鑲嵌藝術(shù)家、平面和立體裝置設(shè)計(jì)師荒木義明（Yoshiaki Araki）對(duì)由帽子系列衍生出的瓷磚鑲嵌和密鋪圖案非常感興趣。他分享了一個(gè)演示程序，可以顯示瓷磚Tile (1, 1.01) 的平鋪效果。
4人組里的David Smith雖然沒(méi)有數(shù)學(xué)工作和教育的背景，但對(duì)幾何拼圖的直覺(jué)異常之好（不要忘記，正是他率先想出了帽子形）。當(dāng)他看到荒木義明的演示程序的時(shí)候，敏銳地察覺(jué)到，瓷磚Tile (1, 1) 或許還有可被進(jìn)一步挖掘的性質(zhì)。
一旦找準(zhǔn)了方向，似乎一切都豁然開(kāi)朗。他們發(fā)現(xiàn)，原來(lái)最后的答案就在自己的手邊：如果只允許通過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)來(lái)鋪設(shè)瓷磚，那么Tile (1, 1) 能非周期密鋪！
一開(kāi)始之所以Tile (1, 1) 不成功，是因?yàn)樗麄儼阉诺搅撕兔弊有瓮鹊脑试S鏡像對(duì)稱的配置里。如果限制鏡像對(duì)稱Tile (1, 1) 的使用，反而能實(shí)現(xiàn)非周期密鋪！他們稱Tile (1, 1) 為“弱保手性非周期性單瓷磚”。因?yàn)槿绻蠹尤腌R像對(duì)稱的瓷磚，則其必然不是本質(zhì)非周期性的！這也就是“弱手性”里“弱”的含義。

到此為止，他們真正找到了不借助鏡像對(duì)稱，僅通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移，實(shí)現(xiàn)非周期密鋪的單一形狀的瓷磚。
但幾位數(shù)學(xué)家還未滿足。他們?cè)噲D找到一種“強(qiáng)保手性非周期性單瓷磚"，大致上是說(shuō)，即便允許加入鏡像對(duì)稱的瓷磚，你也用不上！要想密鋪平面，我們只能用單一手性的瓷磚，且必然非周期的。他們利用Tile (1, 1) 等邊的方便屬性，如下圖一樣巧妙地修改其邊緣，便得到了Spectre，“幽靈”。

圖源：參考文獻(xiàn)[3]

為了證明“幽靈”滿足條件，最開(kāi)始的時(shí)候，他們一度認(rèn)為在“幽靈”上做計(jì)算會(huì)很有挑戰(zhàn)性，因?yàn)樗鼈儾幌裰暗拿弊雍秃｝敗坝撵`”不是多邊形。但Joseph發(fā)現(xiàn)，“幽靈”的每一種平鋪都等價(jià)于帽子和海龜?shù)幕旌掀戒仯@讓他們可以在風(fēng)箏網(wǎng)格這個(gè)漂亮的離散世界中工作。

，時(shí)長(zhǎng)00:20

顯示了上面描述的幽靈和由帽子+海龜組合之間的等價(jià)關(guān)系。丨圖源：A chiral aperiodic monotile (uwaterloo.ca)

他們證明“幽靈”可以拼成一個(gè)分層替代系統(tǒng)，也就是說(shuō)，在任何由“幽靈”形成的平鋪中，每個(gè)“幽靈”都包含在一個(gè)無(wú)限的、唯一的、越來(lái)越大的超級(jí)塊（supertile）的層次結(jié)構(gòu)中。超級(jí)塊是由多個(gè)“幽靈”按照一定的規(guī)則組合而成的更大的形狀。這種分層替代系統(tǒng)保證了“幽靈”的非周期性，亦即它不可能形成有重復(fù)單元的平鋪。

這里的“替代平鋪”技術(shù)的嚴(yán)格定義，就連該領(lǐng)域的專家也很難清楚表述，但它的本質(zhì)思路卻非常好懂：用一組規(guī)則來(lái)把小塊拼成大塊，然后再把大塊按照相同的規(guī)則拼成更大的塊，以此類推，最終形成一個(gè)覆蓋整個(gè)平面的圖案。替代平鋪有時(shí)也可以用來(lái)定義非周期密鋪。

替代平鋪技術(shù)，用多個(gè)小塊拼成相似的大塊。丨圖源：arXiv: https://arxiv.org/abs/2305.17743.

這支4人團(tuán)隊(duì)給他們剛剛解決的問(wèn)題命名為 “Vampire Einstein”問(wèn)題。這又是什么意思呢？

Vampire本意是吸血鬼，據(jù)說(shuō)吸血鬼在鏡子里是沒(méi)有影像的。所以，上面的俏皮話翻譯過(guò)來(lái)，就是“沒(méi)有鏡像的Einstein問(wèn)題”。

思考·補(bǔ)記

David Smith等人的論文提交還不太久，其正確性尚需一段時(shí)間的嚴(yán)格審核。不過(guò)像這種直接構(gòu)造出具體對(duì)象的數(shù)學(xué)研究，往往短時(shí)間內(nèi)就足以判斷出其正確與否。目前看來(lái)，數(shù)學(xué)界已經(jīng)認(rèn)可了他們的結(jié)論。
早在3月末他們發(fā)布第一篇Einstein問(wèn)題的論文的時(shí)候，就引來(lái)了廣泛的關(guān)注。關(guān)注者不僅僅是數(shù)學(xué)工作者，還包括大量的藝術(shù)家。除了平面設(shè)計(jì)藝術(shù)家和拼圖愛(ài)好者之外，甚至有作曲家嘗試把實(shí)現(xiàn)非周期密鋪的算法轉(zhuǎn)化成旋律，實(shí)驗(yàn)?zāi)撤N新型音樂(lè)形式。

2023年7月20日，筆者驚奇地發(fā)現(xiàn)，愛(ài)爾蘭著名啤酒品牌white hag，推出了一款應(yīng)用非周期性瓷磚“帽子”設(shè)計(jì)包裝的啤酒罐。

這種廣泛的關(guān)注，最終給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了意想不到的好處——最后的證明正是受到了日本藝術(shù)家荒木義明的作品的啟發(fā)。
現(xiàn)在除了論文的幾位作者之外，最高興的就是這位日本藝術(shù)家了。他在論文發(fā)出一天后，非常開(kāi)心地在社交媒體上分享了論文的截圖，因?yàn)閹孜蛔髡甙阉拿址诺搅酥轮x里。

另一個(gè)值得思考的是，作為業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者的David Smith在這一重大數(shù)學(xué)進(jìn)展里所起到的關(guān)鍵作用。
事實(shí)上，這遠(yuǎn)不是業(yè)余愛(ài)好者第一次在拼貼幾何領(lǐng)域取得重大突破。擔(dān)任郵件分揀員的Robert Ammann在 1970 年代獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了幾種非周期性密鋪，以及一種名為Ammann bars的非周期性密鋪的系統(tǒng)生成方法；1975 年，加州家庭主婦Marjorie Rice 發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的五邊形瓷磚族；隨后Joan Taylor發(fā)現(xiàn)了后來(lái)著名的Socolar-Taylor瓷磚。
以至于有位數(shù)學(xué)家開(kāi)玩笑說(shuō)，在一個(gè)具體數(shù)學(xué)領(lǐng)域里（這里的“具體數(shù)學(xué)”是和“應(yīng)用數(shù)學(xué)”類似的提法，是一個(gè)門類。指對(duì)象直觀可見(jiàn)的以及和計(jì)算機(jī)相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容），也許業(yè)余愛(ài)好者與職業(yè)數(shù)學(xué)家最大的不同之處在于，前者“并不需要知道這個(gè)問(wèn)題有多難”，所以才能做出出乎意料的精彩發(fā)現(xiàn)。
這里索性給大家留一個(gè)思考題，一個(gè)本質(zhì)上不需要任何數(shù)學(xué)知識(shí)就能解答的經(jīng)典骨牌平鋪問(wèn)題：

最后，關(guān)于密鋪，還有很多值得一說(shuō)的東西。比如，雖然這一次著重介紹的是非周期密鋪，但并不意味著周期性密鋪是個(gè)無(wú)關(guān)緊要的課題。直到2015年，數(shù)學(xué)家才借助計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)了第15種也是最后一種可以進(jìn)行周期性密鋪的五邊形，從而找到了全部的周期性單密鋪多邊形。
周期性密鋪和非周期密鋪，就好比有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。雖然有理數(shù)確實(shí)相對(duì)于無(wú)理數(shù)要簡(jiǎn)單，但仍有大量未知內(nèi)容尚待挖掘。
此外，除了平面密鋪，高維空間上的非周期密鋪也有很多值得一提的成果。如2022年11月，陶哲軒（Terence Tao）和Rachel Greenfeld宣布推翻了一個(gè)高維空間上的“周期性密鋪猜想”。就Einstein問(wèn)題瓷磚而言，也有所謂的三維Einstein問(wèn)題瓷磚（如下圖）。

圖源：Socolar–Taylor tile?Wikipedia

非周期密鋪在很多數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用和研究?jī)r(jià)值，比如自動(dòng)機(jī)理論、組合數(shù)學(xué)、離散幾何、動(dòng)力系統(tǒng)、群論、調(diào)和分析和數(shù)論，以及晶體學(xué)和化學(xué)。其中在晶體和化學(xué)上最有名的應(yīng)用，是在理論上為準(zhǔn)晶體的結(jié)構(gòu)和性能提供數(shù)學(xué)和物理上的解釋。（如果事后諸葛亮的話，我們甚至可以說(shuō)，非周期密鋪揭示了準(zhǔn)晶體的存在性——只不過(guò)在自然界里發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)晶體之前，并未有人意識(shí)到這一點(diǎn)。）非周期性密鋪和準(zhǔn)晶體之間的關(guān)系是一個(gè)跨越數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、材料等多個(gè)領(lǐng)域的精彩話題。

參考資料

[1]?Hobbyist Finds Math’s Elusive ‘Einstein’ Tile | Quanta Magazine
[2]?Craig S. Kaplan (@csk@mathstodon.xyz) - Mathstodon[3]?Achiral aperiodic monotile，https://arxiv.org/abs/2305.17743[4]?Anaperiodic monotile，https://arxiv.org/pdf/2303.10798.pdf[5] David Smith使用的軟件（PolyForm Puzzle Solver (jaapsch.net)）：https://www.jaapsch.net/puzzles/polysolver.htm[6] Craig S. Kaplan分享的工具：https://cs.uwaterloo.ca/~csk/spectre/
感謝加州理工學(xué)院數(shù)學(xué)系倪憶教授對(duì)本文的審核和指正。

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