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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于SIR模型的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

與普通的擴(kuò)散研究不同，網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)散開始考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對于擴(kuò)散過程的影響。這里介紹一個(gè)使用R模擬網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)散的例子

基本的算法非常簡單：生成一個(gè)網(wǎng)絡(luò):g(V, E)。隨機(jī)選擇一個(gè)或幾個(gè)節(jié)點(diǎn)作為種子（seeds）。每個(gè)感染者以概率p（可視作該節(jié)點(diǎn)的傳染能力,通常表示為ββ）影響與其相連的節(jié)點(diǎn)。其實(shí)這是一個(gè)最簡單的SI模型在網(wǎng)絡(luò)中的實(shí)現(xiàn)。S表示可感染（susceptible）, I表示被感染（infected）。易感態(tài)-感染態(tài)-恢復(fù)態(tài)(SIR)模型用以描述水痘和麻疹這類患者能完全康復(fù)并獲得終身免疫力的流行病。對于SIR流行病傳播模型，任意時(shí)刻節(jié)點(diǎn)只能處于易感態(tài)(S)或感染態(tài)(I)或恢復(fù)態(tài)(R)。易感態(tài)節(jié)點(diǎn)表示未被流行病感染的個(gè)體，且可能被感染；感染態(tài)節(jié)點(diǎn)表示已經(jīng)被流行病感染且具有傳播能力；恢復(fù)態(tài)節(jié)點(diǎn)則表示曾感染流行病且完全康復(fù)。與SIS模型類似，每一時(shí)間步內(nèi)，每個(gè)感染態(tài)節(jié)點(diǎn)以概率λλ嘗試感染它的鄰居易感態(tài)節(jié)點(diǎn)，并以概率γγ變?yōu)榛謴?fù)態(tài)。SIR模型可以表達(dá)為：

S = S（t）是易感個(gè)體的數(shù)量， I = I（t）是被感染的個(gè)體的數(shù)目， R = R（t）是恢復(fù)的個(gè)體的數(shù)目。

第二組因變量代表在三個(gè)類別的總?cè)丝诘谋壤?。所以，如果N是總?cè)丝冢?90萬在我們的例子），我們有

S（T）= S（T）/ N，人口的易感部分， Ⅰ（T）= I（t）的/ N的人口感染分?jǐn)?shù)并 R（T）= R（t）的/ N，人口的康復(fù)部分。

解這個(gè)微分方程，我們可以得到累計(jì)增長曲線的表達(dá)式。有趣的是，這是一個(gè)logistic增長，具有明顯的S型曲線（S-shaped curve）特征。該模型在初期跨越臨界點(diǎn)之后增長較快，后期則變得緩慢。因而可以用來描述和擬合創(chuàng)新擴(kuò)散過程（diffusion of innovations）。當(dāng)然，對疾病傳播而言，SI模型是非常初級的（naive），主要因?yàn)槭芨腥镜膫€(gè)體以一定的概率恢復(fù)健康，或者繼續(xù)進(jìn)入可以被感染狀態(tài)(S，據(jù)此擴(kuò)展為SIS模型)或者轉(zhuǎn)為免疫狀態(tài)（R,據(jù)此擴(kuò)展為SIR模型）。免疫表示為R，用γγ代表免疫概率（removal or recovery rate)。對于信息擴(kuò)散而言，這種考慮暫時(shí)是不需要的。

第一步，生成網(wǎng)絡(luò)。

規(guī)則網(wǎng)

g =graph.tree(size, children =2); plot(g)

g =graph.star(size); plot(g)

g =graph.full(size); plot(g)

g =graph.ring(size); plot(g)

g =connect.neighborhood(graph.ring(size), 2); plot(g) # 最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)

# 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)g =erdos.renyi.game(size, 0.1)# 小世界網(wǎng)絡(luò) g = rewire.edges(erdos.renyi.game(size, 0.1), prob = 0.8 )# 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò) g =barabasi.game(size) ; plot(g)

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用航空公司復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對疫情進(jìn)行建模

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第二步，隨機(jī)選取一個(gè)或n個(gè)隨機(jī)種子。?

# initiate the diffusers seeds_num =1 diffusers =sample(V(g),seeds_num) ; diffusers ## + 1/50 vertex: ## [1] 43 infected =list() infected[[1]]=diffusers#

第三步，傳染能力

在這個(gè)簡單的例子中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的傳染能力是0.5，即與其相連的節(jié)點(diǎn)以0.5的概率被其感染,每個(gè)節(jié)點(diǎn)的回復(fù)能力是0.5，即其以0.5的概率被其回復(fù)。在R中的實(shí)現(xiàn)是通過拋硬幣的方式來實(shí)現(xiàn)的。

## [1] 0

顯然，這很容易擴(kuò)展到更一般的情況，比如節(jié)點(diǎn)的平均感染能力是0.128，那么可以這么寫：節(jié)點(diǎn)的平均回復(fù)能力是0.1，那么可以這么寫

p =0.128 coins =c(rep(1, p*1000), rep(0,(1-p)*1000)) sample(coins, 1, replace=TRUE, prob=rep(1/n, n)) ## [1] 0 n =length(coins2) sample(coins2, 1, replace=TRUE, prob=rep(1/n, n)) ## [1] 0

當(dāng)然最重要的一步是要能按照“時(shí)間”更新網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)被感染的信息。

keep =unlist(lapply(nearest_neighbors[,2], toss)) new_infected =as.numeric(as.character(nearest_neighbors[,1][keep >=1])) diffusers =unique(c(as.numeric(diffusers), new_infected)) return(diffusers)} set.seed(1);

開啟擴(kuò)散過程！

先看看S曲線吧：

# # "growth_curve"num_cum =unlist(lapply(1:i, function(x) length(infected[[x]]) )) p_cum =num_cum time =1:i ## Large initial population size (X=1000) parms <-c(beta=0.01, gamma=0.1) x0 <-c(S=49,I=1,R=0)a <-c("beta*S*I","gamma*I") nu <-matrix(c(-1,0,+1,-1,0,+1),nrow=3,byrow=TRUE) out <-ssa(x0,a,nu,parms,tf=4,simName="SIR model")

為了可視化這個(gè)擴(kuò)散的過程，我們用紅色來標(biāo)記被感染者。

# generate a palette# plot(g, layout =layout.old) set.seed(1)# library(animation)# start the plot m =1

same=numeric(0) for(m in 2:length(health)) if(length(setdiff(health[[m ]],health[[m -1 ]]) )==0){same=c(same,m) } health=health[-same] infected=infected[-same]#

如同在Netlogo里一樣，我們可以把網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)散與增長曲線同時(shí)展示出來：

set.seed(1) # start the plot m =1 p_cum=numeric(0) h_cum=numeric(0) i_cum=numeric(0) while( m<50 ) {# start the plot layout(matrix(c(1, 2, 1, 3), 2,2, byrow =TRUE), widths=c(3,1), heights=c(1, 1)) V(g)$color = "white" V(g)$color[V(g)%in%infected[[m ]] ] = "red" V(g)$color[V(g)%in%health[[m ]]] = "green" if(m<=length(infected)) plot(pp~time, type ="h", ylab ="PDF", xlab ="Time",xlim =c(0,i), ylim =c(0,1), frame.plot =FALSE) m =m +1 }

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獲取全文完整代碼數(shù)據(jù)資料。

本文選自《R語言SIR模型（Susceptible Infected Recovered Model）代碼sir模型實(shí)例》。

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