如果我們回溯歷史，就會(huì)發(fā)現(xiàn)西方科學(xué)家總是喜歡把自己的數(shù)學(xué)和哲學(xué)追溯到古希臘時(shí)期，然后仿佛中間的一千多年什么都沒發(fā)生一樣，直接進(jìn)入近代數(shù)學(xué)。

這當(dāng)然有不妥的地方。但是從古希臘開始確實(shí)是有道理的。從今天的眼光看，他們知道的東西實(shí)在不多，但是志向卻十分遠(yuǎn)大。他們面對(duì)浩瀚無垠的宇宙，居然提出了“萬物皆數(shù)”的觀點(diǎn)，想要用自己手上并不充裕的代數(shù)和幾何知識(shí)來描述這個(gè)世界。從貶低的角度來說，他們就像是志得意滿的小學(xué)生或者初中生，認(rèn)為一切數(shù)學(xué)的真理都在自己的掌握之中了；從褒揚(yáng)的角度來說，他們是人類第一批向自然宣戰(zhàn)的人，他們要從自己的抽象世界去了解這個(gè)現(xiàn)實(shí)世界。

有理數(shù)的出現(xiàn)應(yīng)該和整數(shù)出現(xiàn)的時(shí)間大致相同，因?yàn)槿藗兒茉缇鸵庾R(shí)到等分是一個(gè)很重要的操作。莊子曰：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！弊C明莊子是知道“一”這個(gè)整數(shù)和“半”這個(gè)有理數(shù)的。等分這個(gè)操作其實(shí)在自然生活中非常重要，甚至比乘法要重要得多。我在讀小學(xué)時(shí)就曾經(jīng)懷疑，為了計(jì)算多個(gè)相同的數(shù)相加而引入乘法是否有意義。為了解決7個(gè)8加起來是多少，就要去背七八五十六，這個(gè)代價(jià)不是也太高了嗎？但是除法不同，現(xiàn)實(shí)生活不會(huì)遇到多個(gè)相同的數(shù)相加，但是會(huì)經(jīng)常遇到等分。當(dāng)時(shí)的我就認(rèn)為乘法是為了解決等分問題而引入的。

在自然數(shù)的領(lǐng)域，除法顯然不是一個(gè)好的計(jì)算。但是我們一方面可以通過引入小數(shù)來得到有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，另一方面我們可以保留形式的分?jǐn)?shù)符號(hào)。這兩種計(jì)算本質(zhì)上都沒有什么問題。只要能充分掌握兩者之間的互推（你可以順便思考一下，怎么互推？），有理數(shù)的引入似乎也不是什么問題。

值得一提的是，這些有理數(shù)指的都是非負(fù)的有理數(shù)，當(dāng)時(shí)的人們不承認(rèn)負(fù)的有理數(shù)。一方面是因?yàn)榍懊嫖覀兲岬竭^，整數(shù)和有理數(shù)的第一次發(fā)揚(yáng)光大是在與平面幾何的結(jié)合中，平面幾何中顯然不會(huì)出現(xiàn)長度為負(fù)的線段或者面積為負(fù)的圖形，所以引入負(fù)數(shù)毫無必要；另一方面是因?yàn)樨?fù)數(shù)本身會(huì)導(dǎo)致很多人當(dāng)時(shí)難以理解的結(jié)論。

順便一提，小學(xué)時(shí)引入負(fù)數(shù)是認(rèn)為小數(shù)減大數(shù)就會(huì)產(chǎn)生負(fù)數(shù)，這種觀點(diǎn)實(shí)在是荼毒無窮。這和x^2+1=0沒有根，因此引入i為它的根一樣，是完全錯(cuò)誤的引導(dǎo)方式。如果采用上面的引導(dǎo)方式，學(xué)生很可能就會(huì)陷入一種懷疑主義的立場中。也就是說，任何的理論都是站不住腳的，反正沒有根我們就創(chuàng)造一個(gè)，什么沒有我就創(chuàng)造什么，這樣導(dǎo)致的數(shù)學(xué)將會(huì)是一團(tuán)糟。例如一元一次方程只有一個(gè)根，那么我能不能強(qiáng)行去定義第二個(gè)根呢？任何正數(shù)的正數(shù)次冪都是正的，我能不能去強(qiáng)行定義一個(gè)負(fù)的呢？由此產(chǎn)生的問題無窮無盡，很有可能從根源上就摧毀一個(gè)小朋友的數(shù)學(xué)興趣：既然數(shù)學(xué)到處都是懷疑的和不確定的，有什么可研究的呢？

真正好的教育方式是參考?xì)v史上人們?nèi)绾我胴?fù)數(shù)的。從這里我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)歷史上的人們認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)也經(jīng)歷了三個(gè)階段。

第一個(gè)階段是完全不知道的階段。根據(jù)目前的考證，古巴比倫是不知道負(fù)數(shù)的，古希臘的丟番圖也是不知道負(fù)數(shù)的。當(dāng)然秦漢時(shí)期的中國人其實(shí)是知道的。但是因?yàn)橹袊鴶?shù)學(xué)與世界數(shù)學(xué)長期脫軌，所以我們暫且不提。我們會(huì)在后面的文章中專門介紹中國數(shù)學(xué)。

第二個(gè)階段是懷疑的階段。人們發(fā)現(xiàn)引入負(fù)數(shù)可以帶來很多很多的好處。例如，引入負(fù)數(shù)后加法和減法可以統(tǒng)一為一個(gè)運(yùn)算。減一個(gè)數(shù)可以認(rèn)為是加上它的相反數(shù)。這使得做運(yùn)算的意義上數(shù)學(xué)變簡單了（當(dāng)然也在認(rèn)知的意義上變復(fù)雜了，這一點(diǎn)和某種現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想有關(guān)，我們后面再談）。此外，引入負(fù)數(shù)之后，任意一個(gè)一元一次方程都有且僅有一個(gè)根，這帶來的好處實(shí)在是太大了。解方程從這里開始出現(xiàn)了一般的理論上的研究。

當(dāng)然壞處也是顯而易見的。負(fù)數(shù)容易帶來很多反直覺的“悖論”。其中一個(gè)經(jīng)典的例子是1:(-1)=(-1):1?，F(xiàn)在我們看可能習(xí)以為常，但是如果我們忘掉所有學(xué)過的東西，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，1是比-1更大的一個(gè)東西，你居然認(rèn)為大的東西除以小的東西等于小的東西除以大的東西？這簡直就是胡說八道。

第三個(gè)階段是完全承認(rèn)的階段。小學(xué)教育往往就是不能說清楚為什么要進(jìn)入這個(gè)階段。

之所以徹底承認(rèn)負(fù)數(shù)，是因?yàn)樨?fù)數(shù)給我們帶來的好處遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于它產(chǎn)生的麻煩。引入負(fù)數(shù)使得有理數(shù)（或者整數(shù)、實(shí)數(shù)都可以）變成了一個(gè)雙向延伸的對(duì)象，而不是正數(shù)或者自然數(shù)那樣單向延伸的對(duì)象。這在某種程度上對(duì)應(yīng)了另外的我們需要研究的對(duì)象（特別是笛卡爾和費(fèi)馬引入解析幾何之后，這種雙向延伸的特性和直線的雙向延伸的特性對(duì)應(yīng)了起來）。引入負(fù)數(shù)使得一元一次方程總是有根，這使得很多實(shí)際生活中的問題總是可以解決（當(dāng)然更重要的是在當(dāng)時(shí)遇到的大量科學(xué)問題總是會(huì)有負(fù)數(shù)解）。同時(shí)負(fù)數(shù)也不是那么壞，它也可以做加法和乘法，也可以比較大小，它幾乎沒有失去我們對(duì)整數(shù)和有理數(shù)要求的一切性質(zhì)。唯一的壞處就是和負(fù)負(fù)得正有關(guān)的一些結(jié)論。但是這些壞處相對(duì)于好處而言實(shí)在是微不足道。因此我們才會(huì)大面積承認(rèn)負(fù)數(shù)這個(gè)概念。

當(dāng)然，上面的事其實(shí)基本上都發(fā)生在文藝復(fù)興時(shí)代了，讓我們回到古希臘時(shí)期。當(dāng)時(shí)的人們已經(jīng)在幾何學(xué)中廣泛地應(yīng)用了有理數(shù)，由于幾何學(xué)的蓬勃發(fā)展，使得當(dāng)時(shí)的人們已經(jīng)發(fā)展出了一套完備的幾何學(xué)體系。在有理數(shù)的加持下，一切幾何問題都被認(rèn)為是可以解決的。

我們都知道后來發(fā)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)（這個(gè)我們下次再詳細(xì)地談），但是與很多歷史書宣揚(yáng)的不同，這事實(shí)上這絲毫沒有動(dòng)搖古希臘人對(duì)“萬物皆數(shù)”觀點(diǎn)的自信。我們翻開歐幾里得的《幾何原本》，你就可以發(fā)現(xiàn)其中篇幅最長的一章就在進(jìn)行數(shù)的討論。他們已經(jīng)充分認(rèn)識(shí)到了無理數(shù)的存在，并且已經(jīng)開始著手發(fā)展有理數(shù)理論來解決這些看不見、摸不著的家伙。

這段時(shí)間其實(shí)對(duì)代數(shù)而言相當(dāng)尷尬，原本所有人都認(rèn)為長度和面積都能用有理數(shù)表示，現(xiàn)在卻發(fā)現(xiàn)并不是這樣。原本人們認(rèn)為代數(shù)比幾何更基本，現(xiàn)在卻覺得幾何比代數(shù)更基本了。加之幾何的繁榮，極為寒酸的代數(shù)拿不出什么有力的結(jié)論，這進(jìn)一步加深了人們的這一印象。人們不想去完善代數(shù)理論，卻想著從幾何的觀點(diǎn)去解決這些代數(shù)問題。從馬后炮的觀點(diǎn)來看，這毫無疑問是錯(cuò)誤的。

但是至此卻是另一個(gè)領(lǐng)域——數(shù)論的開端。代數(shù)和數(shù)論聯(lián)系如此緊密，數(shù)論卻在代數(shù)最落魄的時(shí)候誕生，不得不說是造化弄人。

萬物皆數(shù)的崩潰其實(shí)和數(shù)學(xué)沒什么關(guān)系，而是受到神學(xué)的沖擊。上帝顯然不能容忍自己變成一個(gè)有理數(shù)。因此在認(rèn)識(shí)世界上，人們投向了神學(xué)的懷抱。

萬物皆數(shù)，本身肯定是錯(cuò)的。數(shù)是一個(gè)概念而已，它為了描述一些事物而生，它不應(yīng)該拿去描述所有的事物。

萬物皆數(shù)的破滅，卻同樣也是錯(cuò)誤的。數(shù)不能表達(dá)世間萬物，但是它的確可以表達(dá)很多東西。

因此，在文藝復(fù)興之后，為了反對(duì)神學(xué)，物理學(xué)的開拓者們把目光投向了早已消亡的“萬物皆數(shù)”，他們重新定義了什么是數(shù)，讓自己觀察到的物理現(xiàn)象獲得了一個(gè)數(shù)學(xué)的完美的解釋。

隨著物理學(xué)和化學(xué)的巨大成功，他們的指導(dǎo)思想“萬物皆數(shù)”再一次流行起來?，F(xiàn)在主張任何事物都要講數(shù)字，任何一個(gè)社會(huì)現(xiàn)象都要建模進(jìn)行解釋?，F(xiàn)在已經(jīng)很難再找到一個(gè)和數(shù)學(xué)完全無關(guān)的領(lǐng)域了。

這也許是因?yàn)閿?shù)學(xué)工具本身獲得了巨大的進(jìn)步，也可能是因?yàn)槿藗冊(cè)谧冯S潮流，極大地濫用“萬物皆數(shù)”這個(gè)哲學(xué)觀點(diǎn)。不管如何，古埃及的那些土地測量員們大概不會(huì)想到，自己在莎草紙上寫下的第一個(gè)正方形的面積公式，會(huì)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)萬丈高樓的起點(diǎn)。