上次，筆者帶大家用計算機(jī)上制作了一張從f(z)=z到f(z)=z2的漸變動畫。相信你已經(jīng)有了一個初步感知。今天我們從一些基本圖形入手，去進(jìn)一步研究它的性質(zhì)。

我們知道，如果我們把z寫成極坐標(biāo)形式r∠θ，那么f(z)=z2=(r)2∠2θ。為了驗證模長平方，幅角翻倍的性質(zhì)，我們首先選擇三條條過原點的直線，以及一個圓心在原點的圓。

我們規(guī)定這幅圖的X，Y軸，分別是朝下、朝右。因此，藍(lán)、黃、綠、紫分別是第一、二、三、四象限，希望讀者注意。

作變換：

f(z)=0.03*z^(1 + frame/30)

其中：

0.03代表把圖像縮小原來的0.03倍

frame=1,2,3...30 （共30幀）

可以看到，兩者在變換后保留了原來的形狀，我們注意到：原來四個象限在變換后有兩個象限合并到一起。我們從這種“二對一”變換得到啟發(fā)，去研究復(fù)變換的另一個重要性質(zhì)：多值性。

我們今天的主角是f(z)=z2的逆函數(shù)f(z)=±√z。這是一個“一對二”變換。

我們先來看一下正數(shù)部分f(z)=√z的變換：

作變換：

f(z)=5*z^(1 - frame/60)

其中：

5代表把圖像放大5倍

frame=1,2,3...30 （共30幀）

隨著冪逐漸減小，我們可以看到圖像在逐步縮小變形，同時以X負(fù)半軸（黃、綠交界）為界不斷向兩側(cè)拉展，最終形成了半朵“花瓣”。我們再把負(fù)數(shù)部分加進(jìn)來，就得到了完整的“花瓣”。

作變換：

f(z)=5*z^(1 - frame/60)

及

f(z)=-5*z^(1 - frame/60)

frame=1,2,3...30

通過這個變換，我們多“復(fù)制”了一份空間。數(shù)學(xué)家把每一個空間稱作“分支”(Branch)。為了研究各個分支之間的結(jié)構(gòu)，最簡單的方法是畫一條閉合曲線。

在繼續(xù)閱讀前，讀者不妨思考一下：我們會得到幾條閉合曲線？

我們得到了兩條閉合曲線。這符合我們的預(yù)期。但是，如果稍微改變一下，就會發(fā)生神奇的事情。

我們只得到了一條閉合曲線！

更進(jìn)一步的觀察表明，變換得到的兩條曲線各跨越了一個分支，合二為一。

One reason I like math is that,? for many problems, someone much smarter than me has already given them some serious thought , and quite often found an elegant solution

Stephen Welch

正如這個視頻的作者所言：數(shù)學(xué)的魅力在于領(lǐng)略先輩對問題透徹的理解。

下一節(jié)，我們將請出波恩哈德·黎曼，給我們回答這個問題。