干涉的理論依據(jù)

# 電磁波

• 三角函數(shù)形式

注意：在上式當(dāng)中A0在本章中認(rèn)為不變的，但在偏振章節(jié)中會(huì)有改變

• 復(fù)數(shù)形式

使用歐拉公式整理可得

當(dāng)前考察為一個(gè)平均狀況，因此忽略波速 ω 的影響，僅考慮波矢 k（即僅考慮與位置的有光的量）

# 雙點(diǎn)光源干涉

## 雙點(diǎn)光源干涉假設(shè)

• 初相位φ相同，振幅A向量平行
• 初相位φ相同，振幅A異向（非本章需要討論）

## 電磁場(chǎng)的疊加原理

FAQ: 為什么電磁場(chǎng)滿足疊加原理？

其滿足麥克斯韋電磁學(xué)方程，則其為二階線性齊次方程，滿足疊加原理【詳情可查看數(shù)學(xué)物理方法】

## 光強(qiáng) I 的分析

### 復(fù)數(shù)法分析

注意：上述光強(qiáng)表達(dá)式忽略系數(shù)

整理，可得

其中δ為，即為相位差

### 三角函數(shù)法

矢量合成即為得到相同的結(jié)果

由光強(qiáng)與振幅A的關(guān)系可知

I = A^2

由上可知，光強(qiáng)不滿足疊加原理

FQA:為什么光強(qiáng)不滿足疊加原理？

場(chǎng)是滿足疊加原理，而光的強(qiáng)度 I 與場(chǎng)的平方成正比(up主原話，比較泛,準(zhǔn)確而言是振幅)，因而不滿足疊加原理

而干涉產(chǎn)生的原因在于光強(qiáng) I 之間存在相干項(xiàng)

## 干涉產(chǎn)生的條件

### 完全不相干

光強(qiáng) I不穩(wěn)定的因素:

• 頻率不同
• 初相位的不同

在δ為隨機(jī)變化時(shí),光強(qiáng) I 才滿足疊加原理

則此時(shí)為完全不相干

### 存在干涉

• 部分相干

• 完全相干

### 完全相干的存在條件

• 頻率一致
• 初相位穩(wěn)定

## 光強(qiáng)的大小

• 最大值

• 最小值

• 一般的情況的光強(qiáng) I 大小

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南辔徊瞀膽?yīng)為以下表示

其中ΔL為光程差

光程差ΔL與相位差δ的轉(zhuǎn)換關(guān)系

一些概念:

• 干涉相長(zhǎng)(光強(qiáng) I 極大值)
• 干涉相消(極小)

# 二維平面的干涉

明暗條紋的光波為相位一致的光

## 干涉條紋的形狀

### 三維空間干涉條紋形狀

會(huì)形成回旋雙曲面的干涉形狀

### 二維平面的干涉形狀

其為回旋雙曲面的截面

二維平面的干涉條紋與平面在所處位置有光,

• 當(dāng)S_1S_2 ⊥ Π 平面, 即處于橫向切于回旋雙曲線,則將觀察到干涉條紋為同心圓分布
• 當(dāng)S_1S_2 // Π 平面, 即: 縱向切于回旋雙曲線,則形成雙曲線簇

當(dāng)所截取的雙曲線簇為相對(duì)單位長(zhǎng)度曲率較大時(shí),則將觀察到條紋為直線(近似)

# 章節(jié)小結(jié)

楊氏雙縫干涉

# 楊氏雙縫干涉

## 實(shí)驗(yàn)的假設(shè)

求解思路: 光強(qiáng) I => 相位差δ => 光程差 ΔL

## 光程差的求解

由上圖可得,光程差ΔL為,(可使用等價(jià)無(wú)窮小的近似處理)

光程差 ΔL 的結(jié)果為

條紋的分布性質(zhì)

由上式的條紋的表達(dá)式可知,條紋為等差數(shù)列分布

條紋間距: 干涉條紋的間距(為定制),記作Δx

## 光強(qiáng)相關(guān)

由于時(shí)對(duì)稱的點(diǎn)光源,育兒光強(qiáng) I_1 于 I_2相等

又知相位差δ的表達(dá)式為

則,可得

函數(shù)的 x- I 圖像

其中Δx為明/暗條紋的間距

推導(dǎo)過(guò)程如下

注意:Δx為兩個(gè)亮/暗條紋的距離

## 楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)的討論

### 分隔中軸線的偏移量

光程差ΔL為

設(shè)偏移量 δs 向下為負(fù)向上為正

可得R2的長(zhǎng)度為

同理R1亦可求出,最終使用等價(jià)無(wú)窮小近似可得

綜上,光程差ΔL為

利用第0級(jí)干涉光程差為0的性質(zhì)(第m級(jí)干涉同理),可得偏移量δs的表達(dá)式關(guān)系

#### 偏移量δs表達(dá)式的討論

• 移動(dòng)方向

條紋移動(dòng)方向與偏移方向相反,(偏移量 δs 向上為正,向下為負(fù))

### 菲涅爾雙鏡

轉(zhuǎn)化為楊氏雙縫干涉

近似:

• S_1S_2與鏡子平行

#### 求解雙孔間距d

可得

#### 求解雙孔屏間距D

已知C的長(zhǎng)度

由于α很小,則可認(rèn)為圓心到弦的距離等于半徑B,則可得

#### 光程差ΔL

#### 偏移量δs

沿著圓弧方向的偏移

可得.干涉條紋移動(dòng)距離Δx

### 菲涅爾雙棱鏡

一些問(wèn)題與思路

• 干涉條紋的數(shù)量,即焦點(diǎn)的長(zhǎng)度
• 求解雙孔間距 d 和雙孔屏間距 D

并利用三棱鏡折射的的規(guī)律，求得角度

可得

### 勞埃德鏡

易知

注意：其在反射時(shí)會(huì)有“半波損失”，在薄膜干涉中會(huì)詳談

• 偏移量的討論

例題補(bǔ)充

# 例題補(bǔ)充

## 例1：求出星體相對(duì)地面的仰角？

已知光測(cè)點(diǎn)收到的亮度為1級(jí)亮度

由楊氏雙縫干涉的公式可知

可近似認(rèn)為星體與觀測(cè)點(diǎn)在水平面的投影的距離為雙孔屏間距D,雙孔距離 d 即為星體于其在水平面的像距

## 例2：瑞利干涉

求解空氣的折射率？

在下圖的上部管子從原來(lái)是空氣到真空郭恒忠，條紋一移動(dòng)了98根

已知，其中 l 為管長(zhǎng)， λ為波長(zhǎng)

光程差ΔL為

## 例題3：楊氏雙縫干涉：偏移量

當(dāng)光程ΔL變化時(shí)，求解偏移量δs？

由光程ΔL的定義可得

結(jié)合楊氏雙縫干涉公式可得

0級(jí)干涉光程差為0可得

可求得偏移量δx為

## 例題4：聲波干涉的問(wèn)題

?

例題補(bǔ)充 P3 - 20:11

?

變?yōu)橄旅?，求?dāng)左側(cè)拉長(zhǎng) d為多少時(shí)，會(huì)產(chǎn)生消聲？

由聲程差可得

## 例題5：梅斯林干涉儀

問(wèn)題

• 經(jīng)過(guò)光路的折射之后再何處發(fā)生干涉？
• 并且做出折射時(shí)的光路圖

確定相交區(qū)域

• 在干涉時(shí)的干涉條紋的形狀？

其等效光源為下圖

結(jié)合之前的雙點(diǎn)干涉的干涉條紋形狀結(jié)論可知

其為同心半圓形

定量求解

已知條件如下，光屏處于s1和s2的中間，求條紋的間距Δx為多少？

答案（up主不建議使用幾何關(guān)系求出）