上一集，我們講到了龐貝利對√-1做出的貢獻，他讓√-1參與了運算，使得他解決了困擾數(shù)學家?guī)资甑膯栴}。盡管這項進展很重要，遺憾的是，他和當時其他數(shù)學家一致認為√-1只是運算的“副產(chǎn)物”。畢竟在生活中沒有什么東西與自身相乘之后會得到負值，因此√-1的存在受到了人們的質(zhì)疑。

出于這種原因 ，√-1被給予了“虛數(shù)”這個糟糕的名字。大概一個世紀后，瑞士數(shù)學家歐拉（Leonard Euler）開始用“i”代替√-1以簡化書寫。不幸的是 “虛數(shù)”之名沿用至今，以對應我們已知的“實數(shù)”，而實數(shù)和虛數(shù)相加所得的數(shù)則稱作“復數(shù)”。

諷刺的是，盡管當時（約17~19世紀）虛數(shù)已經(jīng)大量運用于計算中，其內(nèi)涵還要等到龐貝利去世200年后才被真正發(fā)掘。在我們開始前，讓我們對“2”和“i”做一點代數(shù)運算。

如果我們計算“2”的n次冪，隨著n增大，它會越來越大。然而“i”的n次冪卻不是這樣，隨著n增大，我們會發(fā)現(xiàn)，它有一個周期為4的循環(huán)，我們先記住這個現(xiàn)象。

讓我們回到數(shù)軸。如果我們重新以另一種角度思考虛數(shù)的定義，我們或許可以將它的內(nèi)涵挖掘出來。記住，我們的問題是要找到一個數(shù)，乘以它自身等于負數(shù)。

為了重新理解這句話，我們用箭頭（而不是點）來表示數(shù)。正數(shù)與正數(shù)相乘后，箭頭的方向不變，它仍是朝右的。如果正數(shù)乘以負數(shù)，箭頭的方向朝左，或者說朝逆時針旋轉了180°。而負數(shù)乘以負數(shù)，箭頭的方向開始是朝左，再乘以負數(shù)，相當于逆時針旋轉了180°。

正數(shù)的平方是正數(shù)，負數(shù)的平方是正數(shù)。所以我們沒有辦法來用數(shù)軸上的數(shù)平方來得到一個負數(shù)。因此我們需要一個“中間的數(shù)”，當我們把它與其他數(shù)字相乘時，箭頭只逆時針旋轉90°， 而不是180°。

而這正是“虛數(shù)”的定義。第一個“i”相當于從正半軸逆時針旋轉了90°（1*i=i），再乘以一個“i”就又旋轉了90° （i*i=-1），就轉到了我們想要的地方：-1。

回過頭來看剛才那個循環(huán)，由于乘以一個i，對應著逆時針旋轉90°， 我們可以在與實數(shù)軸垂直的方向，以0為原點構建另一條數(shù)軸，稱為“虛數(shù)軸”。那么虛數(shù)的幾何意義便能直觀地展現(xiàn)出來。我們從1開始乘以i，等價于幾何箭頭“1”從正半軸逆時針旋轉90°！再乘以i，等價于這個箭頭再逆時針旋轉90°，計算i的n次冪，相當于不斷地在以每次逆時針90°旋轉著這個箭頭。

所以，虛數(shù)并沒有脫離實數(shù)存在，而是位于實數(shù)之“上”，隱藏在那個垂直于數(shù)軸的方向里。

它不只是一個運算產(chǎn)物，而是數(shù)字體系從軸到面的延拓，數(shù)字是二維的！

更重要的是，如果我們愿意接受數(shù)字的二維屬性，我們不僅能擁有更完備的數(shù)學體系，還可以解決在科學和工程上的諸多難題。下一集，我們將談論虛數(shù)的性質(zhì)，看看他們?nèi)绾卧谶@些方面“大顯身手”。

拓展閱讀

本節(jié)重在揭示虛數(shù)與實數(shù)的幾何聯(lián)系，正如你看到的那樣，實數(shù)軸與虛數(shù)軸相互垂直，他們組成了一張平面，我們稱之為“復平面”。(The Complex Plane)

但正如前文所述，發(fā)現(xiàn)這一切花了數(shù)學家很長的時間。而最早窺見虛數(shù)的幾何意義，卻是由兩位業(yè)余數(shù)學家Casper Wessel和Jean-Robert Argand獨立完成的。

如同那些偉大的先見在剛被提出時往往遭受冷落，虛數(shù)的幾何意義也是如此。1831年，曾任倫敦數(shù)學會第一任會長的英國數(shù)學家德·摩根（Augustus de Morgan）就關于虛數(shù)發(fā)表了如下我們現(xiàn)在看來是荒謬無比的言論：

We have shown the symbol √-1 to be void of meaning, or rather self-contradictory and absurd.

要深入理解虛數(shù)的幾何意義，我們不如回過頭來看當時的數(shù)學家是如何絞盡腦汁的。從古希臘開始，數(shù)學界便喜歡設法用幾何方式來證明命題，簡單地說，如果一個數(shù)學命題可以用圖像的方式去理解，那么這個命題十有八九是對的。先不說這個方法嚴謹與否，至少這提供了一條合理的途徑幫助數(shù)學家研究問題。實際上，早期數(shù)學便是靠這種方法得到了發(fā)展。

當√-1第一次在17世紀中出現(xiàn)，許多數(shù)學家便嘗試找出它的幾何意義，但都無果而終。讓我們看看一個由數(shù)學家Lazare Carnot在1803年給出的例子：

例：

給定一條長a的線段AB，在C點裁剪AB，

試求C點的位置，使得AC、CB、AB滿足如下關系：

AC·CB=1/2·AB2

解：

設AC的長為x，上面的式子可以化成

x*(a-x)=1/2*a2

移項，得：

x2-ax+1/2*a2=0

這是一個二次方程，根據(jù)求根公式，我們解得

x?=a/2+a/2（√-1）

x?=a/2-a/2（√-1）

解畢

如何把這兩個位置表示出來？Carnot認為，因為這兩個解都含有虛數(shù)，因此這兩個位置都不在線段AB上，因此在現(xiàn)實中找不到這樣的C點。

但真是如此嗎？非也！

與此同時，別的數(shù)學家（比如法國數(shù)學家Abbe Adrien-Quentin Buee）給出了另外一種解讀。他認為雖然這兩個解雖然沒有現(xiàn)實意義，但它確實存在。具體地說。如果我們像前文那樣在實數(shù)相垂直的方向建立虛數(shù)軸，虛數(shù)便能派上用場，幫助我們找到“裁剪”的位置。

上面這幅圖只展示了其中一個“裁剪點”。通過計算，這道“平面”問題的解，即裁剪點C，就是以AB為斜邊的等腰直角三角形的頂點（當然還有一個裁剪點C'，它與C關于AB軸對稱）。這一切在我們認識到了虛數(shù)與實數(shù)的幾何聯(lián)系后才豁然開朗。這樣的問題無疑對當時的數(shù)學家，還是剛剛認識虛數(shù)的你是大有裨益的?；蛟S虛數(shù)的大門，由此揭開！