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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于Nelson Siegel和線性插值模型的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

保證金購(gòu)買是指投資者先從銀行或經(jīng)紀(jì)人處借得資金購(gòu)買證券，而所購(gòu)買的證券作為借入資金的抵押

債券基礎(chǔ)?

• 零息債券是指以貼現(xiàn)方式發(fā)行，不附息票，而于到期日時(shí)按面值一次性支付本利的債券。

• 債券的票面價(jià)值 債券的票面價(jià)值又稱面值,是債券票面標(biāo)明的貨幣價(jià)值,是債券發(fā)行人承諾在債券到期日償還給債券持有人的金額。

• 債券可以參考價(jià)格或收益率。例如，將支付100元的零息債券的價(jià)格可以是90元。但收益率將為（100?90）/90=11%，而不是10%。

• 債券收益率是投資于債券上每年產(chǎn)生出的收益總額與投資本金總量之間的比率。

• 債券可以在二級(jí)市場(chǎng)上交易（一級(jí)市場(chǎng)是債券發(fā)行過程）。如果利率增加，債券的價(jià)值就會(huì)增加，如果利率降低，債券的價(jià)值就會(huì)減少，這僅僅是因?yàn)樵搨窃诶矢淖冎耙员阋?昂貴的價(jià)格發(fā)行的。也可以做空債券。

• 雖然期望債券不會(huì)出現(xiàn)負(fù)利率，但也不是完全看不到。在危機(jī)時(shí)期，政府債券甚至公司債券都可以以負(fù)收益率交易(例如雀巢)。

債券定價(jià)

債券價(jià)格是通過使用票面利率和現(xiàn)金流來確定。

式中，CFt是t時(shí)的現(xiàn)金流，B（0，t）是貼現(xiàn)系數(shù)或0時(shí)價(jià)格

?

其中R（0，t）是在時(shí)間為t時(shí)在時(shí)間0的年度即期匯率。

?

B（0，t）也可以稱為零息債券的價(jià)格。

我們可以暗示零息票利率與市場(chǎng)上不同期限的債券。然后我們可以用這些利率建立一個(gè)期限結(jié)構(gòu)模型來為任何債券定價(jià)。嚴(yán)格違反期限結(jié)構(gòu)可能是買入/賣出機(jī)會(huì)，也可能是套利機(jī)會(huì)。

calculate_bond_price<-function(face_value=1000,coupon_rate=0.05,maturity=1,yearly_coupons=0){ ? ?#該函數(shù)根據(jù)給定的債券B（0，t）的面值，到期日，年息率和等距付款來計(jì)算其價(jià)格 ? ?#如果 yearly_coupons == 0, 它只在到期時(shí)支付 ? ?#如果 yearly_coupons == 1, 每年支付一次 ? ?#如果 yearly_coupons == 2, 每半年支付一次 ? ?if(yearly_coupons==0){ ? ? ? ?face_value/((1+coupon_rate)^maturity) ? ?}else{ ? ? ? ?face_value/((1+coupon_rate/yearly_coupons)^(yearly_coupons*maturity)) ? ?} }calculate_bond_price()## [1] 952.381

如果我們有合適的證券，我們也可以從息票支付債券中構(gòu)建零息票債券。

• 1年期純貼現(xiàn)債券在95出售。

• 兩年期8％的債券售價(jià)99元。

?

?

2年期純折價(jià)債券的價(jià)格為99-0.08（95）= 91.4。

復(fù)利類型

簡(jiǎn)單復(fù)利

假設(shè)利率為0.05，期限為2年。100美元的價(jià)格在到期時(shí)將是多少。

?

定期復(fù)利

如果將利息永久添加到本金投資中，那么我們的復(fù)利就是利率。假設(shè)相同的示例，但每半年復(fù)算一次。

?

年名義利率為??

連續(xù)復(fù)利

現(xiàn)在，假設(shè)復(fù)利的頻率很高，以至于在兩次加息之間的時(shí)間間隔是無(wú)限小（接近零）。然后在極限情況下

?

?

因此，以我們的示例為例，連續(xù)復(fù)利的年利率是?

給定一組零息票債券價(jià)格，我們可以計(jì)算連續(xù)收益率?

#例如，債券價(jià)格為0.987，期限為半年。calculate_yield(0.987,0.5)## [1] 0.02617048

遠(yuǎn)期匯率

假設(shè)有兩個(gè)到期日不同的債券?

可以重新排列成

?

imply_forward_rate<-function(R0t1=0.04,R0t2=0.045,t1=1,t2=2){ ? ?((1+R0t2)^t2/(1+R0t1)^t1)^(1/(t2-t1)) -1}imply_forward_rate()## [1] 0.05002404

到期日的相關(guān)性

利率不僅隨著到期日變化，而且隨著時(shí)間變化。我們還將調(diào)用某些數(shù)據(jù)和計(jì)算。

讓我們加載庫(kù)并檢查收益率曲線數(shù)據(jù)。

## ? ? ? ? ? ? R_3M ?R_6M ?R_1Y ?R_2Y ?R_3Y ?R_5Y ?R_7Y R_10Y## 1981-12-31 12.92 13.90 14.32 14.57 14.64 14.65 14.67 14.59## 1982-01-31 14.28 14.81 14.73 14.82 14.73 14.54 14.46 14.43## 1982-02-28 13.31 13.83 13.95 14.19 14.13 13.98 13.93 13.86## 1982-03-31 13.34 13.87 13.98 14.20 14.18 14.00 13.94 13.87## 1982-04-30 12.71 13.13 13.34 13.78 13.77 13.75 13.74 13.62## 1982-05-31 13.08 13.76 14.07 14.47 14.48 14.43 14.47 14.30

相關(guān)系數(shù)矩陣顯示出收益率沒有完全相關(guān)。

?R_3MR_6MR_1YR_2YR_3YR_5YR_7YR_10YR_3M1.00000000.99833900.99400450.98375590.97447800.95461890.93995040.9230412R_6M0.99833901.00000000.99817150.98998200.98171970.96322680.94917610.9332366R_1Y0.99400450.99817151.00000000.99599370.99001950.97461740.96218950.9478956R_2Y0.98375590.98998200.99599371.00000000.99848440.98968110.98088960.9694621R_3Y0.97447800.98171970.99001950.99848441.00000000.99585830.98961850.9804575R_5Y0.95461890.96322680.97461740.98968110.99585831.00000000.99836290.9936744R_7Y0.93995040.94917610.96218950.98088960.98961850.99836291.00000000.9981232R_10Y0.92304120.93323660.94789560.96946210.98045750.99367440.99812321.0000000

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R語(yǔ)言使用隨機(jī)技術(shù)差分進(jìn)化算法優(yōu)化的Nelson-Siegel-Svensson模型

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債券價(jià)格和收益率

在這一部分中，我們將看到構(gòu)建債券價(jià)格和收益率的方法。

直接法

假設(shè)您得到以下債券利率。請(qǐng)記住，名義匯率是100。

?息票到期價(jià)錢債券15.01個(gè)101.0債券25.52101.5債券35.0399.0債券46.04100.0

零息債券價(jià)格（B（0，t）

然后我們得到?

get_zero_coupon()## $B0t## [1] 0.9619048 0.9119386 0.8536265 0.7890111## ## $R0t## [1] 0.03960396 0.04717001 0.05417012 0.06103379

線性插值

R03<-0.055R04<-0.06R03p75<-((4-3.75)*0.055+(3.75-3)*0.06)/(4-3) R03p75## [1] 0.05875##或使用R函數(shù) yield_interpolate<-approxfun(x=c(3,4),y=c(0.055,0.06))yield_interpolate(3.75)## [1] 0.05875

三次插值

假設(shè)我們的費(fèi)率如下：?

#插值2.5年的債券 t_val<-2.5sum(abcd_vec*((2.5)^(3:0)))## [1] 0.0534375## [1] 0.0534375

間接方法（Nelson Siegel）

尼爾森·西格爾（Nelson Siegel）模型是模擬利率收益率曲線的一種流行方法。

?

其中θ是到期日，β0是長(zhǎng)期收益率，β1是斜率參數(shù)，β2是曲率參數(shù)，τ是比例參數(shù)。

ns_data <- data.frame(maturity=1:30) %>%mutate(ns_yield=nelson_siegel_calculate(theta=maturity,tau=3.3,beta0=0.07,beta1=-0.02,beta2=0.01))head(ns_data)## ? maturity ? ns_yield## 1 ? ? ? ?1 0.05398726## 2 ? ? ? ?2 0.05704572## 3 ? ? ? ?3 0.05940289## 4 ? ? ? ?4 0.06122926## 5 ? ? ? ?5 0.06265277## 6 ? ? ? ?6 0.06376956ggplot(data=ns_data, aes(x=maturity,y=ns_yield)) + geom_point() + geom_line()

可以使用參數(shù)來更好地估計(jì)收益曲線。

Nelson Siegel參數(shù)的估計(jì)

Nelson Siegel曲線估計(jì)。

## ? ? ? ? ? ? ?beta_0 ? ? beta_1 ? beta_2 ? ?lambda## 1981-12-31 14.70711 -5.3917409 3.269125 0.5123605## 1982-01-31 14.35240 -0.7602066 2.834508 0.1887807## 1982-02-28 13.74481 -0.9247232 2.681840 0.1236869

注意：我們將lambda稱為tau（ττ）（形狀參數(shù)）。

Beta靈敏度

考慮提供Fi未來現(xiàn)金流的債券價(jià)格? 。因此，帶有beta參數(shù)的價(jià)格變化如下。

?

nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=2)## ? ? ?Beta0 ? ? ?Beta1 ? ? ?Beta2 ## -192.51332 -141.08199 ?-41.27936nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=7)## ? ? Beta0 ? ? Beta1 ? ? Beta2 ## -545.4198 -224.7767 -156.7335nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=15)## ? ? Beta0 ? ? Beta1 ? ? Beta2 ## -812.6079 -207.1989 -173.0285

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本文選自《用R語(yǔ)言用Nelson Siegel和線性插值模型對(duì)債券價(jià)格和收益率建?！?。

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